第一章线性赋范空间 本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识 正如前言中所提到的,泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上,一种是 代数结构即线性结构,另一种是拓扑(本书中体现为度量)结构.本章将首先介 绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统,讨论它 们之间的相互关系;然后给出某些经典的赋范空间的例子;在此基础上着重叙述 度量空间的两个重要概念一一完备性和紧性以及它们的某些应用 第1讲线性空间 教学目的:掌握线性空间的定义和基本结构性质。 讲解要点 1了解线性空间的公理体系,认识线性空间的广泛性。 掌握线性无关与基底的概念,弄清这一概念与线性代数中有限维 空间相应概念的联系与区别 3了解凸包与张成的子空间的概念与属性 我们以φ代表标量域,即实数域R或复数域C 定义1设X是某个集合,其中规定了两种运算(“加法”与“数乘”),使得 (I)X关于加法构成交换群.即ⅵx,y∈X,存在u∈X,称u为x与y之和: l=x+y.满足 (1)x+y=y+x (2)(x+y)+=x+(y+) (3)存在0∈X使得任意的x∈X,x+0=x (4)对于每个x∈X,存在x∈X使得x+x'=0.记x'=-x,称x是x的负元 (Ⅱ)数乘运算可行.即vx∈X,a∈④,存在v∈X,称v为a与x的积:v=ax.满 足a,B∈φ,xy∈X (1)1x
第一章 线性赋范空间 本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识． 正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是 代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构．本章将首先介 绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它 们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述 度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用． 第 1 讲 线性空间 教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。 讲解要点： 1 了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。 2 掌握线性无关与基底的概念，弄清这一概念与线性代数中有限维 空间相应概念的联系与区别。 3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 我们以Φ 代表标量域，即实数域 R 或复数域C ． 定义 1 设 X 是某个集合，其中规定了两种运算（“加法”与“数乘”），使得 （Ⅰ） X 关于加法构成交换群．即 ∀x, y∈ X ，存在 u ∈ X ，称 u 为 x 与 y 之和： u = x + y ．满足 （1） x + y = y + x ． （2） ) (x + y) + z = x + ( y + z ． （3） 存在0∈ X 使得任意的 x∈ X ， x + 0 = x ． （4） 对于每个 x ∈ X ，存在 x′∈ X 使得 x + x′ = 0 ．记 x′ = −x ，称 x′是 x 的负元． （Ⅱ） 数乘运算可行．即∀x∈ X ，α ∈Φ ，存在v ∈ X ，称v 为α 与 x 的积：v =αx ．满 足 α,β ∈Φ ， x, y∈ X ， （1） 1x = x
(2)a(x)=(a/)x, (3)a(x+y)=a+ary, (a+B)x=a+ Bx 则X称为线性空间或向量空间,其中的元称为向量 当Φ=R时,称X是实线性空间. 当Φ=C时,称X为复线性空间 线性空间的子集合E,若对于同样的标量域构成线性空间,则称E是X的线性子空 间.显然E是X的线性子空间当且仅当Vx,y∈E,a,B∈①则ax+py∈E 我们采用以下记号:当x∈X,E1,E2CX,a∈时,记 aE1={ax:x∈E1}, E1+E2={x+x2:x∈E1,x2∈E2} 称cE是E的倍集,称E+E2是E1,E2的(线性)和集 注意,应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开 来.就运算性质来说,一般地,当EcX时,2EcE+E,其中的包含关系可能是严格的.此 外,对于ⅤEcX,一E有明确的意义;若E≠⑧,则E-E≠⑧等等. 线性空间X中的元素x1…,x称为是线性无关的,若Va1…,an∈中,当 a1x+…+anxn=0 时a1=…=an=0.X的子集合E称为是线性无关集,若E中任意有限多个元素都线性无 关.不是线性无关的集合称为是线性相关的.若E线性无关并且 span E=X,则称E是X的 基底—— Hamel基.此时若E仅由有限个元素x1,…xn组成,则称X是n维空间,记为 dimX=n.若E由无穷多个元素构成,称X为无穷维的,记为dmX=∞,当X=0}时, 例1n维空间Φ” X中的每个元是一个n数组x=(x1…xn),x∈④,1≤i≤n,定义 yu)
（2） α(βx) = (αβ )x， （3） α(x + y) = αx +αy ， (α + β)x = αx + βx ． 则 X 称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量． 当Φ = R 时，称 X 是实线性空间． 当 Φ = C 时，称 X 为复线性空间． 线性空间的子集合 E ，若对于同样的标量域构成线性空间，则称 E 是 X 的线性子空 间．显然 E 是 X 的线性子空间当且仅当∀x, y ∈ E ，α,β ∈Φ 则αx + βy∈ E ． 我们采用以下记号：当 x∈ X ， E1,E2 ⊂ X ，α ∈Φ 时，记 { : } 1 1 1 E1 x + E = x + x x ∈ ， { : } 1 1 1 E1 aE = ax x ∈ ， { : , } 1 2 1 2 1 1 2 E2 E + E = x + x x ∈ E x ∈ ． 称αE 是 E 的倍集，称 E1 + E2 是 E1 ， E2 的（线性）和集． 注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开 来．就运算性质来说，一般地，当 E ⊂ X 时，2E ⊂ E + E ，其中的包含关系可能是严格的．此 外，对于∀E ⊂ X ， −E 有明确的意义；若 E ≠ ∅ ，则 E − E ≠ ∅ 等等． 线性空间 X 中的元素 n x , , x 1 " 称为是线性无关的，若∀a1,",an ∈Φ ，当 0 a1x1 +"+ an xn = 时 0 a1 ="= an = ． X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无 关．不是线性无关的集合称为是线性相关的．若 E 线性无关并且span E = X ，则称 E 是 X 的 基底——Hamel 基．此时若 E 仅由有限个元素 n x , , x 1 " 组成，则称 X 是 n 维空间，记为 dim X = n．若 E 由无穷多个元素构成，称 X 为无穷维的，记为dim X = ∞ ．当 X = {0}时， 记dim X = 0 ． 例 1 n 维空间 n Φ ． X 中的每个元是一个 n 数组 ( , , ) 1 n x = x " x ，∀xi ∈Φ ，1≤ i ≤ n ，定义 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 n 1 n 1 1 n n x " x + y " y = x + y " x + y
a(x12…,xn)=(ax1,…,axn),(a∈①) 这些n数组构成线性空间,其维数为n.即dimX=n 例2无穷序列空间④° x中的每个元都是一个无穷序列x=(x1,x2,…),xn∈,定义 (x1,x2…)+(1,y2…)=(x1+y1x2+y2…) x1,x2,…)=(ax,ax2…),(a∈Φ) 则无穷序列空间是线性空间,其维数是无穷的,即dmX=∞ 例3函数空间 设Ω为任一点集,X是在Ω2上定义的函数全体,规定∫=f(r),g=g()时, (f+g)(1)=f(1)+g(1) (a0)(1)=af(1),(a∈) 容易验证X是线性空间 今后对于有限维空间,无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算.许多 在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间 注意:定义1与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的,但是其内涵要比线性代数中 广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为n数组。这一点很重要,例如在线性代数 中有一个结论:任何n+1个向量必线性相关。对于现在的空间,这一结论却不必成立 利用Zomn引理可以证明:任一线性空间必存在极大线性无关集合,这一集合即是X的 Hamel基.换句话说,任一线性空间必存在 Hamel基 凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集.X的子集E称为是凸的,若vx,y∈E 0≤r≤1,rx+(1-r)y∈E.对于任一集合EcX,记 E-1E201=12y 称coE是E的凸壳.其中形如∑rx的元素称为x1,…,x的凸组合.记 span E={2x:x∈E,a∈①m=12 称 span E是由E张成的子空间,其中形如∑ax的元素称为x,…,x的线性组合 凸集、coE和 span E都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解
( , , ) ( , , ) 1 n 1 n a x " x = ax " ax ，(a∈Φ ) ． 这些 n 数组构成线性空间，其维数为 n ．即dim X = n． 例 2 无穷序列空间 ∞ Φ ． X 中的每个元都是一个无穷序列 ( , , ) x = x1 x2 " ， xn ∈Φ ，定义 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x1 x2 " + y1 y2 " = x1 + y1 x2 + y2 " ， ( , , ) ( , , ) a x1 x2 " = ax1 ax2 " ， ) (a∈Φ ， 则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即dim X = ∞ ． 例 3 函数空间． 设Ω 为任一点集， X 是在Ω 上定义的函数全体，规定 f = f (t) ， g = g(t) 时， ( f + g)(t) = f (t) + g(t) ， (af )(t) = af (t) ，(a∈Φ ) ． 容易验证 X 是线性空间． 今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多 在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。 注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中 广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n 数组。这一点很重要，例如在线性代数 中有一个结论：任何 n +1个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。 利用 Zorn 引理可以证明： 任一线性空间必存在极大线性无关集合，这一集合即是 X 的 Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基． 凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若∀x, y ∈ E ， 0 ≤ r ≤1， rx + (1− r) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记 1 1 co : , 0, 1, 1, 2, n n ii i i i i i E rx x E r r n = = = ∈ ≥ == ∑ ∑ " ， 称co E 是 E 的凸壳．其中形如 ∑= n i i i r x 1 的元素称为 n x , , x 1 " 的凸组合．记 = ∑ ∈ ∈ = = span : , , 1,2," 1 E a x x E a n i i n i i i Φ ， 称span E 是由 E 张成的子空间，其中形如 ∑= n i i i a x 1 的元素称为 n x , , x 1 " 的线性组合． 凸集、co E 和span E 都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解
命题1 (1)coE是X中的凸集,它是X中包含E的所有凸集的交集 (2) span E是X的线性子空间,它是X中包含E的所有线性子空间的交集 证明这里仅证(1).(2)的证明更简单 1°coE是凸集.实际上vxy∈coE,不妨设 x=∑rx,y=∑sy 其中x,y∈E,20,S20,∑=1,∑S=1.对于任意的r,0≤r≤1, rx+(1-r)y=∑mx+∑(1-)y, 由于∑m +点0 r)s可+(1-r)=1:上式是x,y的凸组合,由coE的定义知道 x+(1-r)y∈coE.故coE是凸集 2°对于任一凸集A,A中任意n个元素的凸组合仍在A中 用数学归纳法,当n=2时,只要x1,x2∈A,F+F2=1,>0,则r+E2x2∈A,这由 定义直接得出.再设n=k时成立,我们证明n=k+1时也成立.实际上若x1…,x,x4∈A >0,∑=1,注意,一=1,由归纳假设 从而(1-1,)x+,,1=∈A 3°设{E2∈A}是包含E的全体凸集,由EcE2,显然 CO ECcO E2,由2 CoE2=E2,从而coE∈∩E2,另一方面由1°,coE是包含E的凸集,从而对于某个 ∈1,coE=E,于是 EnE4∩(∩E)=∩E2 总之,coE=∩E2 思考题 1、设X是线性空间,x∈X,k∈Φ,k≠0,证明 x±X=X,X±X=X,kX=X
命题 1 （1） co E 是 X 中的凸集，它是 X 中包含 E 的所有凸集的交集． （2） span E 是 X 的线性子空间，它是 X 中包含 E 的所有线性子空间的交集． 证明 这里仅证（1）．（2）的证明更简单． 1°co E 是凸集．实际上∀x, y ∈co E ，不妨设 ∑= = n i i i x r x 1 ， ∑= = m j j j y s y 1 ， 其中 xi , y j ∈ E ， ri ≥ 0， ≥ 0 j s ， 1 1 ∑ = = n i ir ， 1 1 ∑ = = m j j s ．对于任意的 r ，0 ≤ r ≤1， ∑ ∑ = = + − = + − m j j j n i i i rx r y rr x r s y 1 1 (1 ) (1 ) ， 由 于 1 (1 ) (1 ) 1 1 ∑ + ∑ − = + − = = = rr r s r r m j j n i i ；上式是 i j x , y 的凸组合，由 co E 的定义知道 rx + (1− r) y ∈co E ．故co E 是凸集． 2°对于任一凸集 A ， A 中任意 n 个元素的凸组合仍在 A 中． 用数学归纳法，当 n = 2 时，只要 x1, x2 ∈ A ， r 1 + r2 =1， ri > 0 ，则 r 1x1 + r2 x2 ∈ A，这由 定义直接得出． 再设 n = k 时成立，我们证明 n = k +1时也成立．实际上若 x1,", xk , xk +1 ∈ A ， ri > 0 ， 1 1 1 ∑ = + = k i ir ，注意 1 1 1 1 = − ∑= + k i k i r r ，由归纳假设 A r r x x k i k i i ∈ − = ∑=1 +1 1 ， 从而 r x r x r x A k i − k + k k = ∑ i i ∈ + = + + + 1 1 1 1 1 (1 ) ． 3°设 { ,λ Λ} Eλ ∈ 是包含 E 的全体凸集，由 E ⊂ Eλ ，显然 E Eλ co ⊂ co ．由 2°， Eλ = Eλ co ，从而 λ λ Λ E E ∈ co ⊂ ∩ ． 另一方面由 1°，co E 是包含 E 的凸集，从而对于某个 λ0 ∈ Λ ， 0 co E = Eλ ，于是 λ λ Λ λ λ λ E Eλ Eλ E E ≠ ∈ co = ⊃ ∩ ( ∩ ) = ∩ 0 0 0 ． 总之， λ λ Λ E E ∈ co = ∩ ． 思考题 1、设 X 是线性空间， x Xk k ∈ ∈Φ ≠ , , 0, 证明 x ±= ±= = X X X X X kX X ,
2、利用定义证明例1,例2,例3中的空间都是线性空间 3、参考书末的附录,试证明 Hamel基的存在性。 (提示:设X不是仅有0元构成,记X中全体线性无关子集全体为F,以集合包含关 系为F上的半序,则F成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的 上界。根据Zorn引理,F有极大元,此极大元就是X的Hame基。读者在第一次阅读时可 以隔过这一问题) 4、设X是线性空间,证明EcX是X的线性子空间当且仅当 va,B∈d,aE+BEcE 5、设X是线性空间,证明EcX是X的凸子集当且仅当 Vr, s>0,(I+SE=tE +SE
2、利用定义证明例 1，例 2，例 3 中的空间都是线性空间。 3、参考书末的附录，试证明 Hamel 基的存在性。 （提示：设 X 不是仅有 0 元构成，记 X 中全体线性无关子集全体为 F，以集合包含关 系为 F 上的半序，则 F 成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的 上界。根据 Zorn 引理，F 有极大元，此极大元就是 X 的 Hamel 基。读者在第一次阅读时可 以隔过这一问题） 4、设 X 是线性空间，证明 E ⊂ X 是 X 的线性子空间当且仅当 ∀ ∈Φ + ⊂ α,, . β αβ E E E 5、设 X 是线性空间，证明 E ⊂ X 是 X 的凸子集当且仅当 ∀ > t s, 0, () . t s E tE sE + = +
