第7讲紧性与有限维空间可分性 教学目的:掌握单位球的紧性与空间维数的关系,以及可分的概念 授课要点: 有限维空间的同构性 2、有限维空间单位球的紧性特征 3、可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质.在上一讲推论3中已经知道,对于有限维空间 来说,判别紧集的条件十分简单.实际上我们将会看到,这种情况是有限维空间所独有的.这 里我们先给出一个同构性定理,在第4讲中我们曾定义了两个空间同构的概念 定理1设X,Y是线性赋范空间,T:X→Y是到上的线性映射,则T是X到Y上的 同构当且仅当存在正数a,b使得 ax|‖Tx|bx‖,vx∈X (1) 若X与Y同构,当一个是完备空间时,另一个也是 证明充分性.若对于任意的x∈X所说的不等式成立,则当x1=Tx2时, ax1-x2|‖T(x1-x2)‖=0, 从而x1=x2,T是一一的.若xn,x∈X,xn→x,则 ‖Txn-Tx|b‖xn-x|→0,Txn→Tx, T是连续的.若yn,y∈Y,yn→y,不妨设y=Ixn,y=Tx,则 dr-yn-Tya‖xn-x|‖Tx-7x|=yn-y>0, 于是T-yn→Ty,T连续.总之X,Y同构 必要性.设T是从X到Y上的同构映射,若不存在b>0使得‖xbxl(x∈X),此 时对于任意的n,有xn∈X,‖Txn|川xn‖,令
第 7 讲 紧性与有限维空间 可分性 教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。 授课要点： 1、 有限维空间的同构性。 2、 有限维空间单位球的紧性特征。 3、 可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论 3 中已经知道，对于有限维空间 来说，判别紧集的条件十分简单．实际上我们将会看到，这种情况是有限维空间所独有的．这 里我们先给出一个同构性定理，在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念． 定理 1 设 X ，Y 是线性赋范空间，T : X →Y 是到上的线性映射，则T 是 X 到Y 上的 同构当且仅当存在正数 a ，b 使得 a || x ||≤||Tx ||≤ b || x || ，∀x ∈ X ． （1） 若 X 与Y 同构，当一个是完备空间时，另一个也是． 证 明 充分性．若对于任意的 x∈ X 所说的不等式成立，则当Tx1 = Tx2 时， a || x1 − x2 ||≤||T(x1 − x2 )||= 0 ， 从而 1 2 x = x ，T 是一一的．若 xn , x∈ X ， x x n → ，则 ||Txn −Tx ||≤ b || xn − x ||→ 0，Tx Tx n → ， T 是连续的．若 n y ， y ∈Y ， y y n → ，不妨设 n Txn y = ， y = Tx ，则 || || || || || || || || 0 a T −1 yn −T −1 y = a xn − x ≤ Txn −Tx = yn − y → ， 于是T y T y n −1 → −1 ， −1 T 连续．总之 X ，Y 同构． 必要性．设T 是从 X 到Y 上的同构映射，若不存在b > 0 使得||Tx ||≤ b || x || (∀x∈ X ) ，此 时对于任意的 n ，有 xn ∈ X ，|| || || || n n Tx > n x ，令
x=一,则|=→0, 从而x→0.但 Till lTx,‖ 这说明T不是连续的.矛盾即证明存在b>0,‖Ixbx‖,x∈X.同样地,由连续, 存在a>0,‖Tyy,vy∈Y,令y=Tx即得ax|1x 最后的结论是明显的. 线性空间X上的两个范数‖,·称为是彼此等价的,若存在a,b>0使得 asx‖2≤bxll, vx∈X (2) 由上面定理及其证明可以得出以下推论 推论1线性空间X上的两个范数‖,‖"l2是彼此等价的,若对于任何xn∈X, lxn1→0当且仅当‖xn‖2→0 定理2设X是线性赋范空间,Y是X的线性子空间,dimY=n,Φ"是n维欧氏空 间.若F:"→Y是到上的(或一一的)线性映射,则F是到Y上的同构并且Y是X的 闭子空间 证明令e4=(0…0,10…0) (e)=y4,则 ①∑ae)=∑ay 由于F为一一映射,F(x)=0时必有x=0,于是a4=0,k=1…,n,这说明y…,y线性 无关,所以F是到上的.(另一方面,若F不是一一的,则y…,y线性相关,dmF(")<n F不是到上的.)由 F∑ae)∑ay水y)∑|aF)2, 假设b=C∑‖y‖)2,则va=(a1,…,an)∈φ”,‖F(a)|b‖l‖·所以F是连续的 考虑函数
|| || n n n n x x x′ = ，则 0 1 || ′ ||= → n xn ， 从而 ′ → 0 n x ．但 ′ = > n → ∞ n x Tx Tx n n n || || || || || || ， 这说明T 不是连续的．矛盾即证明存在b > 0 ，||Tx ||≤ b || x ||，∀x∈ X ．同样地，由 −1 T 连续， 存在 a > 0 ， || || 1 || || 1 y a T y ≤ − ，∀y∈Y ，令 y = Tx 即得 a || x ||≤||Tx || ． 最后的结论是明显的． 线性空间 X 上的两个范数 1 || ⋅|| ， 2 || ⋅|| 称为是彼此等价的，若存在 a,b > 0使得 1 2 1 a || x || ≤|| x || ≤ b || x || ， ∀x∈ X （2） 由上面定理及其证明可以得出以下推论． 推论 1 线性空间 X 上的两个范数 1 || ⋅|| ， 2 || ⋅|| 是彼此等价的，若对于任何 xn ∈ X ， || || 0 xn 1→ 当且仅当|| || 0 xn 2→ ． 定理 2 设 X 是线性赋范空间，Y 是 X 的线性子空间， dimY = n ， n Φ 是 n 维欧氏空 间．若 F Y :Φn → 是到上的（或一一的）线性映射，则 F 是 n Φ 到Y 上的同构并且Y 是 X 的 闭子空间． 证 明 令 n k k e = (0 ," ,0 ,1,0,",0)∈Φ ， k = 1,", n ， k k F(e ) = y ，则 ∑ ∑ = = = n k k k n k k k F e y 1 1 ( α ) α ． 由于 F 为一一映射， F(x) = 0时必有 x = 0 ，于是 = 0 α k ， k = 1,", n ，这说明 n y , , y 1 " 线性 无关，所以 F 是到上的．（另一方面，若 F 不是一一的，则 n y , , y 1 " 线性相关， F n n dim (Φ ) < ， F 不是到上的．）由 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 || (∑ )|| ∑| | || || (∑|| || ) (∑| | ) = = = = ≤ ≤ n k k n k k n k k k n k k k F α e α y y α ， 假设 2 1 2 1 (∑|| || ) = = n k k b y ，则 n ∀α = (α1 ,",α n )∈Φ ，|| F(α) ||≤ b ||α ||．所以 F 是连续的． 考虑函数
f(a1,…,an)圳FC∑a2e),va=(a1…,an)∈ 则∫是n元连续函数.E={a,∑|a4F=1是”中的有界闭集从而是紧集,由上一讲定理4 (3),∫可以达到上,下确界.不妨设 B=f(a9,…,a)=inf{f(a1…an);(ax1…,an)∈E} 因为y,…,y线性无关,仅当a1=…=an=0时f(ax1…,an)=0,但(a9…,a)位于E上 故B>0 现在对于每个非0的(a1…,an)∈",令 a4= 则(a1,…,an)∈E,从而‖FC∑ale)B或者 FC∑a4e川‖≥B(∑la4)2, B‖a‖≤‖F(a),va∈ 由定理1,F是从φ"到Y上的同构映射.由于Φ"完备,故Y完备.作为X的子空间,Y 是闭子空间.证毕 设X,Y为线性赋范空间,dimX=dimY=n,则存在到上的一一映射T:”→X和 F:Φ"→Y,使得(1-4-9)成立.由此我们得到 推论2 (1)同维数的有限维线性赋范空间彼此同构 (2)有限维线性空间上的任意两个范数等价 (3)任何有限维线性赋范空间完备.线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的 最后,让我们证明有限维空间的一个特征 引理( Riesz)设X是线性赋范空间,EcX是闭线性子空间,若E≠X,则 v(0E
( , , ) || ( ) || 1 1 ∑= = n k n k k f α " α F α e ， n ∀α = (α1 ,",α n )∈Φ 则 f 是 n 元连续函数． { ; | | 1} 1 2 = ∑ = = n k E α α k 是 n Φ 中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理 4 （3）， f 可以达到上，下确界．不妨设 ( , , ) inf{ ( , , );( , , ) } 1 1 0 0 β = f α1 " α n = f α " α n α " α n ∈ E ． 因为 n y , , y 1 " 线性无关，仅当 0 α1 =" = α n = 时 ( , , ) 0 f α1 " α n = ，但( , , ) 0 0 α1 " α n 位于 E 上， 故 β > 0． 现在对于每个非 0 的 n (α1,",α n ) ∈Φ ，令 2 1 2 1 (∑| | ) = ′ = n k k k k α α α ， 则(α1 ′,",α n ′)∈ E ，从而 ∑α′ ≥ β = || ( ) || 1 n k k k F e 或者 2 1 1 2 1 || (∑ ) || (∑| | ) = = ≥ n k k n k k k F α e β α ， 即 β ||α || ≤ || F(α) || ， n ∀α ∈Φ ． 由定理 1，F 是从 n Φ 到Y 上的同构映射．由于 n Φ 完备，故Y 完备．作为 X 的子空间，Y 是闭子空间．证毕． 设 X ，Y 为线性赋范空间， dim X = dimY = n ，则存在到上的一一映射T X :Φn → 和 F Y :Φn → ，使得（1-4-9）成立．由此我们得到 推论 2 （1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构． （2）有限维线性空间上的任意两个范数等价． （3） 任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的． 最后，让我们证明有限维空间的一个特征． 引理（Riesz） 设 X 是线性赋范空间， E ⊂ X 是闭线性子空间，若 E ≠ X ，则 ∀ε (0 ε ∈ ( , ) inf ( , ) 0 0 d x E d x x x E ．
证明取x∈X\E,E闭,故d(x,E)=d>0.因为d/E>d,取x∈E,使得 x-x'|d/d/)=s 即d(x0,E)>E 定理3设X是线性赋范空间,则以下条件等价 (1)dim x oo (2)X中每个有界闭集是紧集 (3)X的闭单位球Sx={x∈X川‖x|1}是紧集 (4)单位球面Sn(x)={x,x|=1}是紧集 证明只须证明(4)→(1).若反设dmX=∞,取x1∈X,目x|1,记y1=span{x} 则dim1=1.由定理7,y是闭线性子空间,H≠X.由 Riesz引理,存在x2∈X,‖x2|1 d(x2,)1,记2=pan(x1x2},则dmy2=2,H2闭并且2≠X·从而有x,‖x1|1, d(x,2)>,…由此得到序列{xn},x∈S(),当m≠n时,‖xm-xn|,{xn}没有 收敛子序列.故S(X)不是紧集.矛盾说明dmX<∞ 最后让我们介绍集合的可分性概念.当一个集合为可分集时,研究起来较为方便 定义设X是度量空间,AcX.称集合A是可分的,若存在可数集BcX使得 BA.当X本身可分时,称X是可分空间 命题紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的. 证明只需要证明完全有界集的情况.取6↓0,设x“)…x是A的有限6网,令 B={x;k≥l1i≤n1},则B是可数集并且vx∈A,有x∈O(x“),1),故x“)→x,于是
证 明 取 x X \ E ~ ∈ ， E 闭，故 , ) 0 ~ d(x E = d > ．因为 d / ε > d ，取 x′∈ E ，使得 || / ε ~|| x − x′ = d d /( / ) . ε ε 即 ( , ) > ε d x0 E ． 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （1）dim X ．记 span{ , } 2 1 2 Y = x x ，则dim 2 Y2 = ，Y2 闭并且Y2 ≠ X ．从而有 3 x ，|| || 1 x3 = ‖， 2 1 ( , ) d x3 Y2 > ，…．由此得到序列{ }n x ， x S (X ) n ∈ p ，当 m ≠ n 时， 2 1 || xm − xn ||> ．{ }n x 没有 收敛子序列．故 S (X ) p 不是紧集．矛盾说明dim X < ∞ ． 最后让我们介绍集合的可分性概念．当一个集合为可分集时，研究起来较为方便． 定义 设 X 是度量空间， A ⊂ X ．称集合 A 是可分的，若存在可数集 B ⊂ X 使得 B ⊃ A ．当 X 本身可分时，称 X 是可分空间． 命 题 紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的． 证 明 只需要证明完全有界集的情况．取ε k ↓ 0 ，设 ( ) ( ) 1 , , k n k k x " x 是 A 的有限 k ε 网，令 { ; 1,1 } ( ) k k B = xi k ≥ ≤ i ≤ n ，则 B 是可数集并且 ∀x∈ A ，有 ( , ) ( ) k k i x∈O x ε ，故 x x k i ( ) → ，于是
B→A. 例1co,c,P(1≤p0,由于xn→0 先取n使得|xnkE,Wn>m0·再取有理数n;…,使得maxx-kE.记y=(,…,,0,…) 则y∈B并且‖x-y|=max|x,-y| max max|x-rmax|xl}n,再取有理数F,,…,使得|r-akE,maxx-rkE,令 y’=(…,,r,…),此时y∈B并且 lx-y'ls max(max x-r l, max Ix-a+r-ak 2a C 对于P,由于x=(xn)∈"时,∑|x,P<∞,先取n使得∑|xnP<E",再取有理数 ,…,使得∑x-P<E”,仍记y=(…、10),注意此时y∈P并且整个BcP,此 外 lx-yBs∑x1-P+∑xP<2",或‖x-yl<y2a 由此知道是可分的 对于其余的空间,容易知道有理系数多项式的全体依照Pab]的范数是其中的可数稠密 子集,所以Pa,b可分 根据 Weierstrass定理,C[a,b]中的每个元(连续函数)可用多项式一致逼近,实际上即 是依照C[a,b]中的范数逼近.所以Pa,b]在Ca,b]中稠密.另一方面容易验证,当A在B中 稠密,B在C中稠密时,A一定在C中稠密.于是有理系数多项式的全体在C[a,b中稠密, C[a,b]是可分的 最后根据 Lysin定理,Cla,b]在L[a,b]中稠密,于是L[a,b是可分的
B ⊃ A． 例 1 0 c ，c ， p l (1≤ p 0 ，由于 → 0 n x ， 先取 0 n 使得| | n ．再取有理数 0 , , 1 n r " r 使得 − || || max | | max{max | |,max | |} 1 1 0 0 i i n i i i n i i i x y x y x r x ．这说明 B 在 0 c 中是稠密 的，故 0 c 可分． 对于c ，记 (1,1, ) e0 = " ， { ; } B′ = B ∪ ri e0 ri ∈Q ．若 x x c = ( n )∈ ，不妨设 x a n → ．先取 0 n 使 得 | x − a | n0 ，再取有理数 0 , , , 1 n r r " r 使 得 |r − a | x y x r x a r a i i n i i i n ， 故c 可分． 对于 p l ，由于 p n x = (x )∈l 时， ∑ < ∞ ∞ =1 | | i p n x ，先取 0 n 使得 p i n p n ∑ x < ε ∞ = 0 +1 | | ，再取有理数 0 , , 1 n r " r 使得 p n i p i i ∑ x − r < ε = 0 1 | | ，仍记 ( , , ,0, ) y = r1 " rn0 " ，注意此时 p y ∈l 并且整个 p B ⊂ l ，此 外 p i n p n n i p i i p p || x y || | x r | | x | 2ε 1 1 0 0 − ≤ ∑ − + ∑ < ∞ = = + ，或|| || 2p p x y − < ε 由此知道 p l 是可分的． 对于其余的空间，容易知道有理系数多项式的全体依照 P[a,b]的范数是其中的可数稠密 子集，所以 P[a,b]可分． 根据 Weierstrass 定理，C[a,b] 中的每个元（连续函数）可用多项式一致逼近，实际上即 是依照C[a,b] 中的范数逼近．所以 P[a,b]在C[a,b] 中稠密．另一方面容易验证，当 A 在 B 中 稠密， B 在C 中稠密时， A 一定在C 中稠密．于是有理系数多项式的全体在C[a,b] 中稠密， C[a,b] 是可分的． 最后根据 Lyzin 定理，C[a,b] 在 L [a,b] p 中稠密，于是 L [a,b] p 是可分的．
例2P、L[a,b不是可分空间 这里仅证明/.考虑中坐标仅由0,1两个数组成的序列全体构成的集合A.A不是 可数集,实际上它和区间[01)中的实数可以建立一一对应关系.为了明白这一点,只需注意 [0,1)中的实数的二进位表示,实现了A与[0,1)之间的一一对应.所以A具有连续统的势 现在若可数集B在P中稠密,则B中存在点x0使得以x0为中心,1/2为半径的球 O(x0,1/2)至少包含A中的两个不同点,注意A中的不同点y1,y2在P中的距离等于1,所 l=d(y1,y2)≤d(y1,x0)+d(y2,x0)<1/2+1/2=1 矛盾说明l不可分 对于赋范空间,可分性还有一些等价说法 定理4设Y是线性赋范空间,则下列三条件等价: (1)X可分 (2)闭单位球Sx={x∈x1|≤可分 (3)单位球面S2(X)={x∈x,x=可分 证明(1)→(2)若可数集A在X中稠密,则A∩Sx是Sx中的可数稠密集 (2)→(3)若A是Sx中的可数稠密集,x∈A,x≠0,令x (0′=0)则 A={xx∈4是Sn(X)中的可数稠密集.实际上,x∈S2(X),‖x‖=1,若 xn-x→0,则|x→1x=1,故 Ix'-x x ≤.k-+ (3)→(1)设x,x…是S(X)中的可数稠密集,记 B={x;r是有理数,n=12,}
例 2 ∞ l 、 L [a,b] ∞ 不是可分空间． 这里仅证明 ∞ l ．考虑 ∞ l 中坐标仅由 0，1 两个数组成的序列全体构成的集合 A ． A 不是 可数集，实际上它和区间[0,1)中的实数可以建立一一对应关系．为了明白这一点，只需注意 [0,1)中的实数的二进位表示，实现了 A 与[0,1)之间的一一对应．所以 A 具有连续统的势． 现在若可数集 B 在 ∞ l 中稠密，则 B 中存在点 0 x 使得以 0 x 为中心，1/ 2 为半径的球 ( ,1/ 2) 0 O x 至少包含 A 中的两个不同点，注意 A 中的不同点 1 y ， 2 y 在 ∞ l 中的距离等于 1，所 以 1 = d( y1 , y2 ) ≤ d( y1 , x0 ) + d( y2 , x0 ) <1/ 2 +1/ 2 =1 矛盾说明 ∞ l 不可分． 对于赋范空间，可分性还有一些等价说法. 定理 4 设 X 是线性赋范空间，则下列三条件等价： (1) X 可分. (2) 闭单位球 S x Xx X =∈ ≤ { ; 1}可分. (3) 单位球面 S X x Xx p ( ) =∈ = { ; 1} 可分. 证 明 (1) ⇒ (2) 若可数集 A 在 X 中稠密，则 A S ∩ X 是 X S 中的可数稠密集. (2) ⇒ (3) 若 A 是 X S 中的可数稠密集， ∀x A ∈ ， x ≠ 0 ，令 x x x ′ = ， ( ) 0 0 ′ = 则 A′ ′ = ∈ {xx A ; } 是 S X p ( ) 中的可数稠密集 . 实际上， ∀ ∈x S X p ( ) , ‖ x ‖ =1 ， 若 0 n x x − → ，则 1 n x x → = ，故 n n n x x x x x ′ −= − n nn n x x x x xx x ≤−+− 1 1 1 n n n xx x x x ≤ −+ − → 0 , (3)⇒ (1) 设 1 2 x , x "是 S X p ( ) 中的可数稠密集，记 B rx r n = = { n ; 1,2, 是有理数， "}
则B是X中的可数稠密集实际上,对于每个x∈X,x≠0,x=m∈S2(X).若 xn∈S(X),x→x取→|,则x∈B,x→x,故B在X中稠密 思考题 1、不用推论2(2)的结论,具体地建立(,)范数之间的不等式这里 1≤ Ixl=max x 2、就n=2的情况,画出(④3,|),(4,小l2),(3,L)以及更多的 (dD,|)的单位球
则 B 是 X 中的可数稠密集. 实际上，对于每个 x X ∈ ， x ≠ 0 ， p ( ) x x S X x ′ = ∈ . 若 xn p ∈S X( ) ， n x → x′取 nr x → ，则 n n rx B ∈ ， n n rx x → ，故 B 在 X 中稠密. 思考题 1、 不用推论 2（2）的结论，具体地建立 n Φ i （ ， ）范数之间的不等式. p 这里 1 , ≤ <∞ p 1 1 1 1 ( ), max , ( , , ) p n p p i i n i n i n x x x x xx x = ∞ ≤ ≤ = = ∀ = ∈Φ ∑ " . 2 、 就 n = 2 的情况，画出 222 ∞ ΦΦΦ iii （ ， ）,（ ， ）,（ ， ）以及 1 2 更多的 2 Φ i （ ，）p 的单位球