第一章函数与极限 第一节函数 知识要点与考点 1.集合、常量与变量、函数概念 函数的定义,求定义域D,求函数表达式等(略)【考点】 2.函数的几种初等性质简述【考点】 1)有界性:f(x)|≤M,0x∈XCD; 2)单调性;z<x2→f(x)f(x2),Vx2、比:∈D 3)奇偶性:f(-x)=f(x),Ⅵx、-x∈D; 4)周期性:f(x士T)=f(x),W、x士T∈D 3.反函数与直接函数 它们互为反函数,f(x)与f1(x)=以(x)的图形在同一个坐标 系里关于直线y=x对称 习题1-1解答 1.用区间表示变量的变化范围: (1)2<x≤6; (2)x≥0 (3)x2<9; (4)|x-3|≤4 解(1)(2,6] (2)[0,+∞) (3)|x|<3,(-3,3).(4)-1≤r≤7,[-1,7 ①逻辑符号“”表示并读作“任〔意)给(定)
2.求函数y= sin,x≠0, 的定义域和值域 0, 0 解【此分段函数的定义域是各式所表示函数定义域的并 集.】 定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)∪{0}=(-∞,+∞)仝R① 值域W=[-1,0)U(0,1]U{0}=[-1,1] 3.下列各题中,函数f(x)与g(x)是否相同?为什么? gr,g(x)=2lgr;(2)f(r)=x,g (3)f(x)=yx1-x2,g(x)=xyx-1. 答【两个函数是否相同,从对应规则与定义域都要相同两方 面去判断.】 (1)不相同因为lgx2的定义域是(-∞,0)U(0,+∞);而 2lgx的定义域是(0,+∞) (2)不相同因为f(x)=x的值域为R;而g(x)=√x=|x 的值域仅为非负实数[0,十∞),即它们的对应规则不相同 (3)相同因为x+-x3与xyx-1的定义域(都是R)与对 应规則都相同. 4.求下列函数的定义域: (1) 2)y=√3x-2 (3)y= 5)y=12+x+2;(6)y=1--x; y 解【求函数的定义域,常由解不等式或不等式组确定之】 (1)1-x≠0,x≠1,定义域D=(-∞,1)U(1,+∞); )符号“△”"表示记为R表示全体实数集
(2)3x+2≥0,x≥-2/3,D=[-2/3,+∞); (3)1-x2≠0,x≠±1,D=(-∞0,-1)∪(-1,1)U(1 (4)x2-4≥0,|x|≥2,D=(-∞,-2]∪[2,+∞); 1-x2≠0 ≠士1 (5) D=[-2,-1)∪(-1,1)U(1 +2≥0 ≠0 ≠0 D=[1,0)∪(0,1] (7)4-x2>0,|x|<2,D=(-2,2)或D={x}-2<x<2}; (8)x2-3x+2≠0,(x-1)(x-2)≠0,x≠1,x≠2,D= (-∞,1)U(1,2)∪(2,+∞)或D={x|x≠1,x≠2} 5用描点法作出函数y=1/x2的图形 解函数的定义域为D 0};又y(-x)=1/x2=y(x),函数是偶 函数图形关于y轴对称;取x轴上如下 几个特殊点,算出对应的函数值,如下表 2 所示;然后在直角坐标系中描点、连线 作图如图1-1所示 of i2I 1/23/411.52 图1-1 1.7810.440.25 6.设f(x)=√4+x2,求下列函数值 f(0),f(1),f(-1),f(1a),f(xo),f(x0+h) 解【求函数值只须将自变量之值代入计算】 f(0)=√4+02=2;f(1)=√4+1=√5 f(-1)=√4+(-1)2=√5; f(1/a)=√4+1/a2=√4a2+1/a; f(x)=√4+x;f(x+h)=√4+(x+h)2 3
若)=2++}+:1明/=14 证明f +2/2+5t+5 =22+++5t=f(t),得证 8设g(x)= 1:求4)-1 g(-2),并作出函数y=g(x)的图形 6 n T 五五 SIn 图12 g(-2)=0 y=g(x)的图形如图1-2所示 9下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数,哪些既非奇函数 又非偶函数? (1)y=x2(1-x2) (2)y=3x2-x2; (3)y= 1+x2 (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos T+1 a2+ (6)y=-2 答【以-x代人各右式中的x,易知奇偶性或是非奇非偶函 数.】 (1),(3),(6)是偶函数是容易验证的 (2)与(5)经验证既非奇函数又非偶函数 (4)是奇函数,这是因为
-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x-1)(x+1). 10.设f(x)=2x2+6x-3,求x)=D[f(x)+f(-x)及 (x)=[(x)-f(-x)],并指出x)及(x)中哪个是奇函数 哪个是偶函数? 解y(x) 2(2x2+6x-3+(2x2-6 ] x2-6)=2x2-3; y(x)=2[2x2+6x-3-(2x2-6x-3)] 12x/2=6x 显见g(x)是偶函数而(x)是奇函数 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l,)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函 数偶函数与奇函数的乘积是奇函数; (3)定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可表示为一个奇函 数与一个偶函数的和 证明【可根据定义判断函数的奇偶性】 设f1(x),g1(x)为奇函数,而f2(x),g2(x)为偶函数 (1)f2(-x)+g2(-x)=f2(x)+g2(x), 所以两个偶函数的和仍为偶函数而 f1(-x)+g1(-x)=-[f1(x)+g1(x)], 所以两个奇函数的和仍为奇函数 (2)f2(-x)·g2(-x)=f2(x)·g2(x), 所以两个偶函数的乘积仍为偶函数而 f(-x)·g1(-x)=-f(x)[-g1(x)=f1(x)·81(x), 所以两个奇函数的乘积是偶函数又
f2(-x)·f f(x)[-f1(x)]=-/2(x)f1(x) 所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数 (3)设定义在(l,)上的任意函数为f(x),因为 x)+/(=x)+f(x)-f( 2 u(r 而 f(-x)+f(x) (x) -x)-f(x)_f(x)-f(-x) 2 (x) 所以(x)与v(x)分别是偶函数与奇函数,从而∫(x)=x(x)+ v(x)是一个偶函数与一个奇函数的和 12.试证下列函数在指定区间内的单调性: 3) 证明【可用定义判断单调性】 (1)任取x1、x2∈(-1,0),且不妨设 x2,则x2-x1>0,而 x2kgx1,所以lgx在(0,十∞)内单调递增 (3)任取x1、x2∈(-x/2,r/2),则x1<x2,考察 sin r=2e ∈ 从而 十
又由x1、x2∈(一t/2,x/2),且x10, sin I2>sin TI, 故y=sinx在(-x/2,π/2)内单调递增 13.设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,D)内 单调增加,证明f(x)在(-l,0)内也单调增加 证明任取x1、x2∈(-l,0),且x1<x2,则 x2∈(0,),且-x2< 由于f(x)在(-1,D)内悬奇函数,且在(0,D)内单调增加,所以 f(-x2)-f(-x1)=-f(x2)+f(x1)<0, 从而f(x1)<f(x2),所以∫(x)在(-l,0)内也单调增加 14.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周 期 (1)y=cos(x-2); (2)y=cos 4.zi (3)y=1+sinπx; (4)y=rcos x; (5)y=sinx 答易验明(1)、(2)、(3)、(5)均为周期函数,(1)的周期为 2x;(2)的周期为π/2;(3)的周期为2;(5)的周期为r(4)不是周 期函数. 5求下列函数的反函数: (1)y=x+1; (2) .x+6 (3)y-cr+a(ad-b≠0).又问当a、b、c、d满足什么条件时, 这反函数与直接函数相同? 解【可由y=f(x)解出x=q(y),即可写出反函数y (1)由y=Vx+1,解得x=y2-1,反函数为 J-t
(2)由1-,解得1-x=y+xy,即 x(y+1)=1-y, 反函数为 (3)由 x+b cr+d 有ax+b=cyx+y, racy)=dy-b dy-6 故所求反函数为 dr-6 a-caT 欲使此反函数与其直接函数相同,必须 ax+6 b-dx 即 (ar+h)(cr-a)=(cx+d)(6-dx) 展开、移项、合并同类项,得 c(a+d)x2+(d2-a)x-blatd)=o 比较恒等式两边的系数,得 c(a+d)=0 b(a+d)=0 (d-a)(d+a)=0, 所以当a、b、c、d满足条件:a+d=0或a+d≠0但b=c=0且a d时,此题的反函数与直接函数相同 注:题中限制wd-bc≠0,是为了构成“分式线性函数”的需 要否则=立,令比值为k,则有a=b,=d,代人,得 bkx+bb(kx+1) b dkr+dd(kr+1)d 这是常(量)函数,不含x,就无法解出其反函数了 16.对于函数f(x)=x2,如何选择邻域U(0,δ)的半径δ,就能
使与任一x∈U(0,8)所对应的函数值f(x)都在邻域U(0,2)内? 【分析】欲解本题,可逆向思考.欲使f(x)=x2∈(0,2),即00,r∈X) M≤f(x)≤M(x∈X), 此式说明f(x)在X上有下界—M和上界M. 充分性.设f(x)在X上有下界m与上界M,即 m≤f(x)≤M,x∈X 取K=max{|m|,Ml},则有 K≤m≤f(x)≤M≤K 从而|f(x)|≤K,这说明f(x)在X上有界 第二节初等函数 知识要点与考点 1.基本初等函数 1°幂函数y=x2(a∈R); 2°指数函数y=a(a>0,a≠1); 3°对数函数y= logar(a>0,a≠1); 4°三角函数six,cosx,tanx,cotx,secx,cscx; 5°反三角函数 arcsin T, arccos r, arctan x, arccot r
它们的定义域、值域、主要性质、图象、基本公式,在中学里已详细 学习,教材里也有扼要复习,本书从略 2.复合函数初等函数【考点 简言之,复合函数就是函数的函数:y=f(),=g(x),则函 数的叠加y=f[g(x)]便是x的复合函数,其中f又称为外函数,g 称为内函数,称为中间变量.依此类推,还有更多次复合的情形 应注意,并非任何两个函数都能构成复合函数,必须其内函数的值 域包含在外函数的定义域之中 由常(函)数和上述五类基本初等函数经过有限次四则运算、 函数复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数统称为初等函 3双曲函数与反双曲函数 双曲正弦shx 2 双曲余弦chx=2 双曲正切thx=sh8 e ry 反双曲正弦y= arsh x=ln(x+√x2+1 反双曲余弦y= arch x=ln(x+√x2-1), 反双曲正切y= arth=1ln1+ 显然它们也是初等函数,它们的图象性质和计算公式读者可 去复习教材. 习题1—2解答 1.求下列函数的定义域 (1)y=sin√x; (2)y=tan(x+1); (3)y=arcsin (x-3); (4)y=3-I+arctan (5)y=ln(x+1) 10
