§5微积分学基本定理.定积分计算(续) 本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次 提到的问题一连续函数必存在原函数;第二部分的内容主要介绍 定积分的换元积分法及积分分部积分法。 变限积分与原函数存在定理 、变限积分 设f在a,b上可积,根据积分区间的可加性,对x∈[a,b],f在 x1上也可积,于是,由o(x)=J/(t,xe[ab 定义了一个以积分上限x为自变量的函数,称为变上限的定积分。 类似地可定义变下限的定积分:
1 §5 微积分学基本定理. 定积分计算（续） 本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次 提到的问题—连续函数必存在原函数；第二部分的内容主要介绍 定积分的换元积分法及积分分部积分法。 一、变限积分与原函数存在定理 1、变限积分 [ , ] [ , ], [ , ] ( ) ( ) , [ , ] x a f a b x a b f a x x f t dt x a b x = 设 在 上可积，根据积分区间的可加性，对 在 上也可积，于是，由 定义了一个以积分上限 为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地可定义变下限的定积分：
平(x)=f(lbt,x∈[a,b Φ(x)、屮(x)统称为变限积分(或积分上、下限函数) 现在的问题是:变限积分(函数)有什么性质? 由于对x∈ab有:∫()=丁(),因此下面只讨论变 上限积分的性质 定理99若∫在ab上可积,则变上限积分c(x)=Jf( 必在[a,b上连续。(证)
2 ( ) ( ) , [ , ] ( ) ( ) ( [ , ], ( ) ( ) , . 9.9 [ , ] ( ) ( ) [ , ] b x b x x b x a x f t dt x a b x x x a b f t dt f t dt f a b x f t dt a b = = − = 、 统称为变限积分（或积分上、下限函数）。 现在的问题是：变限积分 函数）有什么性质？ 由于对 有： 因此下面只讨论变 上限积分的性质 定理 若 在 上可积，则变上限积分 必在 上连续。（证）
定理说明,变限积分(函数)必在积分区间上连续 定理9.10(原函数存在定理)若∫在a,b上连续,则变上限积分 0/Mh在b上可导,且:(x)=0m=(x)(证) 定理说明 1)、只要f在[a,b上连续,则其在[a,b]上必存在原函数,且变限积分 (x)=∫(就是f的一个原函数 2)、本定理沟通了导数(函数平均变化率的极限)与定积分(黎曼 积分和的极限)这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
3 ( . 9.10 [ , ] ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ). ( 1 [ , ] [ , ] ( ) ( ) 2 x x a a x a f a b x f t dt a b x f t dt f x f a b a b x f t dt f = = = = 定理说明，变限积分 函数）必在积分区间上连续 定理 （原函数存在定理）若 在 上连续，则变上限积分 在 上可导，且： 证） 定理说明： ）、只要 在 上连续，则其在 上必存在原函数，且变限积分 就是 的一个原函数。 ）、本定理沟通了导数（函数平均变化率的极 , 限）与定积分（黎曼 积分和的极限）这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分 基本定理”。 思考题: 1、可积的函数是否一定存在原函数?存在原函数的函数是否一定可积? 前一个问题可考虑:sgn(x)在[-,1上的可积性与原函数的存在性 后一个问题可考虑:f(x) 2sin-,x≠0 七0 在[-1,1上是否为: 2x sin g(x)= cS2,≠0 ,的原函数?g(x)在[-1,1上是否可 0..x=0 积?
4 2 2 2 1 sgn( ) [ 1 1] 1 sin , 0 ( ) , [ 1, 1] 0, 0 1 2 1 2 sin cos , 0 ( ) , ( 0, , 0 x x x f x x x x x g x g x x x x − = − = − = = 也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分 基本定理”。 思考题： 、可积的函数是否一定存在原函数？存在原函数的函数是否一定可积？ 前一个问题可考虑： 在 ， 上的可积性与原函数的存在性。 后一个问题可考虑： 在 上是否为： 的原函数？ x) [ 1, 1] 在 上是否可 − 积？
2)、间:符号/(x)djf(x) dxf(dt有何区别?有何联系? 、定积分换元积分法与分部积分法 原函数的存在性定理及牛顿一莱不尼茨公式,揭示了定积分 与不定积分之间的关系,因此可以把不定积分的换元积分法与分 部积分法相应地移植到定积分计算上来 1、定积分的换元积分法 定理9.12若f在a,b上连续,在α,B上有连续的导函数,且满 足:p(a)=a,0(B=b,a≤1)≤b,t∈[,B 则有定积分换元公式:
5 2 ( ) ( ) ( ) 1 9.12 [ , ] [ ] , , b x a a f x dx f x dx f t dt f a b a b a t = = ）、问：符号 有何区别？有何联系？ 二、定积分换元积分法与分部积分法 原函数的存在性定理及牛顿—莱不尼茨公式，揭示了定积分 与不定积分之间的关系，因此可以把不定积分的换元积分法与分 部积分法相应地移植到定积分计算上来。 、定积分的换元积分法 定理 若 在 上连续， 在 ， 上有连续的导函数，且满 足：（ ） （ ） （ ） b t , [ ], ， 则有定积分换元公式：
∫f(x)k=∫f(o)() 证 公式使用时应注意: 1)、换元必换限:用x=g(1)把原来变量x换成新变量l时,积分限 也要换成相应于新变量t的积分限; 2)、求出f(9()9(0.一个原函数F()后,不必象不定积分那样再 要把F(t)还原成原来变量x的函数,而只要把新变量的上下限代入 F()中求其差值即可 3)、使用公式时要注意条件,要求所作的变换x=q(1)满足两条 件:(1)、q()在[α,B上连续;(2)、当t从a变到∫时,()恰 好从a变到b
6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 1 b a f x dx f t t dt x t x t t f t t F t F t x F t x t = = = 证 公式使用时应注意： ）、换元必换限：用 把原来变量 换成新变量 时，积分限 也要换成相应于新变量 的积分限； ）、求出 的一个原函数 后，不必象不定积分那样再 要把 还原成原来变量 的函数，而只要把新变量的上下限代入 中求其差值即可。 ）、使用公式时要注意条件，要求所作的变换 满足两条 件：（） ( [ ] 2 ( ) . t t t a b 、 ）在 ， 上连续；（ ）、当 从 变到 时， 恰 好从 变到
4)、如果定理的条件只假设f在[a,b上可积,但还要要求(t) 是单调的,则定积分的换元积分公式仍成立。 思考题: 应用换元法计算定积分时,一旦得到了新变量表示的原函数后, 不必作变量还原,而只要用新的积分限代入并求差值就可以了。 为什么? 利用定积分的换元积分法容易证明重要的结论 若在-a,a上连续,且是奇函数,则:「f(x)dx=0;若是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx
7 4 [ , ] ( ) ）、如果定理的条件只假设 在 上可积，但还要要求 f a b t 是单调的，则定积分的换元积分公式仍成立。 思考题： 应用换元法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后， 不必作变量还原，而只要用新的积分限代入并求差值就可以了。 为什么？ ( ) 2 ( ) . [ , ] ( ) 0 ; 0 = − = − − a a a a a f x dx f x dx 若f在 a a 上连续，且是奇函数，则： f x dx 若是偶函数，则 利用定积分的换元积分法容易证明重要的结论：
例1求[1-x2ax例2求了 In(1+x) d技巧积分题 dx 例3求 为技巧积分题 0x+a“-x 例4已知:J(x=-4,求Jx(x2+
8 例1 求 例2 求 为技巧积分题 例3 求 为技巧积分题 例4 已知： ，求
2、定积分分部积分法 定理9.13若(x)v(x)为a,bl上的连续可微函数,则有定积分分部积分 公式: ∫n(x)y(xbx=(x)(x)2-(x)v(xx(证) 例1求∫x2hxdk 例2求∫sn"x(x与∫cosy”xt,m=12,… 解:小=5s21x(c98x在
9 2 sin cos , 1,2, 1 ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9.13 ( ) ( ) [ , ] 2 20 20 1 2 = = − xdx xdx n x xdx u x v x dx u x v x u x v x dx u x v x a b n n e ba ba ba 例 求 与 例 求 （证） 公式： 定理 若 、 为 上的连续可微函数，则有定积分分部积分 、定积分分部积分法 解：
sin-xcosx12+2 cos x(sin"x)'d X =(n-1)2sin22x(1-sin2x)dx=(n-1)J22-(n-1)J 解得 72 2,直接求得 sin xdx= 1 72 0=5a 丌 于是,当n为偶数时,有 72 -2 n-1x-331_(n-1(n-3…5317_(x-1)丌 n-242 2(2
10 = ， ， 解得： 直接求得 于是, 当 n 为偶数时, 有：