矩 设k为正整数,ξ为随机变量,如果下面的数学 期望存在,则 1)称A=E()为5的k阶原点矩; 2)称vk=E(5-E5)为5的k阶中心矩 G相关系数 C0(随机变量与与的相关系数,记为p DE Dn 即 Cov(s, n DED
) 矩： 设 k 为正整数，ξ 为随机变量，如果下面的数学 期望存在，则 1)称 )( k k = E ξμ 为ξ 的k 阶原点矩； 2)称 k k −= EEv ξξ )( 为ξ 的k 阶中心矩. ηξ ρξη ηξ ηξ 称 为随机变量 与 的相关系数，记为 DDCov ),( ηξ ηξ ρξη DDCov ),( 即 = ) 相关系数：
不相关: 定义:若随机变量ξ与η的相关系数为0,称 与不相关 随机变量函数的分布 离散型:列表归纳法 连续型:单调函数的密度公式,由F求p 当y=f(x)是单调函数时,它的反函数x=g(y) Pn(=p(g()g(l
不相关： . : 0 与 不相关 定义 若随机变量 与 的相关系数为 称， η ηξ ξ 随机变量函数的分布： 离散型：列表归纳法 连续型：单调函数的密度公式，由F求p. 当 y fx = ( )是单调函数时，它的反函数 x = g( ) y 。 = (()( )) ′ ygygpyp |)(| η ξ
2.随机向量函数的分布 问题:已知(,m)的分布,如何求5=f(5,7)的分布? 主要内容 1和(差)的分布5=5+7 2.平方和分布=2+n2 3商的分布5=2 4最大值与最小值分布
2. 随机向量函数的分布 随机向量函数的分布 问题：已知 ξ η),( 的分布，如何求ζ = f ξ η),( 的分布？ 1.和（差）的分布ζ = ξ +η 2.平方和分布 22 += ηξζ 3.商的分布 主要内容 η ξ ζ = 4.最大值与最小值分布
和(差)的分布5=5+m a.离散 设5的可能取值为zk,飞k=x1+y, 则P(2k)=P(5=k)=P(5+=2k) ∑P(5=x,n=y) xiyi=zk =∑P(=x,=k-x)=∑p( x:,zi- 或者, P2(x)=∑P(=k-y,=y)=∑D(k-y,y 若5与T独立,则 x)=∑P2(x)n(zk-x) 或者,P2(x)=∑P:(zk-y)P(y)
a. 离散 设ζ 的可能取值为 k z ， jik = + yxz ， 则 )()( k k ζ = ζ = zPzp ∑ ),( =+ = == kii zyx i j ηξ yxP ∑ =−=== ∑ − i iki i i ik ,( ηξ xzxpxzxP ),() 或者， ∑ ()( ∑ −==−== ),(), j jjk j k jk j ζ ξ η yyzpyyzPzp )( k = ξ +η = zP 若ξ 与η 独立，则 = ∑ − i k i ik xzpxpzp )()()( ζ ξ η 或者， = ∑ − )()()( j k jk j ζ ξ η ypyzpzp 1.和（差）的分布ζ = ξ +η
例工设x~B(2,),PB(2.2),X与Y独立 求Z=X+Y的分布。 解:X与Y的分布律如下: X012 X‖101 px Y 4 99 249 Z的一切可能取值为0,1,2,3,4. P(Z=0)=P(X=0,y=0)=× 36 P(Z=1)=P(X=0,y=1)+P(X=1,y=0) -+-× 494936
例 1.设 X B ~ (, ) 2 1 2 ， Y B ~ (, ) 2 1 3 ， X 与Y 独立. 求Z XY = + 的分布。 Z 的一切可能取值为 012 34 ,, ,, . PZ PX Y ( )( , ) = = = = =×= 0 00 1 4 1 9 1 36 PZ PX Y PX Y ( )( , )( , ) == = =+ = = =×+×= 1 01 10 1 4 4 9 2 4 1 9 6 36 解： X 与Y 的分布律如下： X 012 Y 012 pX 1 4 2 4 1 4 pY 1 9 4 9 4 9
P(z=2)=P(X=0,y=2)+P(X=1y=1) +P(X=2,y=0) 424 -+-×一+— 49494936 P(Z=3)=P(X=1,y=2)+P(X=2,Y=1) 412 494936 P(Z=4)=P(X=2,y=2) 4936 Z的分布律为: 201234 pz 613124 3636363636
P Z P X Y P X Y PX Y ( )( , )( , ) ( ,) = = = = + = = + == 2 0 2 11 2 0 =×+×+×= 1 4 4 9 2 4 4 9 1 4 1 9 13 36 PZ PX Y PX Y ( )( , )( , ) == = =+ = = 3 12 21 =×+×= 2 4 4 9 1 4 4 9 12 36 PZ PX Y ( )( , ) == = = 4 22 =×= 1 4 4 9 4 36 ∴ Z 的分布律为： Z 0 1 234 p Z 1 36 6 36 13 36 12 36 4 36
例2设X~P(4),y~P(),X与独立 求Z=X+Y的分布。 解:Z的一切可能取值为0,2,3 P(z=k)=>P(X=iP(Y=k-i) (41+2)k ∑4e e (k k ∑ k (41+2)k ∑C列 (k-m)4 k! (1+x2) k! +入 e P(1+2) 结论:独立的服从泊松分布的随机变量之和仍服从泊 松分布,且参数为前两个参数之和
例 2.设 X P ~() λ1 ，Y P ~() λ2 ， X 与Y 独立. 求Z = X + Y 的分布。 解： Z 的一切可能取值为0123 ,, ,," PZ k P X iPY k i i k ( ) ( )( ) = = = =− = ∑ 0 = ⋅ − − − = − ∑λ λ 1 2 λ λ 0 1 2 i k i i k i e k i e ! ( )! = − − + = − ∑ e k k ik i i i k k i ( ) ! ! !( )! λ λ λ λ 1 2 1 0 2 = − + = − ∑ e k Cki i i k k i ( ) ! λ λ λ λ 1 2 1 0 2 = + − + e k k ( ) ! ( ) λ λ λ λ 1 2 1 2 = + − + ( ) ! ( ) λ λ 1 2 λ λ 1 2 k k e ∴ Z P ~( ) λ1 2 + λ 结论：独立的服从泊松分布的随机变量之和仍服从泊 松分布，且参数为前两个参数之和
b连续 x+y=2 F()=P(5+≤2) x+1<z p(x, y)dxdy x+v<z dx p(x, y)dy X 上式两边对z求导: P2(z)= P(x, s-x)dx 同理:F(z)=吵上p(x,y) ∫ plz-y, y)dy ★若5与独立,则2(2)=n(x)n1(z-x)d 或者,P()=p2(2=y,P2
y b. 连续 x + y = z = ξ + η ≤ zPzF )()( ζ x + y < z ∫∫ ≤+ = zyx ),( dxdyyxp dyyxpdx xz ),( ∫∫ − ∞− +∞ ∞− = 0 x 上式两边对 z 求导： ∫ +∞∞− ζ = − ),()( dxxzxpzp . 同理： ∫∫ − ∞− +∞ ∞− = yz ζ )( ),( dxyxpdyzF ),()( dyyyzpzp ∫ +∞∞− ζ −= ★若 ξ 与 η 独立，则 ∫ +∞∞− = −⋅ xzpxpzp )()()( dx ζ ξ η 或者， ypyzpzp )()()( dy ∫ +∞∞− ζ ξ ⋅−= η
例3.与独立,且都服从a,a上的均匀分布, 求5=5+m的分布。 解 p(x,y)=p2(x)p2(y)=14a2 ≤a2|y 其它 方法一:从分布函数入手。0<≤2a 5+n的取值范围 在[2a,2a]。 ①z≤-2a,F2(x)=0 C a x (5<是不可能事件)12<s0
例 3.ξ 与η 独立，且都服从[ ,] −a a 上的均匀分布， 求ζ = ξ +η 的分布。 解： ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤≤ = = ,0 其它 ||,||, 41 )()(),( 2 ayax ηξ ypxpyxp a 方法一：从分布函数入手。 0<z ≤2a y z a = 2 ζ = ξ +η 的取值范围 a 在[ ,] −2 2 a a 。 z = 0 c z ≤ −2a ， zF = 0)( ζ − a o a x (∵ζ < z 是不可能事件) −a z a = −2 −2a<z≤0
②-2a2a 5≤=是必然事件,∴F()=1
dy a dxzF xz a az a ∫∫ − − + − = 2 41 )( ζ = + + + ( ) z a a z a 2 2 8 4 3 8 e 0 2 2a ∵ζ < z 是必然事件，∴ zF =1)( ζ d − 2 0 a < ≤ z x+y=z y -a xa a -a 0