第13讲Hahn- Banach定理的应用 教学目的 理解延拓定理的应用。 授课要点 通过介绍Bahn- Banach定理在最佳逼近方面的应用帮助 学生认识这一定理应用的途径和方式 lahn- Banach定理在理论上和应用上都是十分重要的,它往往提 供了某些学科或学科分支的理论基础.这里介绍一些它们在逼近论方 面的应用 定义3设X是线性赋范空间,E是X的子集合,x∈X,称 y∈E是x关于E的最佳逼近元,若 y=inf x-= ∈E 首先应该知道一般说来,最佳逼近元并不总是存在的 例1设E∈C,E是[0上定义的任意阶多项式全体构成 的线性子空间,取x()=e∈C[.],尽管 d(r, E)=inf x-==0 但不存在y∈E使得|x-y=0,因为c不是多项式.这说明不存在e 关于E的最佳逼近元 定理1设X是线性赋范空间,E是X的闭线性子空间,x∈X, 则y∈E是x关于E的最佳逼近元当且仅当存在∫∈X使得|f=1
1 第 13 讲 Hahn-Banach 定理的应用 教学目的 理解延拓定理的应用。 授课要点 通过介绍 Hahn-Banach 定理在最佳逼近方面的应用帮助 学生认识这一定理应用的途径和方式。 Hahn-Banach 定理在理论上和应用上都是十分重要的，它往往提 供了某些学科或学科分支的理论基础. 这里介绍一些它们在逼近论方 面的应用. 定义 3 设 X 是线性赋范空间， E 是 X 的子集合， x∈ X ，称 y E ∈ 是 x 关于 E 的最佳逼近元，若 inf z E x y xz ∈ − = − . (1) 首先应该知道一般说来，最佳逼近元并不总是存在的. 例 1 设 E C ⊂ [0,1] ，E 是 [0,1]上定义的任意阶多项式全体构成 的线性子空间，取 ( ) [0,1] t xt e C = ∈ ，尽管 ( , inf 0 ) z E d xE x z ∈ = −= ， 但不存在 y E ∈ 使得 x y − = 0，因为 t e 不是多项式. 这说明不存在 t e 关于 E 的最佳逼近元. 定理 1 设 X 是线性赋范空间，E 是 X 的闭线性子空间， 0 x ∈ X ， 则 y E ∈ 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元当且仅当存在 f X ∗ ∈ 使得 f =1
f6(x)=0,x∈E并且f(x)=|x-y 证明当x∈E时,x是它自己关于E的最佳逼近元,此时容 易证明结论成立 现设xgE,若y是x关于E的最佳逼近元,即 l2o-y=inf *o-==d 此时d>0.设E1=span{x,E},令J(x)=ad,x1=z+ax,其中 E∈E,a∈Φ,则J是E上的线性泛函,并且后(E)=0,J6(x)=d 由于 5o(x)= sal= xo=Fs+ all=ll 所以≤1.E>0,取∈E使得|x-0,则存在∫∈X,使得‖/=1
2 f x 0 ( ) = 0， ∀ ∈x E 并且 f ( x xy 0 0 ) = − . 证 明 当 0 x ∈ E 时， 0 x 是它自己关于 E 的最佳逼近元，此时容 易证明结论成立. 现设 0 x ∉ E ，若 y 是 0 x 关于 E 的最佳逼近元，即 0 0 inf z E x y xzd ∈ − = −= ， 此时 d＞0 . 设 E1 = span {x0 , E} ，令 f0 1 ( x ad ) = ， 1 0 ∀x = +z ax ，其中 z E ∈ ，α ∈Φ ，则 0f 是 E1 上的线性泛函，并且 f E 0 ( ) = 0 ，f0 0 ( ) x d = . 由于 01 0 ( ) z f x ad a x a =≤ + 0 1 =+ = z ax x , 所以 0f ≤1. ∀ε＞0，取 z E ∈ 使得 0 xzd − ＜ + ε ，则 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 x z f x d f f xz xz d ε − ≥ =≥ − − + ， 于是 0f =1，由 Hahn－Banach 定理，存在 f X ∗ ∈ 使得在 E1 上， f ( ) x fx = 0 ( ) . 特别地， fE f E ( ) = 0 ( ) = 0 . 从而 f ( ) x fx d x y 0 00 0 = == − ( ) . 反之，若 f X ∗ ∈ 满足定理中条件，对于任何 z E ∈ ， x0 00 0 −= = − ≤ − y fx fx z x z ( ) ( ) ， 由于 y E ∈ ，故 0 0 inf z E x y xz ∈ −= − . 由定理前一部分的证明容易得出以下推论. 推论 1 设 X 是线性赋范空间， E 是 X 的线性子空间， 0 x ∈ X ， ( ) 0 0 , inf 0 z E dxE x z d ∈ = −= ＞ ，则存在 f X ∗ ∈ ，使得 f =1
f(x)=d,并且∫(x)=0,Vx∈E 定理1实际上是最佳逼近元的判定定理.下面定理可以看成最佳 逼近元的存在定理 定理2设X是线性赋范空间,EcX是有限维子空间,则对于 每个x∈X,x关于E的最佳逼近元存在 证明任取y∈E,考虑集合 F={=∈E|x-|s|x-y} 容易验证F是E中的有界闭集,是E有限维的,从而是紧集并且 d(x,F)=d(x,E)取,∈F使得|x--川→d(x,F),此时存在子列 ∈F,于是 Ix-Fol=limx-==d(x, F)=d(r,E 二0即是x关于E的最佳逼近元 例2对于实空间C[a小,由{2…r}张成的线性子空间记 为En,En是有限维的,从而是闭的由定理2,Vx∈C[ab],x到En 的最佳逼近元存在.即至少存在一组实数a,…,an,使得 x0()=a0+a1+……+a"满足 Ix-xol= sup x()-xo()=d(x,En 例3对于复空间L[-x,x,若E是由{e";-n≤k≤n张成的 线性子空间,则x∈L[-x,z],存在复数c,-n≤k≤n使得 ce满足
3 ( ) 0 f x d = ，并且 f x( ) = 0 ， ∀x∈ E . 定理 1 实际上是最佳逼近元的判定定理. 下面定理可以看成最佳 逼近元的存在定理. 定理 2 设 X 是线性赋范空间， E X ⊂ 是有限维子空间，则对于 每个 x∈ X ， x 关于 E 的最佳逼近元存在. 证 明 任取 0 y E ∈ ，考虑集合 F z Ex z x y =∈ −≤− { ; 0 } . 容易验证 F 是 E 中的有界闭集，是 E 有限维的，从而是紧集并且 d xF d xE ()() , , = . 取 n z F ∈ 使得 x − → z d xF n ( , ) ，此时存在子列 0 k n z zF → ∈ ，于是 0 lim , , n ( ) ( ) n x z x z d xF d xE →∞ −= −= = . 0 z 即是 x 关于 E 的最佳逼近元. 例 2 对于实空间 C ab [ , ] ，由 {1, , , } n t t "" 张成的线性子空间记 为 En ，En 是有限维的，从而是闭的. 由定理 2，∀ ∈x C ab [ , ] ，x 到 En 的最佳逼近元存在 . 即至少存在一组实数 0 , , n a a "" ，使得 0 01 ( ) n n x t a at at =+ + + "" 满足 [ ] 0 0 ( ) ( ) ( ) , sup , n t ab x x xt x t d xE ∈ −= − = . (2) 例 3 对于复空间 [ ] 2 L −π ,π ，若 En 是由 { ; } ikt e nkn − ≤ ≤ 张成的 线性子空间，则 [ ] 2 ∀∈ − x L π ,π ，存在复数 k c ， −nkn ≤ ≤ 使 得 0 n ikt k k n x c e =− = ∑ 满足
∫k(o.oin)=d(xE) 思考题 1、证明一个线性赋范空间X中的某一点到线性子空间E的最佳 逼近元的全体是E中的凸集 2、即使是闭子空间,一点到它的最佳逼近元也未必存在.例如设 E={x=(xn)∈c∑ 0} 则E在c0中闭,但x=(2,0,…)这一点关于E没有最佳逼近元.此例 也说明定理2关于无穷维子空间不成立 有了最佳逼近元的存在性和判别准则,自然会考虑到唯一性问题 为此我们需要一个新的概念 定义2线性赋范空间X称为是严格凸的,若Vx,y∈X,当 1时 x+y∠1 (4) 从几何上说,严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上 严格凸是逼近论中的一个基本概念,我们先给出严格凸空间的例子 例4空间L[ab](1<P<∞)是严格凸的 若存在g∈D[小,==1,并且2=1,即
4 () () ( ) 1 2 2 0 0 2 1 , 2 n x x x t x t dt d x E π π −π −= − = ∫ . (3) 思考题 1、 证明一个线性赋范空间 X 中的某一点到线性子空间 E 的最佳 逼近元的全体是 E 中的凸集. 2、 即使是闭子空间，一点到它的最佳逼近元也未必存在. 例如设 0 1 { ( ) ; 2 0}, n n n n Exx c x ∞ − = == ∈ = ∑ 则 E 在 0 c 中闭，但 0 x = (2,0, ) " 这一点关于 E 没有最佳逼近元. 此例 也说明定理 2 关于无穷维子空间不成立. 有了最佳逼近元的存在性和判别准则，自然会考虑到唯一性问题. 为此我们需要一个新的概念. 定义 2 线性赋范空间 X 称为是严格凸的，若 ∀x, y X ∈ ，当 x ≠ y ， x y = =1时 1 2 x y + ＜ . (4) 从几何上说，严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上， 严格凸是逼近论中的一个基本概念，我们先给出严格凸空间的例子. 例 4 空间 [ , ] p L a b ( ) 1＜ ＜p ∞ 是严格凸的. 若存在 , , [ ] p f g L ab ∈ ， 1 p p f g = = ，并且 1 2 p f g + = ，即
f+gl2=+|gl,由第一章第二讲例1知道 Minkowski不等式 中等号成立当且仅当f(1)=kg(t),4-a,e,其中k为非负常数 由/L2+|g=1知k=1,故=g,这说明当J≠g时 同样的,空间(1<p<∞)是严格凸的 Hilbert空间是严格凸的,这可以由平行四边形公式直接得到 例51不是严格凸的,实际上只需取 x=(10.0…),y=(0,10,…), 则x≠y,|x=|y=1,但|x+川=2 也不是严格凸的,实际上取 x=(10…),y=(-1,0…), 则x≠y,|x=yl=1,|x 此外空间cc0,L[ab]L[a]C[ab]也不是严格凸的,读者可 直接验证之 定理3设X是线性赋范空间,则以下条件等价: (1)X是严格凸的 (2)对于X中任何凸子集E和x∈X,x关于E至多有一个最 佳逼近元 (3)对于每个∫∈X,闭单位球Sx上至多有一点x使得 证明(1)→(2)不妨设x∈E,若有x,x∈E同时使 x-x0|=|x-x|=d(x,E)=M.则此
5 p pp f += + gfg ，由第一章第二讲例 1 知道 Minkowski 不等式 中等号成立当且仅当 f ( )t kg t = ( ) ， µ − a ， e ，其中 k 为非负常数， 由 1 p p f g + = 知 k =1，故 f = g ，这说明当 f ≠ g 时 2 p f g + ＜1. 同样的，空间 p l ( ) 1＜ ＜p ∞ 是严格凸的. Hilbert 空间是严格凸的，这可以由平行四边形公式直接得到. 例 5 1 l 不是严格凸的，实际上只需取 x = ( ) 1,0,0," ， y = (0,1,0,") ， 则 x ≠ y ， x y = =1，但 x y + = 2 . l ∞ 也不是严格凸的，实际上取 x = ( ) 1,0," ， y = − (1, 1,0,") ， 则 x ≠ y ， x y = =1， x y + = 2 . 此外空间 cc L ab L ab C ab ,, ,, ,, , 0 1 [ ] ∞ [ ] [ ]也不是严格凸的，读者可 直接验证之. 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （1） X 是严格凸的. （2） 对于 X 中任何凸子集 E 和 x∈ X ，x 关于 E 至多有一个最 佳逼近元. （3） 对于每个 f X ∗ ∈ ，闭单位球 X S 上至多有一点 0 x 使 得 ( ) 0 f x f = . 证 明 (1) (2) ⇒ 不妨设 x∉ E ，若有 0 0 x , x E ′ ∈ 同时使 x − =− = = x x x d xE M 0 0′ ( ) , . 则此时
(x+x)-2-+-4 M 但E是凸集,从而(x+x)∈E,故应有 (x+x)-x≥M,于是 记 x-xox-ro ,则 =1,但 + xo 此与严格凸性矛盾 (2)→(3)若有两个不同点x,x∈Sx使得 f(xo)=f(o=fl 不妨设/=1,考虑闭凸集 [x,x]={==D+(1-1)x:0≤7≤1 则∫(-)=f(x+(1-1)x)=1,0≤1≤1,从而 1s|f(-)s/|-|s| 另一方面 st|xl(1-1)|x|s1 故|=1,这说明0点到[x2,x有无穷多个最佳逼近元,与(2)矛盾 (3)→(1).若X不是严格凸的,则有x,y∈X,x≠y使得 c===1.由Hahn- Banach定理,存在/∈ex∵,(1=1, x+y)2 1,此时由于/(x)1,()≤1,(f(x)+f(y)=1 故必有f(x)=f(y)=1,从而对于任何t,0≤t≤1 f(x+(1-)y)=1,与(3)矛盾 根据定理2与定理3,例3中的最佳逼近元是唯一的
6 ( ) 0 00 1 11 2 22 x + −≤ − + − ≤ x x xx xx M ′ , 但 E 是凸集，从而 ( ) 0 1 2 x + ∈ x E ，故应有 ( ) 0 1 2 x + −≥ x xM ，于是 ( ) 0 1 2 x + x xM − = . 记 0 x x y M − = , 0 x x z M − ′ = ，则 y z = =1，但 ( ) 0 1 1 1 2 2 y z x xx M + = −+= ， 此与严格凸性矛盾. (2) (3) ⇒ 若有两个不同点 0 0 , X x x S ′ ∈ 使得 f ( ) x fx f 0 0 = = ( ′) ， 不妨设 f =1，考虑闭凸集 [ x x z tx t x t 00 0 0 , 1 ;0 1 ′ ′ ] = = + − ≤≤ { ( ) } 则 () ( ) ( ) 0 0 f z f tx t x = +− = 1 1 ′ ， 0 1 ≤ t ≤ ，从而 1≤≤≤ f (z fz z ) . 另一方面， z tx t x ≤ +− ≤ 0 0 (1 1 ) ′ ， 故 z =1，这说明 0 点到 [ x0 0 , x′] 有无穷多个最佳逼近元，与 (2) 矛盾. (3) (1) ⇒ . 若 X 不是严格凸的，则有 x, , y Xx y ∈ ≠ 使 得 1 2 x y x y + == = . 由 Hahn－Banach 定理，存在 f X ∗ ∈ ， f =1， 1 2 x y f + = ，此时由于 f x( ) ≤1， f y( ) ≤1， ( ) () () 1 1 2 fx fy + = ， 故必有 fx fy () () = =1 ，从而对于任何 t ， 0 1 ≤ ≤t ， f tx t y ( ) +− = ( ) 1 1，与 (3)矛盾. 根据定理 2 与定理 3，例 3 中的最佳逼近元是唯一的
作为严格凸性的另一个应用,我们考虑线性泛函延拓的唯一性问 题.Hahn- Banach定理只解决了延拓的存在性,而一般来说,唯 性并不成立 例6在R2中定义范数 x,x2)=(x+12,H(x,x)∈R2 则G={(x,0)x∈R}是R2的线性子空间,(x,0)=x是G上的线 性泛函.由 容易知道JG|=1,故后连续 对于每个B∈R,F(x1,x2)=x+Bx2都是f的延拓并且 F(x1,x2)<*1+|< max(1, B)(x1+x2D = max 于是当/≤1时,F是保持范数的延拓,这种延拓的个数有不可数无 穷多个 这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件,而将其证明 略去 定理7设Y是线性赋范空间,为了使X的每个线性子空间上的 连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓,必须并且只须共轭空间X 是严格凸的
7 作为严格凸性的另一个应用，我们考虑线性泛函延拓的唯一性问 题. Hahn－Banach 定理只解决了延拓的存在性，而一般来说，唯一 性并不成立. 例 6 在 2 R 中定义范数 ( ) 12 1 2 x , x xx = + ， 2 1 2 ∀ ∈ (, ) x x R 则 {( ) } 1 1 1 G x xR = ∈ ,0 ; 是 2 R 的线性子空间， f01 1 ( x x ,0) = 是 G 上的线 性泛函. 由 fx x x 01 1 1 ( ) ,0 ,0 = = ( ) ， 容易知道 0f =1，故 0f 连续. 对于每个 β ∈ R ， F ( xx x x 12 1 2 , ) = + β 都是 0f 的延拓并且 Fxx x x x x ( ) 12 1 2 1 2 , max 1, ≤+ ≤ + β β ( )( ) = max 1, , ( β ) ( x1 2 x ) . 于是当 β ≤1时， F 是保持范数的延拓，这种延拓的个数有不可数无 穷多个. 这里我们给出一个保证线性泛函延拓唯一性的条件，而将其证明 略去. 定理 7 设 X 是线性赋范空间，为了使 X 的每个线性子空间上的 连续线性泛函都有唯一的保持范数的延拓，必须并且只须共轭空间 X ∗ 是严格凸的