2圆盘定理 定义1设A=(an)∈C 行盖尔圆盘→S2={∈Cz-a1|R=∑ J≠ 列盖尔圆盘→G={eC2-anC1=∑nl 定理1(圆盘定理1)设A∈C",则州任一特征值 λ∈S=∪S 人1
返回 2 圆盘定理 { :| | | |} i ii i ij j i S z C z a R a = − = 定义 1 ( ) n n A a C ij 设 = 行盖尔圆盘 { :| | | |} i ii i ji j i G z C z a C a 列盖尔圆盘 = − = 定理 1 (圆盘定理1) n n A C A 设 ,则 的任一特征值 1 n j j S S = =
证:Ax=x(x=(x1,x2,…,xn)≠0) Ax;(i=1,2,…,n)xk=max(x1b,…,xnD>0 j=1 ∑x;=x→xk(-ak)=∑ k xk-ak=∑;∑lx1x∑q ≠k j≠k ≠k Ih-akkISRk
返回 1 2 ( ( , , , ) 0) T 证： Ax x x x x x = = n 1 ( 1,2, , ) n ij j i j a x x i n = = = 1 | | max(| |, ,| |) 0 x x x k n = 1 n kj j k j a x x = = ( ) k kk kj j j k x a a x − = | || | | | k kk kj j j k x a a x − = | || | kj j j k a x | | | | k kj j k x a | | kk k − a R
例1估计矩阵 1-23 0 11-20 2 i 0 的特征值的分布范围
返回 例 1 1 1 1 0 2 2 1 3 0 2 2 0 5 2 2 1 0 0 5 i A i i i − − − = − − − 估计矩阵 的特征值 的分布范围
解 S1:|z-1|1; 3.3 S2:|z-|≤ S3:|z-51; S4:|z-5i|≤1 推论1设A∈Cm,则任一特征值 1∈∪G1 =1
返回 解： 1 S z :| 1| 1; − 2 3 3 :| | ; 2 2 S z − 3 S z :| 5 | 1; − 4 S z i :| 5 | 1 − O 5 1 2 3 5 S1 S3 S4 S2 推论 1 n n A C A 设 ,则 的任一特征值 1n i i j G=
定理2(圆盘定理2设n阶方阵m个盖尔圆盘中 有k个圆盘的并形成一连通区域G,且它与余下 的n-k个圆盘都不相交,则在该区域G中恰好有 A的k个特征值 证 11a1 1 ●鲁 ●鲁 12 1 n n 22 21 n 即:A=D+B
返回 11 12 1 11 12 1 21 22 2 22 21 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n nn nn n n a a a a a a a a a a a a A a a a a a a = = + 定理 2 (圆盘定理2) 设 阶方阵 的 个盖尔圆盘中 n A n 有 个圆盘的并形成一连通区域 ，且它与余下 k G 的 个圆盘都不相交，则在该区域 中恰好有 n k G - A k 的 个特征值. 证： 即：A=D+B
lg=D+EB,E∈|0,1 R;(AB)=Ri(eB)=ER(a) 设G=U{∈C:z-anR(4 Gk(E)=UiEC: 1z-ai kR: (Ae)=ER:(A) G≡G(1)
返回 A D B, [0, 1] = + ( ) ( ) R A R B i i = ( ) R Ai = 1 { :| | ( )} k ii i i G z C z a R A = 设 = − 1 ( ) { :| | ( ) ( )} k k ii i i i G z C z a R A R A = = − = (1) G G k
G +1,k+1
返回 a11 a22 akk ak k + + 1, 1an n, G
推论2设A∈CmX,则小的任一特征值 ;∈(∪S;)n(∪G;) i=1 推论3设阶方阵n个盖尔圆盘两两互不相交, 则4相似于对角阵 推论4设n阶实阵的n个盖尔圆盘两两互不相交, 则特征值全为实数
返回 推论 2 n n A C A 设 ,则 的任一特征值 1 1 ( ) ( ) n n i i j i j S G = = 推论 3 设 阶方阵 的 个盖尔圆盘两两互不相交， n A n 则 相似于对角阵 A . 推论 4 设 阶实阵 的 个盖尔圆盘两两互不相交， n A n 则 特征值全为实数 A
令D=dlng(p 19129 ,pn),(P1>0) p2 12 pn ain P1 P1 p1 21 22 Pn ain D AD=P2 P an2 nn n
返回 1 2 ( , , , ) ,( 0) 令D diag p p p p = n i 1 D AD − 2 11 12 1 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n p p a a a p p p p a a a p p p p a a a p p =
n P ∑l4y|D,g1={z∈C:z-ai|n} J≠ 1=4 n2P=z∈Cx-an l≠J 定理2设A∈C",则的任一特征值 1∈(UQn(UP) i=1
返回 1 1 | | , j n i ij i j j i r a p p = = 1 | | , j n ij j i i i j a t p p = = 定理 2 n n A C A 设 ,则 的任一特征值 1 1 ( ) ( ) n n i i j i j Q P = = { :| | } Q z C z a r i ii i = − { :| | } P z C z a t j jj j = −