第九章定积分 §1定积分的概念 教学内容: 定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点:定积分的数学定义 难点:“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 背景 1、曲边梯形的面积2、变力所做的功
1 第九章 定 积 分 § 1 定积分的概念 教学内容： 1) 定积分概念的引入 2） “分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3) 定积分的数学定义 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 一、背景 1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算 ,这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段。但我们生 活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计 算呢?我们通常用一些小矩形面积的和来近似它 甪5个矩形面积作为曲边梯形面积 用9个矩形面积作为曲边梯形的面积 2
2 1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算 ，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生 活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计 算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 8 6 4 2 -2 -4 -5 5 1 0 用9个矩形面积作为曲边梯形的面积 动态演示 1 I
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情 况精度高,但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何 求取曲边图形的准确面积呢? 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力 学原理设计的,如图1所示,上端一段是是抛物线,中间部分是 直线,下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备 料,计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该 断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢?在介绍微分 定义时我们已经知道,直与曲虽然是一对矛盾,但它们可以相互 转化,早在三国时代,我代数学家刘徽就提出了“割圆术”,以 “直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我 们来计算一下溢流坝上部断面面积
3 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情 况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何 求取曲边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力 学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是 直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备 料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该 断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分 定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互 转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以 “直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我 们来计算一下溢流坝上部断面面积
假设抛物线方程为: y x∈[0,1 将 等分成n等份,抛物线下 面部分分割成n个小曲边梯形第i个 小曲边梯形 图1长江三峡溢流坝断面 用宽为,高为 的矩形代替,如下图 则它的第个小曲边梯形的面积:AS1a-2 所求的总面积: ∑i 2n2
4 假设抛物线方程为: 将 等分成n等份，抛物线下 面部分分割成n个小曲边梯形第i个 小曲边梯形 用宽为 ，高为 的矩形代替， 如下图： 则它的第i个小曲边梯形的面积： 所求的总面积:
我们分别取n=10,50, 100用计算机把它的图象 0.9 0.8 画出来,并计算出面积的 07 近似值: 0.5 1)、当n=10时,用10个小矩形 0.4 0.3 的面积之和作为曲边梯形的面 积时,则:0≈0.7150(见右图) 0.1020.3D.40.5D.60.7D80.9 2)、当n=50时,用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则 S0≈06766(见下图)
5 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图象 画出来，并计算出面积的 近似值： 积时，则 见右图） 的面积之和作为曲边梯形的面 ）、当 时，用 个小矩形 : 0.7150. ( 1 10 10 1 0 = s n 见下图） ）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则 0.6766. ( 2 50 50 : 5 0 = s n
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.↓ 0.2 0.1 0 0 0.1 0.20.30.↓0.50.60.70.80.9
6
3)、当n=100时,用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则 0.6717.(见下图) 0.9 0.8 D 0.5 0.4 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5D.6 0.7 0.8 0.9
7 100 3 100 100 : 0.6717. ( n s = ）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则 见下图）
由此可知,分割越细,越接近面积准确值 再看一个变力做功的问题 设质点m受力F(x)的作用,沿直线由A点运动到B点,求变力 F(x)的做的功 FOx B F虽然是变力,但在很短一段间隔内鸟x,F的变化不大,可近似 看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想, 1)对 作分割:
8 由此可知，分割越细，越接近面积准确值 再看一个变力做功的问题 设质点m受力 的作用，沿直线由A点运动到B 点，求变力 的做的功。 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， ，F的变化不大，可近似 1） 对 作分割：
a0时
9 当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力： 在 上，力F作的功 2）求 和 力F在 上作的功 分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细 度： 时
3)取极限 对上面和式取极限,极限值就是力在 上作的功 从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算变 力作的功,它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、 取极限”,或者说都归结为形如: ∑∫(5x =1 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来, 作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可 以给定积分下一个定义(下页)
10 3）取极限 对上面和式取极限，极限值就是力在 上作的功。 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变 力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、 取极限”，或者说都归结为形如： 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来， 作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可 以给定积分下一个定义（下页）