广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第二章 数列极限（2.3）数列极限存在的条件

第三节数列极限存在的条件 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合

第三节 数列极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

数列极限的两大问题 数列极限的存在性; (此问题为最关键的问题) 数列极限值的大小; (存在性成立后,才想办法计算极限)

数列极限的两大问题 • 数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题） • 数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限）

几种证明极限存在的方法: 按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明 依据任意子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性

几种证明极限存在的方法： • 按照数列极限的定义证明。 • 按照奇、偶子列的收敛性证明。 • 依据任意子列的收敛性证明。 • 利用夹逼准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性

如果数列x满足条件 萨产 x1≤x2…≤x≤xn艹1≤…,单调增加 单调数列 2 ≥x.≥ n+1 ,单调减少 几个简单的单调数列: a,=-,n=1, 2,oo. =im a,=0; n=1,2,→lir n“n=0; an=q",(00

几个简单的单调数列： , 1,2,... lim 0; 1 = =  = → n n n n a n a = ,(0   1), = 1,2,... lim = 0; → n n n an q q n a , 1,2,... lim 0; 1 = − =  = → n n n n a n a 如果数列x n满足条件 , x1  x2  xn  xn+1   单调增加 , x1  x2  xn  xn+1   单调减少 单调数列

准则l:单调有界准则 单调有界数列必有极限 几何解释: X 2 rrr. t M n+1

x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 准则 I：单调有界准则 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M

几点说明 通常该准则变通为: 1)单调递增有上界的数列存在极限。 2)单调递减有下界的数列存在极限 本定理只是证明了存在性。 ·本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 此定理的条件为充分非必要条件。 an=(-1)-,n=1,2

几点说明： • 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 • 此定理的条件为充分非必要条件。 , 1,2,.... 1 = (−1) n = n a n n

例1设an=1+++…+,n=1,2, 其中α≥2,证明{an}收敛。 证明:{an}递增显然,下面证明有上界,事实上: 1+++…+ 2 2 3 1+ 1.22·3 (n-1) n=l,2

例1 设 其中 ，证明 收敛。 证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上： , 1,2,... 1 ... 3 1 2 1 = 1+ + + + n = n an      2 { }n a { }n a 2 2 2 1 ... 3 1 2 1 1 n an  + + + + , 1,2,.... 1 = 2− n = n n −  n + +  +   + ( 1) 1 ... 2 3 1 1 2 1 1

例2证明lm(1+-)存在 n→0 证明: n+1 n+I 1+ =1+(n+1) ++C n+1 n+1 n n+//+…+ n+1 n 1 1+n·-+…+C1) 十。十 k k 1)(n-1).(n-k+1) ! 2 k-1

例 2 证明 存在 。 n n n ) 1 lim ( 1 + →  证明： 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + + + +   +  + +   + + + +  = + +    + = + k n kn n n n n C n n n a k n kn n n n n C n n n a    + +    = +  + +   = + 1 ... 1 ... 1 1 1 1   −  −   −   = −   − − +   =   nk k n n k n n n n k n C k k kn 1 ... 1 2 1 1 1 !1 1 ! 1 ( 1)...( 1)

an=1+1+-1 十。十 2! k-1 十 ! 款(美-)(12) 的展开式中共有n+1项,每一项为正数

      −  −       −      −  +      −  −       −      −  + +      = + + − n n n n n n k k n n n an 1 ... 1 2 1 1 1 ! 1 1 ... 1 2 1 1 1 ! 1 ... 1 1 2! 1 1 1 an 的展开式中共有 n+1 项，每一项为正数

an+1=1+1+ 十。十 2!(n+1 k!(n+1 n+17k +1/ 2 十 n+1 n+1 n+1 (n+1) +∥12 n+1 n n展开式中共有+2项,每一项为正数国□p

      +  −      +  −      + − +  +      + −  −      +  −      + −  +      + −  −      +  −      + −  + +      + + = + + − 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 ... 1 1 1 2! 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n k k n n n an an+1 的展开式中共有n+ 2 项，每一项为正数