第8讲积空间与商空间 教学目的:了解积空间与商空间的定义与基本性质。 授课要点: 1、积空间的定义和基本性质 2、商空间与商映射的基本属性 设(X1;|·4),1≤i≤n是一组线性赋范空间,令 x=(x1…x):x∈X,1≤i≤n} 记为X=∏X1,X中元素的线性运算与序列空间中一样定义,则X是线性空间.若此外定义 x。=C∑‖x1l)",1≤p0,3使得k≥k时 ∑x"-x“=x”-x“"<E, 特别地对于每个i, (1) 这说明{xk≥l是x1中的 Cauchy序列由x的完备性,不妨设‖x)-x→0,这里 x∈X(≤i≤n).记x=(x…,x)在(1)中固定k≥k,令s→∞,则有
第 8 讲 积空间与商空间 教学目的：了解积空间与商空间的定义与基本性质。 授课要点： 1、 积空间的定义和基本性质。 2、 商空间与商映射的基本属性。 设( ;|| || ), 1 Xi i ⋅ ≤≤i n 是一组线性赋范空间，令 X = { } x = (x1,", xn ): xi ∈ Xi ,1≤ i ≤ n ， 记为 ∏= = n i X Xi 1 . X 中元素的线性运算与序列空间中一样定义，则 X 是线性空间. 若此外定义 = ∑ ≤ 0， 0 ∃k 使得 0 s, k ≥ k 时 p p p s k n i p i k i s i ∑ x − x = x − x < ε = || || || || ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , 特别地对于每个i ， − < ε i k i s i || x x || ( ) ( ) (1) 这说明 { ; 1} ( ) x k ≥ k i 是 Xi 中的 Cauchy 序列.由 Xi 的完备性,不妨设 || || 0 xi (k ) − xi i→ ，这里 x X (1 i n) i ∈ i ≤ ≤ . 记 ( , , ) 1 n x = x " x . 在 (1) 中固定 0 k ≥ k ,令 s → ∞ ，则有
(2) 不妨设对于每个i,当k≥k0时(2)均成立,则 x“)-x=C∑x-x,")≤vne,(1≤p<∞) 总之,limx*)=x.故X完备 反之,设X完备,我们证明每个x完备.注意 E4={(0,…,0,x,0,…,0)x∈X} 是X的线性子空间并且E与X等距同构 l(0,…0,x,O,…)‖l,=xl‖2,Vx∈k 于是剩下只需证明E是X的闭子空间 设x*)=(0,…0.,x,0,…0)∈E,x)→x,不妨设x=(x1…,x),其中x1∈x(1≤i≤n) 由于 x-x=x-x+∑‖x→0 此时必有j≠时,x=0,同时x“-x1→0.这说明x∈E,E闭(P=∞的情况可类似 证明) 由于当x=(x1 )∈X时 lPx- Pyl=llx-yls‖x-y 所以P连续(1≤i≤n) 上面我们只对有限多个空间定义它们的乘积,实际上对于无穷多个也可以类似定义。定 理1也照样成立。读者不妨试证之 下面让我们转到商空间.在第4讲证明完备化定理时我们己经接触过商集的概念.现在 我们有 定理2设X是线性空间,EcX是线性子空间 (1)若规定x~y当且仅当x-y∈E,“~”是X中的等价关系.若定义 xty=x+y
− ≤ ε i k i i || x x || ( ) . (2) 不妨设对于每个i ，当 0 k ≥ k 时 (2) 均成立, 则 || || ( || || ) , (1 ) 1 1 ( ) ( ) − = ∑ − ≤ ≤ < ∞ = x x x x n p p p n i p i i k p i k ε . 总之， x x k k = →∞ ( ) lim .故 X 完备. 反之，设 X 完备，我们证明每个 Xi 完备. 注意 {(0, ,0, ,0, ,0); } i i i i Ei = " x " x ∈ X 是 X 的线性子空间并且 Ei 与 Xi 等距同构. i p i p i X i || (0,",0, x ,0,",0) || =|| x || , ∀x ∈ . 于是剩下只需证明 Ei 是 X 的闭子空间. 设 x x E x x k i k i (k ) = (0,",0, ( ) ,0,",0)∈ , ( ) → , 不妨设 ( , , ) 1 n x = x " x ，其中 x X (1 i n) i ∈ i ≤ ≤ . 由于 || || || || || || 0 ( ) − = ( ) − +∑ → j≠i p j j p i i k i p p k x x x x x 此时必有 j ≠ i 时， = 0 j x ，同时|| || 0 xi (k ) − xi i→ . 这说明 i Ei x ∈ ， Ei 闭. ( p = ∞ 的情况可类似 证明). 2°由于当 ( , , ) 1 n x = x " x , y = (y1,", yn )∈ X 时 || || || || || || Px Py x y x y i i i i ii p − =− ≤− 所以 Pi 连续(1 ≤ i ≤ n) . 上面我们只对有限多个空间定义它们的乘积，实际上对于无穷多个也可以类似定义。定 理 1 也照样成立。读者不妨试证之。 下面让我们转到商空间. 在第 4 讲证明完备化定理时我们已经接触过商集的概念. 现在 我们有： 定理 2 设 X 是线性空间， E ⊂ X 是线性子空间. (1)若规定 x ~ y 当且仅当 x − y ∈ E ，“~”是 X 中的等价关系. 若定义 x + y = x + y ，αx =αx
则X/E(=X/~)是线性空间(称X/E是X关于E的商空间) (2)若X是线性赋范空间,E是X的闭线性子空间,则X/E是线性赋范空间 (3)若X是 Banach空间,E是X的闭线性子空间,则X/E是 Banach空间 证明1°对于任意的x∈X,x-x∈E,故x~x由于E是线性子空间,当x-y∈E E,则 (x-y)+(y-二) x~y,y~二时所以“~”是等价关系 记x={x+y,y∈EX/E={x∈x},并且规定 这些运算有确定的意义例如若X=x,=则x-x1∈E,y-y∈E,从而 (x+y)-(x1+y1)∈E,ax-ax1∈E, 是x+y=x+y1,ax=ax1.依照第1讲定义1可验证X/E是线性空间,其中o=E 2°对于每个x∈X/E,令 xl=inf‖y‖l (3) 则‖‖是X/E上的范数.实际上‖x心0,若x0,则习n∈x,yn→0,故yn-x=n∈E En=yn-x→-x,E闭,于是x∈E,x=E=0 对于每个x∈X/E, axl|=axl=inf‖ ayla inf‖yl=alI‖ 最后,x,j∈X/E,由定义,彐xn∈x,‖xn|A‖+-,同时yn∈y川yn|k4‖到+-,从 而xn+yn∈x+j并且 lx+y|‖xn+yn|x‖+‖yn|‖+‖y‖ n→ 得到 ‖x+j|‖x‖+‖j‖ 于是(3)定义了X/E上的范数 3°若X完备,E闭,{}是XE中的 Cauchy序列取2x,则彐n使当n≥n1时, 1,-正不妨设n单调增加记=x,则阿}是民的子序列并且一k是 从而由X/E中范数定义,存在∈E,使得 k 4=441-14+=4,则∑v∞,X完备,故彐v∈X使得lm∑v=”.令u=y+,现在
则 X / E(= X / ~) 是线性空间 (称 X / E 是 X 关于 E 的商空间). (2)若 X 是线性赋范空间， E 是 X 的闭线性子空间，则 X / E 是线性赋范空间. (3)若 X 是 Banach 空间， E 是 X 的闭线性子空间，则 X / E 是 Banach 空间. 证 明 1° 对于任意的 x∈ X ，x − x∈ E ,故 x ~ x .由于 E 是线性子空间，当 x − y ∈ E 时 y − x∈ E ，故 x ~ y 则 y ~ x .若 x ~ y ∈ E ， y − z ∈ E ，则 x − z = (x − y) + ( y − z)∈ E ，故 x ~ y , y ~ z 时.所以“~”是等价关系. 记 x = { } x + y; y ∈ E , X / E = { } x; x∈ X ，并且规定 x + y = x + y ，αx =αx(α ∈Φ ) ，， 这些运算有确定的意义. 例如若 1 1 x = x , y = y 则 x − x1 ∈ E, y − y1 ∈ E ，从而 (x + y) − (x1 + y1)∈ E,αx −αx1 ∈ E ， 于是 1 1 1 x + y = x + y ,αx =αx . 依照第 1 讲定义 1 可验证 X / E 是线性空间，其中o = E . 2° 对于每个 x ∈ X / E ，令 || x || inf || y || y∈x = (3) 则|| ⋅|| 是 X / E 上的范数. 实际上|| x ||≥ 0 ,若|| x ||= 0，则 ∃ ∈ ,|| ||→ 0 n n y x y ，故 yn − x = zn ∈ E . z y x x n = n − → − ， E 闭，于是 x Ex E ∈ == , 0. 对于每个 x ∈ X / E ， || x || || x || inf || ay || | | inf || y || | | || x || y x y x α = α = = α = α ∈ ∈ . 最后， ∀x, y ∈ X / E ，由定义， n x x x x n n 1 ∃ ∈ ,|| ||<|| || + ，同时 n y y y y n n 1 ∃ ∈ ,|| ||<|| || + ，从 而 x y x y n + n ∈ + 并且 n x y x y x y x y n n n n 2 || + ||≤|| + ||≤|| || + || ||≤|| || + || || + , 令 n → ∞ ，得到 || x + y ||≤|| x || + || y || . 于是 (3) 定义了 X / E 上的范数. 3° 若 X 完备，E 闭，{ }n x 是 X / E 中的 Cauchy 序列. 取 k k 2 1 ε = ，则 k ∃n 使当 k n ≥ n 时， n nk k x x 2 1 || − ||< .不妨设 k n 单调增加. 记 nk k u = x ，则{un}是{xn }的子序列并且 k k k u u 2 1 || || +1 − < . 从而由 X / E 中范数定义，存在 zk ∈ E ，使得 k k k k u u z 2 1 || || +1 − + < . 记 k k k k v = u − u + z +1 ，则 ∑ ∞ = < ∞ 1 || || k k v . X 完备，故∃v∈ X 使得 ∑= →∞ = n k k n v v 1 lim . 令 1 u = v + u ， 现在
证明x→ 实际上由=∈E,则Ⅶn21,∑=∈E,∑==0, ln-i|=n--l+∑=k|un-"-1+∑=H∑v-v|0 于是五→矿,即→,}为Cacy序列,其中有子列收敛,故}收敛并且元→, 从而X/E完备 定理3设X是线性赋范空间,E是X的闭线性子空间,定义映射x:X→X/E,x→x 则 (1)是到上的连续映射 (2)丌将X中的开集映射为X/E中的开集 证明 丌是到上和连续的直接由定义得出.事实上,由X/E中范数定义,若 丌(x)=x, 则 ‖r(x)H=‖xl=inf‖y|‖xl 2°考虑空间X中的球O0n)和X/E中的球00,r),后者即集合∈X/E,r 首先,对于每个x∈O(0r),由的定义,存在x∈OO,r)使得x(x)=x这说明 O(0,r)cx(O(0,r) 设VcX是开集,现证x(V)是X/E中的开集对于任一点x∈r(V),存在x∈V,使得 丌(x)=.V是开集,故有r>0使得O(0,r)cV.此时由集合的线性运算,O(x,r)=x+O(0,r) 从而由(5) x+o(0, r)cr(x)+r(o(O, r)=r(x+o(0, r)=r(O(, r)cr) 所以是r()的内点.x是任意的,故r()是开集 思考题若X是线性空间,ECX是线性子空间,验证X/E是线性空间
证明 x u n → . 实际上由 zk ∈ E ，则 ∀n ≥1, ∑= ∈ n k zk E 1 ， z o n k ∑ k = =1 , || || || || || || || || 0 1 1 1 1 1 1 − = 1 − − 1 +∑ ≤ − − +∑ = ∑ − → = = + = + + n k k n k n k n k n n k u u u v u z u v u z v v . 于是uk → u ，即 x u nk → .{ }n x 为 Cauchy 序列，其中有子列{ } nk x 收敛，故{xn}收敛并且 xn → u ， 从而 X / E 完备. 定理3 设 X 是线性赋范空间，E 是 X 的闭线性子空间，定义映射π : X → X / E ，x 6 x ， 则 (1) π 是到上的连续映射. (2) π 将 X 中的开集映射为 X / E 中的开集. 证明 1° π 是到上和连续的直接由定义得出. 事实上，由 X / E 中范数定义，若 π (x) = x ，则 || (x) || || x || inf || y || || x || y x = = ≤ ∈ π . (4) 2° 考虑空间 X 中的球O(0,r) 和 X / E 中的球O(0,r) ，后者即集合{ } x ∈ X / . E;|| x || 0使得O( . 0,r) ⊂ V 此时由集合的线性运算，O(x,r) = x + O(0,r) ， 从而由 (5), x + O(0,r) ⊂ π (x) + π (O(0,r)) = π (x + O(0,r)) = π (O(x,r)) ⊂ π (V ) 所以 x 是π (V) 的内点. x 是任意的，故π (V ) 是开集. 思考题 若 X 是线性空间， E ⊂ X 是线性子空间，验证 X / E 是线性空间