第23讲紧算子的谱论 教学目的:掌握紧算子谱的特征 讲解要点 1紧算子谱的特征 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方 程解的关系。 Freidho 1m择一定理 紧算子是一大类有界线性算子,线性代数和积分方程中遇到的很 多算子都是紧算子.本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz- Schauder 理论.为此,我们做一些必要的准备 设X是 Banach空间,C(X)是X中的紧算子的全体 引理1设X是 Banach空间,NcX是有限维子空间,则N是 可余的,即存在闭子空间M使得X=M⊕N 证明N是闭的,设e12…en是N的一组基,对于每个x∈N, a,(x)e 此表达式是唯一的.容易验证,a1(x),…an(x)是N上的线性泛函并且 每个a1(x)是连续的.实际上,a(x)=0当且仅当 (x)e1 (x)e (x)e 故N(a1)=spm{e1…;e-12e-t…,en}为n-1维闭子空间 a1在N上定义,根据Hahn- Banach定理,a1可延拓到整个空间X 上.记延拓后的泛函为a1…;an,设M=∩N(a),M是闭线性子空间 我们证明X=MN
1 第 23 讲 紧算子的谱论 教学目的：掌握紧算子谱的特征。 讲解要点： 1 紧算子谱的特征。 2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方 程解的关系。Freidholm 择一定理。 紧算子是一大类有界线性算子, 线性代数和积分方程中遇到的很 多算子都是紧算子. 本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz-Schauder 理论. 为此，我们做一些必要的准备. 设 X 是 Banach 空间， C X( ) 是 X 中的紧算子的全体. 引理 1 设 X 是 Banach 空间， N ⊂ X 是有限维子空间，则 N 是 可余的，即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N . 证明 N 是闭的，设 1, , n e e ⋅⋅⋅ 是 N 的一组基，对于每个 x∈ N, 1 1 () () n n x = a xe a xe +⋅⋅⋅+ , 此表达式是唯一的. 容易验证， 1( ), , ( ) n ax a x ⋅⋅⋅ 是 N 上的线性泛函并且 每个 1 a x( ) 是连续的.实际上， () 0 i a x = 当且仅当 11 1 1 1 1 () () () () , i i i i nn x a xe a xe a xe a xe = +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ − −+ + 故 1 11 ( ) {, , , , , } N a span e e e e i ii n = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ − + 为 n −1维闭子空间. i a 在 N 上定义，根据 Hahn-Banach 定理， i a 可延拓到整个空间 X 上.记延拓后的泛函为 * * 1 , , n a a ⋅⋅⋅ ，设 * 1 ( ), n i i M Na M = = ∩ 是闭线性子空间. 我们证明 XMN = ⊕
若x∈M∩N,则一方面对于每个,x∈N(a),a1(x)=0,又 x∈N,故 x=a, (x)e,+.+a,(x)em, =0 即M∩N={0}.另一方面,Vx∈X,记x=a1(x)e1+…an(x)en,则 x∈N并且 a(x-a 于是y'=x-x∈M,x有分解x=x+y.所以X=M由N. 引理2设X是 Banach空间,A∈C(X),元∈C,A≠0,则 N(AI-A)是有限维的,R(-A)是X的闭线性子空间 证明1°考虑N=N(-A)I-A是有界线性算子,故N是 闭线性子空间.Vx∈N,Ax=Ax,即A(N)=AN=N.A是紧算子 设{xn}是单位球中的任一序列,则{}是有界序列,A4()=xn于是 {x}中有子序列{xn}收敛.这说明N的闭单位球是紧的,从而N是 有限维的 2°由引理1,存在闭线性子空间M,X=M⊕N,我们证明 M=R(I-A) 定义算子B:M→X,Bx=x-Ax.由于X=MN,在N上, -A=0,故R(B)=R(4I-A).B是一一的,实际上若 Bx1=Bx2x,x2∈M,则 (I-A)x=(A-A)x2,或(A/-A)(x1-x2)=0 故一方面x1-x2∈M,另一方面x-x2∈N(-A)=N,所以 现在我们证明存在a>0,‖Bx‖2alxl,lvx∈M.否则,存在 X.∈M Bxn|n‖xn,不失一般性设‖xn|=1,则‖Bx|kn1.A是紧的 故有子列xn,Ax→x∈X.但Axn=Axn-Bx,由Bx>0知
2 若 x ∈ ∩ M N, 则一方面对于每个 , ( ), ( ) 0, i i ix Na a x ∈ = 又 x∈ N, 故 1 1 () () n n x = a xe a xe +⋅⋅⋅+ = 0, 即 M N ∩ = {0}. 另一方面， ∀ x∈ X , 记 '* * 1 1 () () , n n x = +⋅⋅⋅ a xe a xe 则 ' x ∈ N 并且 * ' * *' * * ( ) () ( ) () () 0 i ii ii ax x ax ax ax ax −= − = − = ， i n = 1, . ⋅⋅⋅ 于是 ' y x x Mx ' , =−∈ 有分解 ' ' x = x y + . 所以 XMN = ⊕ . 引 理 2 设 X 是 Banach 空 间 ， A∈C X( ), λ ∈C, 0, λ ≠ 则 NIA ( ) λ − 是有限维的， R( ) λI A − 是 X 的闭线性子空间. 证明 1 D 考虑 NNIA IA = ( ), λ − − λ 是有界线性算子，故 N 是 闭线性子空间. ∀ x ∈ = N Ax x , , λ 即 A( ) N NN = λ = . A 是紧算子， 设{ }n x 是单位球中的任一序列，则{ }n x λ 是有界序列， () . n n x A x λ = 于是 { }n x 中有子序列 { }k n x 收敛. 这说明 N 的闭单位球是紧的，从而 N 是 有限维的. 2D 由引理 1，存在闭线性子空间 M , XMN = ⊕ , 我们证明 M = − RIA ( ) λ . 定义算子 B : , M X Bx x Ax → =− λ .由于 XMN = ⊕ ，在 N 上， λI A − = 0 ， 故 R() ( ) B RIA = − λ . B 是一一的，实际上若 1 212 Bx Bx x x M = ∈ ,, , 则 1 2 ( )( ) λI − =− Ax I Ax λ ，或 1 2 ( )( ) 0 λI Ax x − − = ， 故一方面 1 2 x − ∈ x M , 另一方面 1 2 x − x NIA N ∈ −= ( ) λ ，所以 12 1 2 x −= = x xx 0, . 现在我们证明存在 a Bx a x x M > ≥ ∀∈ 0, || || || ||, . 否则，存在 , n x ∈ M 1 || || || || B n n x nx − < ，不失一般性设 || || 1 n x = ，则 1 || || B n x n− < . A 是紧的， 故有子列 0 , . k k n n x Ax x X → ∈ 但 k kk A n nn x x Bx = λ − ， 由 0 k Bxn → 知
→x0(n4→>∞).于是一方面由B的连续性,B0= lim / Bx=0 另一方面,‖x‖lim‖x,‖=|A|≠0,矛盾说明a是存在的 若y是R(B)中的 Cauchy序列,不妨设yn=Bxn,xn∈M,则 lyn-yn‖引B(xn-xn)川‖≥al‖xn-xn‖ {x}是M中的 Cauchy序列,M闭,故存在x∈M,xn→x,令 y=Bx0,则y∈R(B),Bxn→>Bx0=y,R(B)是闭的,所以R(/-A) 是闭的 引理3设X为 Banach空间,A∈B(X),则对应于A的不同特 征值的特征向量彼此线性无关 证明设A1…是A的互不相同的特征值,x12…xn是相应的特 征向量,x≠0,Ax=1x(=1…m).若x1;…,x线性相关,不失一般 性设x=∑叫ax,则一方面 (4-4)…(--A)xn=(4/-A)…(n-1xn-Axn) =(41-A)…(-2-A)xn(元n-1-n) (1-)…(-1-元)xn≠0 另一方面,它们是可交换的,从而 (41-4)…(n1-A)xn=∑a(4l-4)…(I-A)x=0 矛盾.由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关,故结论成立 定理1设X是 Banach空间,A∈C(X),则 (1)A的非零谱点都是特征值 (2)σ(A)是可数集,0是o(4)惟一可能的聚点 (3)若dimX=∞,则0∈o(A) (4)对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的
3 0 ( ). k n k λx xn → →∞ 于是一方面由 B 的连续性， 0 lim 0. k k n n Bx Bx λ →∞ = = 另一方面， 0 || || lim || || | | 0, k k n n x x λ λ →∞ = =≠ 矛盾说明 a 是存在的. 若 n y 是 R( ) B 中的 Cauchy 序列，不妨设 , , n nn y Bx x M = ∈ 则 || || m n y y − || ( ) || || ||, B mn mn = x x ax x −≥ − { }n x 是 M 中 的 Cauchy 序 列 ， M 闭，故存在 0 0 , . n x ∈ Mx x → 令 0 0 y Bx = , 则 0 00 ( ), . ( ) n y R B Bx Bx y R B ∈ →= 是闭的，所以 R( ) λI A − 是闭的. 引理 3 设 X 为 Banach 空间， A∈B( ), X 则对应于 A 的不同特 征值的特征向量彼此线性无关. 证明 设 1, λ λn ⋅⋅⋅ 是 A 的互不相同的特征值， 1, , n x ⋅⋅⋅ x 是相应的特 征向量， 0, ( 1, ). i i ii x ≠ = = ⋅⋅⋅ Ax x i n λ 若 1, , n x ⋅⋅⋅ x 线性相关，不失一般 性设 1 1 n n ii i x a x − = =∑ ，则一方面 11 11 ( )( ) ( )( ) n n nn n λ I − ⋅⋅⋅ − = − ⋅⋅⋅ − A I A x I A x Ax λ λλ − − 1 21 ( ) ( )( ) n nn n = λ I A I Ax − ⋅⋅⋅ − − λ λλ − − = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 1 ( )( ) 0 n n nn λ λ λλ x = − ⋅⋅⋅ − ≠ − 另一方面，它们是可交换的，从而 1 1 ( )( ) n n λ I − A I Ax λ − ⋅⋅⋅ − 1 1 1 1 ( ) ( ) 0, n i ni i a I A I Ax λ λ − − = = ∑ − ⋅⋅⋅ − = 矛盾. 由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立. 定理 1 设 X 是 Banach 空间， A∈C X( ), 则 （1） A 的非零谱点都是特征值. （2） σ ( ) A 是可数集，0 是 σ ( ) A 惟一可能的聚点. (3) 若 dim , X = ∞ 则 0 ( ). ∈σ A (4) 对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的
证明1°我们证明当λ≠0时,若AI-A是一一映射,则 是到上的.由逆算子定理(-A)∈B(X),于是A∈p(A),便得到 令T=-A,对于任意正整数n A"-Cn-A+…+(-1)”CnA 2" -B 其中B是A与一个有界线性算子的乘积.由第三章§3知,B是紧算 根据引理2,R(T")=R("-B)是X的闭线性子空间,显然 R(Tm)cR(T")n=1,2,…)如果n,R(Tm)都是R(T")的真子空 间,由 Riesz引理,存在yn∈R(”),使得 Iy. l=1, P, R(T)) 注意T(R(T")cR(T),所以Tn=4yn-4yn∈R(Tm)记 Ty =Ay-Ay =T ∈X 若m 则 yn∈R(Tm)cR(T"),mmx∈R(Tm)cR(r) RoT 于是 ‖4yn-4yn‖=(yn-1yn)-(7mx0-7mx)川 =A‖yn-(y ≥|A|p(ynR(T)
4 证明 1 D 我 们 证 明 当 λ ≠ 0 时 , 若 λI A − 是一一映射，则 λI A − 是到上的. 由逆算子定理 1 ( ) () λI A X − − ∈B ，于是 λ ∈ ρ( ) A ，便得到 （1）. 令 T IA = λ − ，对于任意正整数 n, ( ) n n T IA = − λ 1 1 ( 1) n n n nn n n λ λ I C A CA − = − +⋅⋅⋅+ − n = − λ I B 其中 B 是 A 与一个有界线性算子的乘积. 由第三章§3 知， B 是紧算 子， 根据引理 2， () ( ) n n R T R IB = λ − 是 X 的闭线性子空间，显然 1 ( ) ( )( 1,2, ). n n RT RT n + ⊂ = ⋅⋅⋅ 如果 1 ,( ) n nRT + ∀ 都 是 ( ) n R T 的真子空 间，由 Riesz 引理，存在 ( ), n n y RT ∈ 使得 1 1 || || 1, ( , ( )) . 2 n n n y y RT ρ + = ≥ 注意 1 ( ( )) ( ), n n T RT RT + ⊂ 所以 1 ( ). n Ty y Ay R T n nn λ + = −∈ 记 1 0 , n n n λ y Ay T x + − = 1' ' 0 00 ,, . m Ty y Ay T x x x X m mm λ + =−= ∈ 若 m n > ，则 1 1' 1 1 0 ( ) ( ), ( ) ( ), m nm m n my RT RT T x RT RT ++ + + ∈⊂ ∈ ⊂ 1 1 0 ( ). n n T x RT + + ∈ 于是 1 1' 0 0 || || || ( ) ( ) || n m A nm nm y Ay y y T x T x λ λ + + − = −− − ' 1 1 0 0 | ||| ( ) || n m n m x x λ y yT T λ λ + + = −+ − 1 | | ( , ( )) n n λ ρ y RT + ≥ | | 0. 2 λ ≥ >
这与A的紧性矛盾,于是存在n,R(T)=R(T-) 由于T是一一的,Vy∈R(T-),y∈R(T)=R(T%+).不妨设 7(T"x),x∈X,则y=7"x∈R(T"), R(T%-)cR(T),R(T"-)=R(T)继续这一过程最后得到 R(T)=X.T是到上的 2°我们证明,对于任意的t>0, {2:λ∈o(A),||t} 是有限集.若不然,由T知,存在互不相同的一列∈G(A)4卜t λn是A的特征值.不妨设xn是相应的特征向量 xn≠0,Axn=nxn(mn=1,2,…).由引理3,{xn}是线性无关集,记 Mn=spmn{x,…xn},则 dim M=n.Mn是闭子空间并且 Mn-1∈Mn,Mn1≠Mn由 Riesz引理,存在 yn∈Mn,‖yn‖1,p(yn,M21) 不妨设y=∑anx,则 Anyn -Ay=a(a, I-A)x+2an(a,I-A)x ∑an(n-1)x 为简便起见,记y一4yn=二n1·类似地,记 Am -Ay 若m>n,则 Mm1,yn∈Mn∈Mn Aym -Ay, l (am -,y,)-(= =元n‖yn-(yn+-m1--n1)‖ 2Ln1p(yn,Mn1)≥>0 与A的紧性矛盾.故{:∈(A)A|}为有限集,t>0是任意的
5 这与 A 的紧性矛盾，于是存在 0 0 1 0 , ( ) ( ). n n n RT RT + = 由于 T 是一一的， 0 00 1 1 ( ), ( ) ( ). n nn y R T Ty R T R T − + ∀∈ ∈ = 不妨设 0 n 1 Ty T x + = 0 ( ), , n = ∈ TT x x X 则 0 0 ( ), n n y T x RT = ∈ 从 而 0 0 1 ( ) ( ), n n RT RT − ⊂ 0 0 1 ( ) ( ). n n RT RT − = 继续这一过程最后得到 R( ) T X = . T 是到上的. 2D 我们证明，对于任意的 t > 0, { : ( ),| | } λ λσ λ ∈ A > t 是有限集. 若不然，由 1 D 知，存在互不相同的一列 ( ),| | λn ∈σ λ A t > , λn 是 A 的 特 征 值 . 不 妨 设 n x 是相应的特征向量， 0, ( 1, 2, ). n n nn x Ax x n ≠ = = ⋅⋅⋅ λ 由引理 3， { }n x 是线性无关集，记 1 {, } Mn n = ⋅⋅⋅ span x x ， 则 dim . Mn = n Mn 是闭子空间并且 1 1 , Mn nn n − − ⊂ ≠ MM M . 由 Riesz 引理，存在 1 1 , || || 1, ( , ) 2 ( 2,3, ). n n n nn y M y yM n ρ − ∈ = ≥ = ⋅⋅⋅ − 不妨设 1 , n n in i i y x α= = ∑ 则 1 1 () () n n n n nn n n in n i i λ α λ αλ y Ay I A x I A x − = −= − + − ∑ 1 1 1 () . n in n i i n i αλ λ x M − − = = −∈ ∑ 为简便起见，记 nn n n 1 λ y Ay z − = − . 类似地，记 11 1 , . mm m m m m λ y Ay z z M −= ∈ − − − 若 m n > ，则 11 1 1 , n n mn n m z M M yM M −− − − ∈ ⊂ ∈⊂ ， 1 1 || || || ( ) ( ) || Ay Ay y y z z m n mm nn m n −= − −− λ λ − − 1 1 | ||| ( ) || n mn mm n m mm z z y y λ λ λ λλ − − = − +− 1 | | | | ( , ) 0. 2 m mm t ≥ ≥> λ ρ y M − 与 A 的紧性矛盾. 故{ : ( ),| | } λ λσ λ ∈ A > t 为有限集， t > 0是任意的
故σ(A)是可数集,0是o(4)惟一可能的聚点 3°若0∈p(A),则02-A=-A是正则算子.A有界,A紧,故 Ⅰ=AA-是紧算子,这说明X的闭单位球是紧的,从而X是有限维空 间,与所设条件矛盾 4°若A∈(A),A≠0,元对应的特征向量空间为N(AI-A),由引 理2即得之 由定理1可知,对于紧算子A来说,任何A≠0,要么A∈p(A) 要么A∈(4).这通常被称为紧算子的 Fredholm择一定理.相应于 算子方程(4I-A)x=y来讲,这相当于要么此方程对任何y∈X有惟 解,要么相应的齐次方程(4-A)x=0有非0解.这和线性方程组 的情况是一致的,和积分方程中的很多情况也是吻合的 思考题若dimX=∞,则T∈C(x)时,T不是正则的.反过来 T∈B(X)时,T∈C(X) 定义设X为线性赋范空间,X是X的共轭空间 (1)若x∈X,x∈X,x(x)=0,称x与x正交,记为x⊥x (2)设McX,NCX,若Vx∈M,x∈N,x⊥x,则称M与N 正交,记为M⊥N 特别地,{x}⊥N时,记为x⊥N 定理2设X是 Banach空间,A∈C(X),λ≠0,A是A的共轭 算子 (1)若y∈X,则方程(-A)x=y可解的充要条件是 y⊥N(Ar-了) (2)若y∈X,则方程(Ar-A)x=y2可解的充要条件是 6
6 故 σ ( ) A 是可数集，0 是 σ ( ) A 惟一可能的聚点. 3D 若 0 () ∈ ρ A ，则 0λ − A A = − 是正则算子. 1 A− 有界， A 紧，故 1 I AA− = 是紧算子，这说明 X 的闭单位球是紧的，从而 X 是有限维空 间，与所设条件矛盾. 4D 若 λ ∈ ≠ σλ λ ( ), 0, A 对应的特征向量空间为 NIA ( ) λ − ，由引 理 2 即得之. 证毕. 由定理 1 可知， 对于紧算子 A 来说，任何 λ ≠ 0 ，要么 λ ∈ ρ( ) A ， 要么 ( ) λ ∈σ p A .这通常被称为紧算子的 Fredholm 择一定理. 相应于 算子方程 ( ) λI − = Ax y 来讲，这相当于要么此方程对任何 y X ∈ 有惟 一解，要么相应的齐次方程 ( )0 λI Ax − = 有非 0 解. 这和线性方程组 的情况是一致的，和积分方程中的很多情况也是吻合的. 思考题 若 dim , X = ∞ 则 T CX ∈ ( ) 时 , T 不是正则的 . 反过来 1 T BX( ) − ∈ 时, T CX ∈ ( ) . 定义 设 X 为线性赋范空间， * X 是 X 的共轭空间. （1） 若 * ** x Xx X x x ∈∈ = , , () 0 ，称 * x 与 x 正交，记为 * x ⊥ x . （2） 设 * M ⊂ ⊂ XN X , ，若 * * ∀x∈ ∈⊥ Mx Nx x , , ，则称 M 与 N 正交，记为 M ⊥ N. 特别地，{ }x ⊥ N 时，记为 x N ⊥ . 定理 2 设 X 是 Banach 空间， * A CX A ∈ ≠ ( ), 0, λ 是 A 的共轭 算子. （1） 若 y X ∈ ，则方程 ( ) λI − Ax y = 可解的充要条件是 * * yNI A ⊥ − ( ) λ . （2） 若 * * y X ∈ ，则方程 * ** * ( ) λI − Ax y = 可解的充要条件是
y⊥N(a/-A) 其中N(A-A)是A的相应于A的特征向量空间,N(I-A)是A 的相应于A的特征向量空间 证明1若(4-A)x=y有解x,x∈N(Ar-A),则 x(y)=(x,(4/-A)x)=(/-A)x,x) (r-A)x,x)=0 故y⊥N(r-A) 反之,若y⊥N(A-A),我们证明y∈R(I-A).若不然, yER(I-A) 由引理2,R(Ⅰ-A)是闭线性子空间,根据 Hahan- Banach定理,存 在x∈X,x'(y)≠0,但在R(AI-A)上x=0.由此,一方面vx∈X, y=(AI-A)x∈R(I-A) (r-A)x,x)=(x,(/-A)x)=x(y)=0 这说明(A-A)x=0,x∈N(Ar-A).另一方面由x(y)≠0知道 y⊥N(A-A)不成立,从而出现矛盾,故y∈R(A-A),所以存在 x∈X,使得y=(aI-A)x 2若对于y∈X,方程(Ar-A)x=y有解x,则 vx∈N(/-A),y(x)=(-A)x,x)=(x,(4-A)x)=0,故 y⊥N(4-A) 反之,若y⊥N(4-A),对于任意的y∈R(-A),不妨设 y=(-A)x,令y(y)=y(x),我们将验证y是R(-A)上的连续 线性泛函.首先y有确定的意义.实际上,若另有y=(/-A)x,则 (A-A)(x-x)=0,x-x∈N(I-A),但y⊥N(a/-A),所以 y(x-x)=0,y(x)=y(x),这说明y(y)由y惟一确定 y在R(-A)上是线性的,现在证明y连续.设yn∈R(-A) 不妨设yn=(λⅠ-A)xn→>0,根据引理2中R(/-A)为闭子空间的证
7 * y NIA ⊥ − ( ) λ . 其中 * * NI A ( ) λ − 是 * A 的相应于 λ 的特征向量空间, NIA ( ) λ − 是 A 的相应于 λ 的特征向量空间. 证明 1 D 若 ( ) λI − = Ax y 有解 * x, x ∈ * * NI A ( ) λ − ，则 * * x ( ) ( ,( ) ) y x I Ax = − λ * * = − (( ) , ) λI Axx * ** = (( ) , ) 0. λI Axx − = 故 * * yNI A ⊥ − ( ). λ 反之，若 * * yNI A ⊥ − ( ), λ 我们证明 yRIA ∈ ( ) λ − . 若不然， yRIA ∉ − ( ) λ ， 由引理 2， R( ) λI A − 是闭线性子空间，根据 Hahan-Banach 定理， 存 在 * * x Xx y ∈ ≠ , ( ) 0, 但在 R( ) λI A − 上 * x = 0 . 由此，一方面 ∀ ∈x X , ' y I Ax R I A =−∈ − ( )( ) λ λ ， * ** (( ) , ) λI − Axx * *' = −= = ( ,( ) ) ( ) 0. x I Ax x y λ 这说明 * ** * * * ( ) 0, ( ). λ λ I − =∈ − Ax x N I A 另一方面由 * x y() 0 ≠ 知 道 * * yNI A ⊥ − ( ) λ 不成立，从而出现矛盾 , 故 yRIA ∈ ( ) λ − ，所以存在 x X ∈ ，使得 y I Ax = − ( ) λ . 2D 若对于 * * y X ∈ ，方程 * ** * ( ) λI − Ax y = 有 解 * x ， 则 ∀∈ − x NIA ( ) λ ， * * ** * y x I A x x x I Ax ( ) (( ) , ) ( ,( ) ) 0 = λ λ − = −= ，故 * y NIA ⊥ − ( ) λ . 反之，若 * y NIA ⊥ − ( ) λ ，对于任意的 yRIA ∈ ( ) λ − ，不妨设 y I Ax = − ( ), λ 令 * * 0 yy yx () () = ，我们将验证 * 0 y 是 R( ) λI A − 上的连续 线性泛函. 首先 * 0 y 有确定的意义. 实际上，若另有 ' y I Ax = − ( ) λ ,则 ' ' ( )( ) 0, ( ) λ λ I − − = −∈ − Ax x x x N I A ， 但 * y NIA ⊥ ( ) λ − ，所以 * * * ** yx x yx yx ( ) 0, ( ) ( ) −= = ，这说明 * 0 y y( )由 y 惟一确定. * 0 y 在 R( ) λI A − 上是线性的，现在证明 * 0 y 连续.设 ( ) n y RIA ∈ λ − ， 不妨设 ( )0 n n y I Ax = λ − → ，根据引理 2 中 R( ) λI A − 为闭子空间的证
明,存在a>0,‖(A/-A)xaxl.即‖y‖=‖(4-A)xn|alx‖ 于是{xn}为有界序列,A紧,不妨设Ax→>x·对yn=(I-A)x两 端取极限得到,Axn→>x,由A/-A的连续性又得到 (l-A)x= lim a(al-A)x= lim Ay=0 于是x∈N(A/-A),所以y(x)=0 yo(m)=yo(a1-Ax=y(xn)>y(xo)=0, 这说明对于任一序列yn→>0,都可以选出子序列{yn},yo(0n)→>0.,故 必有y0(y)→>0,y连续 根据Hahn- Banach定理,存在x∈X,在R(l-A)上 x(y)=y(y)现在对于任何x∈X, ((r-Ax,x)=(x, (27-A)x)=(xo, (1-A)x) =y(y)=y(x) 故y=(-A)x,x是方程的解 定理3设X是 Banach空间,A∈C(X),A≠0,A是A的共轭算 (1)G(A)=(A) (2)设A,H∈o(A),x是A的相应于A的特征向量,x是A的 相应于的特征向量,A≠p,则x⊥x N(a-A)⊥N(-A) (3)若λ∈a(A),A≠0,则dimN(/-A)=dimN(A-A) 证明1°注意到A也是紧算子,故当A≠0时,A不是A的 特征值,A一定是正则点.若dmX<∞,相应于A的矩阵是相应于A 的矩阵的转置,根据线性代数的知识,二者有相同的特征值,结论成 若dmX=∞,由定理l(3),0∈o(A),同时dimX=∞,于是 0∈σ(A).现在设λ≠0,我们只须证明A∈p(A)当且仅当
8 明，存在 a > 0, || ( ) || || || λI − ≥ Ax a x . 即 || || || ( ) || || || n n y I Ax a x = λ − ≥ . 于是 { }n x 为有界序列，A 紧，不妨设 0 k A n x x → . 对 ( ) k k n n y I Ax = λ − 两 端取极限得到， 0 k n λx → x ，由 λI A − 的连续性又得到 0 ( ) lim ( ) lim 0 k k k k n n n n λI Ax I Ax y λλ λ →∞ →∞ −= − = = ， 于是 0 x ∈ − NIA ( ) λ ，所以 * 0 y x( ) 0, = ** * * 00 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, k kk n nn y y y I Ax y x y x λ λ = −= → = 这说明对于任一序列 0 n y → ，都可以选出子序列 * 0 { }, ( ) 0, k k n n y yy → 故 必有 * * 0 0 ( ) 0, n yy y → 连续. 根 据 Hahn-Banach 定理，存在 * * x ∈ X , 在 R( ) λI A − 上 * * 0 x ( ) ( ). y yy = 现在对于任何 x∈ X , * ** * * 0 (( ) , ) ( ,( ) ) ( ,( ) ) λ λλ I − = −= − A x x x I Ax x I Ax * * 0 = = yy yx ( ) ( ). 故 * * *** y I Axx = − ( ), λ 是方程的解. 定理 3 设 X 是 Banach 空间， * A CX A ∈ ≠ ( ), 0, λ 是 A 的共轭算 子. 则 （1） * σ σ ( ) ( ). A A = （2） 设 λ, ( ), µ σ ∈ A x 是 A 的相应于 λ 的特征向量， * x 是 * A 的 相应于 µ 的特征向量， λ ≠ µ, 则 * x ⊥ x ，从而 * * NIA N I A ( )( ) λ µ −⊥ − . （3）若 λ ∈ ≠ σ λ ( ), 0 A ，则 * * dim ( ) dim ( ) NIA NI A λ λ −= − . 证明 1 D 注意到 * A 也是紧算子，故当 λ ≠ 0 时， λ 不是 * A 的 特征值，λ 一定是正则点.若 dim X < ∞ ，相应于 * A 的矩阵是相应于 A 的矩阵的转置，根据线性代数的知识，二者有相同的特征值，结论成 立. 若 dim X = ∞ ，由定理 1(3) ， 0 () ∈σ A ，同时 * dim X = ∞ ，于是 * 0 () ∈σ A . 现 在 设 λ ≠ 0 ，我们只须证明 λ ∈ ρ( ) A 当且仅当
A∈p(A) 若L∈p(A),由本章§1定理4(1),(A-A)x=y对于任何y∈X 有解,从定理2知,y⊥N(A-A).由y的任意性知 N(Ar-A)={0},即A-是一一映射,根据定理1证明中的, A-A是到上的,从而A∈p(A) 反之,若A∈p(A),则(Ar-A)x=y对于任意的y有解,于 是由定理2,y⊥N(-A),所以,N(4-A)={0},A-A是 的.根据定理1证明中的1,A-A到上,故A∈p(A),总之 p(A)=p(A).所以(A)=a(A) 2任取x∈N(A-A),x∈N(-A),则Ax=Ax,A x,于是 Ax(x)=(x, 1x)=(x, Ax) =(Ax,x)=(x,x)=x(x) 或(-)x(x)=0.由≠H,故 x(x)=0,N(4I-A)⊥N(-了) 3°设dimN(AI-A)=n,dmN(r-A)=n.根据定理1(4),二 者都是有限的 首先证明n≤n.若n=0,不等式自然成立.若n=0,即 N(AI-A)={0},于是AI-A是一一的,由定理1证明的1,A-A还 是到上的,即A∈p(A).由上面的1°,A∈D(A),故N(Ar-A)={0}, n=0,所说等号成立 现在考虑n,n均为非零的情况,设x2…xn是N(A-A)的一组 基,y,…y是N(r-A)的一组基,由本节引理1的证明不难知道 存在x1…x使得 x;)= 0,i≠j 又容易用归纳的方法证明,存在y…y,使得
9 * λ ρ ∈ ( ) A . 若 λ ∈ ρ( ) A ，由本章§1定理 4(1) ，( ) λI − Ax y = 对于任何 y X ∈ 有解，从定理 2 知， * * yNI A ⊥ − ( ). λ 由 y 的任意性知， * * NI A ( ) {0} λ − = , 即 * λI − A 是一一映射，根据定理 1 证明中的1 D ， * * λI − A 是到上的，从而 * λ ρ ∈ ( ) A . 反之，若 * λ ρ ∈ ( ) A ，则 * ** * ( ) λI − Ax y = 对于任意的 * y 有解，于 是由定理 2， * y NIA ⊥ − ( ) λ ，所以， NIA ( ) {0} λ − = ， λI A − 是一 一的.根据定理 1 证明中的 1 D ， λI A − 到上，故 λ ∈ ρ( ) A ，总之 * ρ ρ ( ) ( ). A A = 所以 * σ σ ( ) ( ). A A = 2D 任 取 * ** x∈−∈ − N I Ax N I A ( ), ( ) λ µ ， 则 * * Ax x A x = λ , = * µx ，于是 ** * λ λ x () ( , ) ( , ) x x x x Ax = = ** * * = == ( , ) ( , ) ( ). Ax x x x x x µ µ 或 * ( ) () 0 λ µ − = x x .由 λ ≠ µ ，故 * x x( ) 0, = * * NIA N I A ( )( ) λ µ −⊥ − . 3D 设 ** * dim ( ) ,dim ( ) NIA n NI A n λ λ −= − = .根据定理1(4) ，二 者都是有限的. 首先证明 * n n ≤ . 若 * n = 0 ，不等式自然成立.若 n = 0 ， 即 NIA ( ) {0} λ − = ，于是 λI A − 是一一的，由定理 1 证明的1 D ，λI A − 还 是到上的，即 λ ∈ ρ( ) A .由上面的1 D ， * λ ρ ∈ ( ) A ，故 * * NI A ( ) {0} λ − = ， * n = 0, 所说等号成立. 现在考虑 * n n, 均为非零的情况，设 1, n x ⋅⋅⋅x 是 NIA ( ) λ − 的一组 基， * * 1 , n y y ⋅⋅⋅ 是 * * NI A ( ) λ − 的一组基，由本节引理 1 的证明不难知道， 存在 * * 1 , n x ⋅⋅⋅x 使得 * 1, . ( ) 0, . j i i j x x i j = = ≠ 又容易用归纳的方法证明，存在 * * 1 , n y y ⋅⋅⋅ ，使得
y,) 定义F:X→X, ∑x(x) 显然F是有界线性算子并且是有限秩算子,从而F是紧的.算子 B=A+F是紧的.我们证明AI-B是一一映射 实际上,若(AI-B)x=0,则 (A-A)x=F(x)=∑x(x)y yi, (21-A)x)=(;,2* (x)])=x, (x) 但y∈N(A-A),故 (y,(4-A)x)=(r-)y,x)=0.(=1…m) 从而x,(x)=0,代入(5-2-1)知道(I-A)x=0,x∈N(-A).由 于x,xn是的一组基,不妨设x=∑ax,由a1=x①∑ax) x(x)=0(=1,…;n)知x=0,A-B是一一的.由引理2的证明T I-B是到上的 若n<n,取x∈X,使(/-B)x=yn+1则 1=yn1(yn1)=(y1(/-B)x) =(yn1,(I-A)x)-(y1F(x) (r-A),x)-(∑x(x)y)=0 因为yn∈N(Ar-A).矛盾说明n≤n
10 * 1, . ( ) 0, . j i i j y y i j = = ≠ 定义 FX X : , → * 1 () () n i i i F x x xy = = ∑ , ∀x X ∈ . 显 然 F 是有界线性算子并且是有限秩算子，从而 F 是紧的 . 算子 B = + A F 是紧的. 我们证明 λI B− 是一一映射. 实际上，若 ( )0 λI Bx − = ，则 * 1 ( ) () () n i i i λI Ax F x x xy = −= = ∑ , (5-2-1) * ** * 1 ( ,( ) ) ( , ( ) ) ( ). n j j iij i y I Ax y x xy x x λ = −= = ∑ 但 * ** ( ) j y NI A ∈ − λ ，故 * * ** ( ,( ) ) (( ) , ) 0 j j y I Ax I A y x λ λ −= − = . ( 1, ), j n = ⋅⋅⋅ 从而 * () 0 j x x = ，代入（5－2－1）知道 ( ) 0, ( ) λI − Ax x N I A =∈ − λ . 由 于 1, n x ⋅⋅⋅x 是的一组基，不妨设 1 n i i i x α x = = ∑ ， 由 * 1 ( ) n j j ii i α α x x = = ∑ * ( ) 0( 1, , ) j = = = ⋅⋅⋅ x xj n 知 x = 0, λI B − 是一一的. 由引理 2 的证明1 D ， λI B− 是到上的. 若 * n n < ，取 x X ∈ ，使 1 ( ) n λI Bx y − = + 则 * * 11 1 1 ( ) ( ,( ) ) nn n = =− y y y I Bx ++ + λ * * 1 1 ( ,( ) ) ( , ( )) n n = −− y I Ax y F x + + λ * ** * * 1 1 1 (( ) , ) ( , ( ) ) n nn i i λI A y x y x xy + + = =− − ∑ = 0 ， 因为 * ** 1 ( ) n y NI A + ∈ − λ . 矛盾说明 * n n ≤
