行列式 第五节行列式的性质 >、行列式的性质 >、应用举例 三、小结思考题
庄一、行列式的性质 记 l12 In 21 nI 22 1, 12 2 n21 D n D= m2 In n 庄行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 上页
一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11
王证明记D=de.转置行列式 2 n D 21 22 n b b nI n2 nn 庄即=G=12…按定义 王-(,A4-(yn c又因为行列式D可表示为 D=z(-1) n1n,‘a Pnh 上页
证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = b a (i, j 1,2, ,n), 即 ij = ij = 按定义 ( 1) ( 1) . = − 1 1 2 2 = − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . = − p11 p2 2 p n t n D a a a
故D=D7 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明设行列式 b, b 11 12 1=/21 6 D 22 2n nI n2 nn 是由行列式D=detv)变换,两行得到的, 上页 圆
故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j
士 即当k≠j时,b=4p当k=i,时, 于是D1=∑(-1)bn…bn…bm…b 中n =∑(-1)an…amn…am1…am =(-1yan…am…am…nm, 其中1……j…n为自然排列 为排列n…p…p…p的逆序数 设排列“DD的逆序数为,则有 上页 圆
于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 = − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 = − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t = − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列 i j n 的逆序数为 则有 即当 时, k i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip
(-1)=-(-1), 故D1=∑(-1)an…am1…am…am=-D证毕 例如 75175175715 662=-358,662=-662 358662 358538 工工工 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则 上此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D D=0 上页
例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D = 0. D = −D, ( 1) ( 1) , 1 t t − = − − 故 ( 1) . 1 1 D1 a1 a a a D j i npn p ip jp t = − − = − 证毕 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 11 12 In 11 12 In kail i2 kain =k a i1 i2 n 工工工 nI n2 n nI n2 nn 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面 上页
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 = 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质4行列式中如果有两行(列)元素成比 平例,则此行列式为零 证明 11 12 In 11 12 In ∴………… il 2 n iI i2 k =0. a il ke i2 人a n i2 nian n2 上页
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0
性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两 N数之和 11 12 1;十观 In 例如D=1 22 ,:+ 2 2n n1 n2 + 庄则D等于下列两个行列式之和: 11 n 工工 a。 D= 21 2i 2n 21 12i ·2n 十 n1 nn n nn 上页 圆
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如
性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列行对应的元素上去,行 列式不变 11 li n 例如 21 2i J (ali+kaji) 21 (a21+ka2y) +k 2j a nI (ani+ kani 上页 圆
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k 例如