第21讲共轭算子与一、五线性泛函 教学目的:掌握 Hilbert空间上几类常用算子的性质。 讲解要点 1 Hilbert空间上线性泛函与线性算子的表现定理, 2自伴算子的基本性质。 3酉算子与正常算子的概念与属性 定理1( Riesz表现定理)设H是 Hilbert空间 (1)Vy∈H,f(x)=(x,y)是H上的连续线性泛函并且 If=bl (4-3-1) (2)若∫是H上的连续线性泛函,则存在唯一的y∈H使得 f(x)=(x,y),Vx∈H 4-3-2) 证明1°设x1,x2∈H,a,B∈Φ,则 (ax1+fx2)=(ax1+x2,y) a(x,y)+B(x2,y)=a f(x)+B f(x2) ∫是线性的.又由不等式f(x)=(xy)≤|y,≤,f连续 若y=0,显然/=0=|y若y≠0,取x=y,则|f(y)=(y,y) pv,故≥(,=总之,|/=p 2°若∫=0,取y=0即可.若∫≠0,设E=N(),E是H 的闭极大真子空间,设H=E田E,E≠Q}取z∈E2,|=1
1 第 21 讲 共轭算子与一、五线性泛函 教学目的：掌握 Hilbert 空间上几类常用算子的性质。 讲解要点： 1 Hilbert 空间上线性泛函与线性算子的表现定理。 2 自伴算子的基本性质。 3 酉算子与正常算子的概念与属性。 定理 1 (Riesz 表现定理) 设 H 是 Hilbert 空间. (1) ∀y H ∈ , f (x) = (x, y)是 H 上的连续线性泛函并且 f = y . (4-3-1) (2) 若 f 是 H 上的连续线性泛函, 则存在唯一的 y ∈ H 使得 f (x) = (x, y), ∀x ∈ H (4-3-2) 证明 D 1 设 x1 , x2 ∈ H ,α, β ∈Φ , 则 ( ) 1 2 f αx + βx = ( , ) 1 2 αx + βx y = α ( x , y 1 )+ β ( x , y 2 ) =α ( )1 f x + β ( ) 2 f x . f 是线性的. 又由不等式 f (x) = (x, y) ≤ x y , f ≤ y , f 连续. 若 y = 0 , 显 然 f = 0 = y . 若 y ≠ 0 , 取 x = y , 则 f ( ) y = ( y, y) = 2 y , 故 f ≥ ( ) y y f = y . 总之, f = y . D 2 若 f = 0, 取 y = 0 即可. 若 f ≠ 0, 设 E = N( f ) , E 是 H 的闭极大真子空间 , 设 ⊥ H = E ⊕ E , ≠ {0} ⊥ E . 取 ⊥ z ∈ E , z = 1
则f()≠0,令y=f(),y∈E由于Wx∈H,x-/(S):∈E,于 0=( f(x) =(x,y)-(f(x):f(x)) f(二) y)-f(x)(=,=) (x,y)-f(x) 即f(x)=(x,y),x∈H,由还知道|/=y 若另有y'∈H使得∫(x)=(x,y),Vx∈H,则(x,y)=(x,y) vx∈H,即(x,y-y)=0,此时必有y=y 称定理1中的y为线性泛函∫的表现 记H上的连续线性泛函全体为H',定理1表明从集合论的观点 来看,H与H是相同的 定理2设H是 Hilbert空间,H'是H的共轭空间 (1)若映射T:H→H,T=y,其中y是∫的表现,则 T(a+B2)=a7(1)+Br(f),f1,f∈H',(4-32) T是到上的并且f∈H,阿= (Tf,7g)=(f,g),V1,g∈ (4-3-3) (3)若J是从H到H"的自然嵌入算子,J是到上的线性映 射 并且 vx∈H 通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的 明1°设T1=y1,72=y2,a,B∈Φ,则
2 则 f (z) ≠ 0 , 令 y = f (z)z , ⊥ y ∈ E . 由于 ∀x∈ H , z f z f x x ( ) ( ) − ∈ E ,于 是 0 = ( z f z f x x ( ) ( ) − , y ) = (x, y) − ( ( ) ( ) f x z f z , f (z)z) = (x, y) − f (x)(z,z) = (x, y) − f (x) 即 f (x) = (x, y), ∀x ∈ H , 由 D 1 还知道 f = y . 若另有 y H '∈ 使 得 f (x) = ( , ') x y , ∀x ∈ H , 则 (x, y) = ( , ') x y , ∀x ∈ H , 即 ( , ') 0, xy y − = 此时必有 y y = '. 称定理 1 中的 y 为线性泛函 f 的表现. 记 H 上的连续线性泛函全体为 * H , 定理 1 表明从集合论的观点 来看, H 与 * H 是相同的. 定理 2 设 H 是 Hilbert 空间, * H 是 H 的共轭空间. (1) 若映射 T H → H * : , Tf = y , 其中 y 是 f 的表现. 则 ( ) 1 2 T αf + βf = ( )1 αT f + ( ) 2 βT f , 1 ∀f , * f 2 ∈ H , (4-3-2) T 是到上的并且 * ∀ ∈f H , Tf = f . (2) (Tf ,Tg) = (,) f g , 1 ∀f , * g ∈ H . (4-3-3) (3) 若 J 是从 H 到 ** H 的自然嵌入算子, J 是到上的线性映 射 并且 Jx = x , ∀x ∈ H . 通常称满足(4-3-2)的 T 是共轭线性的. 证 明 D 1 设 1 1 Tf = y , 2 2 Tf = y , α, β ∈Φ , 则 ∀x∈ H
f(x)=(x,y1),f2(x)=(x,y2).于是 (cf1+2)(x)=af(x)+Bf2(x) =a(x,y)+B(r,y2)=(x, ay,+By2) 即T(a+B2)=ay1+By2=a(f1)+B(2)由定理1知道T是到上 的并且|7==f,∈F 2 B T(+8=f+gl,T(f-g=f-8 Re(T, Tg)=7u+g -(-gP =f+g|-f-8]=Re(,g) 将∫换为矿,则 Re(Tif, tg)=Re(if, g) 又由T的共轭线性(,7g)=(Tjf,Tg).所以 Im(t, Tg)=Re(tif, Tg)=Re(if, g)=-Im(, g) 从而 (, 1g)=(,g f,g∈H 3°设J是从H到H的自然嵌入算子,则Vx∈H, Jx(y)=y(x),Vy∈H 若x1,x2∈H,a,B∈④,则 J(ax1+x2)(y)=y(a1+x2) =a(x)+By(x2)=ax, (y)+ Bx2y (ax,+ Rx,)(y) y是任意的.故J(ax1+x2)=akx1+Bx2 vx”∈H”,由定理1,存在y∈H”,使得x”(∫)=(f,y)
3 ( ) 1f x = ( , )1 x y , ( ) 2 f x = ( , ) 2 x y . 于是 ( 1 2 αf + βf )( x )=α ( ) 1f x + β ( ) 2 f x =α ( , )1 x y + β ( , ) 2 x y = ( x, 1 2 αy + β y ). 即 ( ) 1 2 T αf + βf = 1 2 αy + β y = ( )1 αT f + ( ) 2 βT f .由定理 1 知道 T 是到上 的并且 Tf = y = f , * ∀ ∈f H . D 2 由 T( f + g) = f + g , T( f − g) = f − g , 则 Re (Tf ,Tg) = [ ( ) ( ) ] 4 1 2 2 T f + g − T f − g = [ ] 4 1 2 2 f + g − f − g = Re ( f , g). 将 f 换为 if , 则 Re (Tif ,Tg) = Re (if , g) . 又由 T 的共轭线性 (Tf ,Tg) = i(Tif ,Tg). 所以 Im (Tf ,Tg) = Re (Tif ,Tg) = Re (if , g) = − Im ( f , g). 从而 (Tf ,Tg) = ( f , g) , ∀f , * g ∈ H . D 3 设 J 是从 H 到 ** H 的自然嵌入算子, 则 ∀x ∈ H , Jx( y) = y(x), * ∀y ∈ H . 若 x1 , x2 ∈ H ,α, β ∈Φ , 则 ( ) 1 2 J αx + βx ( y) = ( ) 1 2 y αx + βx = ( ) ( ) 1 2 αy x + βy x = ( ) ( ) 1 2 αJx y + βJx y = ( )( ) 1 2 αJx + βJx y y 是任意的. 故 ( ) 1 2 J αx + βx ＝ 1 2 αJx + βJx 。 x H ∗∗ ∗∗ ∀ ∈ ，由定理 1，存在 ∗ ∗ y ∈ H ，使得 ( ) ( , ) ∗∗ ∗ x f = f y
∈H并且|=若T是中的映射,不妨设=x,由2 x"(f)=(f,y)=(Ty,m)=f(x) 故x=x"。J是到上的并且 A=|x=p=|= 定理得证 这里注意T:H→H是共轭线性的但不是线性的.因此按照线 性同构的观点来看,当Φ是复空间时,H·≠H.尽管H与H之间存 在一一的到上的映射.另一方面,定理2(3)与我们关于一致凸空间 的结论是一致的,即 Hilbert空间是自反空间,从而 Hilbert空间的闭 单位球是O紧的等等 定义1设H是 Hilbert空间,:H×H→Φ是一映射 (1)称φ是一、五线性的,若Vx,y,=∈H,a,B∈Φ p(ax+B,=)=ap(x,=)+B(y,-) q(x,ay+)=aq(x,y)+B(x,).(4-3-5 (2)称φ是对称(或 Hermite)的,若g(x,y)=(y,x) (3)称φ是有界的,若存在C>0, lq(x,y)Cy,xy∈H 此时记其范数为 lo=sup( p(x,y)1: -l,bv<1; (4-3-5) 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理 定理3设H是 Hilbert空间,则φ:H×H→Φ是有界一、五线 性泛函当且仅当存在T∈B(H),使得 x,y)=(Tx,y)Vx,y∈H (4-3-6) 此时有|pl=|r‖
4 * ∀f ∈ H 并且 ∗∗ ∗ x = y 。若 T 是 D 1 中的映射，不妨设 Ty = x ∗ ，由 D 2 ， ( ) ( , ) ∗∗ ∗ x f = f y ＝ (Ty ,Tf ) ∗ = f (x) . 故 ∗∗ Jx = x 。 J 是到上的并且 ∗∗ Jx = x ＝ ∗ y ＝ ∗ Ty ＝ x . 定理得证. 这里注意 T H → H ∗ : 是共轭线性的但不是线性的. 因此按照线 性同构的观点来看，当 Φ 是复空间时，H ≠ H ∗ . 尽管 ∗ H 与 H 之间存 在一一的到上的映射. 另一方面，定理 2（3）与我们关于一致凸空间 的结论是一致的，即 Hilbert 空间是自反空间，从而 Hilbert 空间的闭 单位球是 ω 紧的等等. 定义 1 设 H 是 Hilbert 空间,， ϕ : H × H → Φ 是一映射. (1) 称 ϕ 是一、五线性的，若 ∀x, y,z ∈ H ，α, β ∈Φ ， ϕ(αx + βy,z) ＝αϕ(x,z)＋ βϕ( y,z) ϕ(x,αy + βz) ＝αϕ(x, y) ＋ βϕ(x,z) . （4-3-5） (2) 称 ϕ 是对称（或 Hermite）的，若 ϕ(x, y) ＝ ϕ( y, x). (3) 称 ϕ 是有界的，若存在 C > 0 ， |ϕ(x, y) |≤ C x ⋅ y ， ∀x, y ∈ H . 此时记其范数为 ϕ ϕ = ≤≤ sup{| ( , ) |: 1, 1} xy x y . （4-3-5） 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理. 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间, 则 ϕ : H × H → Φ 是有界一、五线 性泛函当且仅当存在 T ∈ B(H) ，使得 ϕ(x, y) = (Tx, y) ∀x, y ∈ H . （4-3- 6） 此时有 ϕ = T
明充分性.设T∈B(H),记o(x Vx.v,z∈ B∈Φ (a+的,2)=(T(ax+y),=) (Tx,-)+B(7y,2)=aqp(x,)+Pp(y,=) q(x,a+)=(x,a+f)=a(x,y)+Bp(x,=), lo(x,y)=(x,y≤7xpy≤7时xy 于是≤.g是有界的 必要性.若(x,y)是有界一、五线性的,Vx∈H,令 f(y)=(x,y),Vy∈H是H上的连续线性泛函.实际上,由定义 (y)=l(x,y)≤|ply 由定理1,存在z∈H使得f(y)=(y,2).记T:H→H,Tx=,则 方面 (Tx, y)=(,y)=(, )=f()=p(x, y),Vx,yEH 另一方面,若Tx≠0,令y=1x,则 ITxl=\x (Tx, Tx) 故|7≤|p T是由φ唯一决定的.实际上,若另有T1使得 (Tx,y)=o(x,y)=(Ix, y),x,yEH 则由y的任意性,必有Tx=Tx,再由x的任意性得到T=T.最后由 上面证明知道= 定理4设H是 Hilbert空间,则ⅤA∈B(H),存在唯一的 B∈B(H)使得
5 证 明 充分性 . 设 T ∈ B(H) , 记 ϕ(x, y) = (Tx, y) ， 则 ∀x, y,z ∈ H ，α, β ∈Φ ， ϕ(αx + βy,z) = (T(αx + βy),z) =α(Tx,z) + β (Ty,z) =αϕ(x,z) + βϕ( y,z) . ϕ(x,αy + βz) = (Tx,αy + βz) =αϕ(x, y) + βϕ(x,z) , 由于 ϕ(x, y) = (Tx, y) ≤ Tx y ≤ T x y . 于是 ϕ ≤ T . ϕ 是有界的. 必要性 . 若 ϕ(x, y) 是有界一、五线性的 , ∀x∈ H , 令 f ( y) =ϕ(x, y) ， ∀y ∈ H 是 H 上的连续线性泛函. 实际上, 由定义 f ( y) = ϕ(x, y) ≤ ϕ x y . 由定理 1, 存在 z ∈ H 使得 f ( y) = ( y,z) . 记 T : H → H , Tx = z , 则一 方面 (Tx, y) = (z, y) = ( y,z) = f ( y) =ϕ(x, y), ∀x, y ∈ H . 另一方面, 若 Tx ≠ 0 , 令 Tx Tx y = , 则 Tx = Tx (Tx,Tx) = x Tx Tx x x (T( ), ) = x Tx Tx x x ϕ( , ) ≤ ϕ x 故 T ≤ ϕ . T 是由 ϕ 唯一决定的. 实际上, 若另有 T1使得 ( , ) 1 T x y =ϕ(x, y) = (Tx, y) , ∀x, y ∈ H . 则由 y 的任意性, 必有 T x1 = Tx , 再由 x 的任意性得到 T1 = T . 最后由 上面证明知道 T = ϕ . 定 理 4 设 H 是 Hilbert 空 间 , 则 ∀A BH ∈ ( ) , 存在唯一的 B ∈ B(H) 使得
(Ax, y)=(x, By), Vx,yE H (4-3-7) 证明令(x,y)=(x,y),则是一、五线性泛函并且 )=(x,y)≤|x≤4xpl φ是有界的.由定理3,存在B∈B(H)使得q(x,y)=(Bx,y),于是 (Ay,x)=(y,Bx).交换x与y的符号即得(Ax,y)=(x,By) 定义2设H是 Hilbert空间,T∈B(H),若存在T'∈B(H)使 得(Tx,y)=(x,Ty),Vx,y∈H 称T是T的伴随算子 定理4说明,对于任一有界线性算子T∈B(H),相应于T的伴随 算子存在此外,在$2中我们讨论过自伴算子,自伴算子即满足 T=T的伴随算子.注意。与 Banish空间情况略有不同的是,映射 T→T是共轭线性的 命题设H是 Hilbert空间,A∈B(H),以下诸条件等价 (1)是自伴算子 (2)q(x,y)=(Ax,y)是对称的 若H是复空间,则以上还等价于 (3)wx∈H,(x,x)=(Ax,x)是实数 证明(1)→(2).只需注意Vx,y∈H, p(x, y)=(Ax,y)=(x, Ay)=(Ay, x)=o(, x) (2)→(1).注意(Ax,y=(x,y)=(y,x)=(4y,x)=(x,4y) (1)→(3)(x,x)=(x,Ax)=(Ax,x)=(x,x).所以(x,x)是实 数 现在设H是复空间,我们证明(3)→(2)成立.实际上利用极化恒 等式可得到 6
6 ( ,) Ax y = (, ) x By , ∀x, y ∈ H . (4-3-7) 证 明 令 ϕ(x, y) = ( x, Ay )，则 ϕ 是一、五线性泛函并且 ϕ(x, y) = (x, Ay) ≤ x Ay ≤ A x y , ϕ 是有界的. 由定理 3, 存在 B ∈ B(H) 使得 ϕ(x, y) = ( ,) Bx y , 于是 ( Ay, x )=( y,Bx ). 交换 x 与 y 的符号即得( Ax, y ) = ( x, By ). 定义 2 设 H 是 Hilbert 空间, T ∈ B(H) , 若存在 ( ) * T ∈ B H 使 得 (Tx, y) = ( , ) * x T y ， ∀x, y ∈ H , 称 * T 是 T 的伴随算子. 定理 4 说明, 对于任一有界线性算子 T ∈ B(H) , 相应于 T 的伴随 算子存在. 此外, 在 $2 中我们讨论过自伴算子, 自伴算子即满足 * T = T 的伴随算子. 注意。与 Banish 空间情况略有不同的是，映射 * T T → 是共轭线性的. 命 题 设 H 是 Hilbert 空间, A∈ B(H), 以下诸条件等价: (1) 是自伴算子. (2) ϕ(x, y) =( Ax, y ) 是对称的. 若 H 是复空间,则以上还等价于: (3) ∀x ∈ H , ϕ(x, x) = ( Ax, x ) 是实数 . 证 明 (1)⇒(2). 只需注意 ∀x, , y H ∈ ϕ(x, y) = ( Ax, y ) = ( x, Ay ) = (Ay, x) =ϕ( y, x) . (2)⇒(1). 注意 ( Ax, y )=ϕ(x, y) =ϕ( y, x) = (Ay, x) = ( x, Ay ). (1)⇒(3). ϕ(x, x) = (x, Ax) = ( Ax, x ) =ϕ(x, x). 所以 ϕ(x, x)是实 数. 现在设 H 是复空间, 我们证明(3) ⇒(2)成立. 实际上利用极化恒 等式可得到
p(x, y)=4( Ax, y) (A(+y),x+y)-(A(x-y),x-y) +i(A(+iy), x+iy)i(A(-iy,x-iy) P(x+y,x+y)-( y) i@(x+1v.x+ 利用(x,x)是实数容易得出(x,y)=(y,x),故为对称的 例1设{e:1≤/5是C"的规范正交基,A∈B(C")其中 A A对应的是nxn阶方阵(a1)其中ak=(4eke) Wx=∑xe,Ax=∑xA1=2x(∑q) 由定理4,A的共轭阵A是存在的.实际上,由定义知道,若 A=(b),则 Aei, e)=(e,, A e,=(aen, e) A是A的转置伴随矩阵 同样地,对于可分 Hilbert空间H,若{en:n≥1}是H的规范正交 基,T∈B(H),则T表现为一个无穷矩阵(a)1,其中 ak k≥1 (见第三章§3例4))·此时若bk=a,则与B=(bk)相应的算子是 A的共轭算子 例2设A:[a,b]→L[ab] (4x)1)=「K(,sr(s)ds,wx∈lab
7 4ϕ(x, y) = 4( Ax, y ) = ( A(x + y), x + y )－( A(x − y), x − y ) + i ( A(x + iy), x + iy )－ i ( A(x − iy), x − iy ) = ϕ(x + y, x + y) － ϕ(x − y, x − y) + iϕ(x + iy, x + iy) － iϕ(x − iy, x − iy). 利用 ϕ(x, x)是实数容易得出 ϕ(x, y) =ϕ( y, x), 故为对称的. 例 1 设 {e jn j :1≤ ≤ } 是 n C 的规范正交基, ( ) n A BC ∈ , 其中 Aek = 1 n jk j j a e = ∑ ， k n =1, , " A 对应的是 n × n 阶方阵 ( ) jk a ,其中 jk a =( , A k j e e ). ∀x = 1 n k k k x e = ∑ , Ax = 1 n k k k x Ae = ∑ = 1 n k k x = ∑ ( 1 n jk j j a e = ∑ ). 由定理 4, A 的共轭阵 * A 是存在的 . 实际上 , 由定义知道 , 若 * A = ( ) jk b ,则 jk b = ( * , Ae e k j ) = * (, ) j k e Ae = ( ,) Ae e j k = kj a . * A 是 A 的转置伴随矩阵. 同样地, 对于可分 Hilbert 空间 H, 若{ : 1} n e n ≥ 是 H 的规范正交 基， T BH ∈ ( ), 则 T 表现为一个无穷矩阵 , 1 () , kj k j a ∞ = 其中 1 , 1 k kj j j Te a e k ∞ = = ≥ ∑ （见第三章§3 例 4））. 此时若 jk b = kj a , 则与 ( ) B jk = b 相应的算子是 A 的共轭算子. 例 2 设 A : L [ ] a,b 2 → L [a,b] 2 , ( Ax )( t ) = K t s x s ds b a ( , ) ( ) ∫ , ∀x ∈ L [a,b] 2
其中K(t,s)是a≤≤b,a≤S≤b上可测且平方可积的函数 由 Holder不等式容易验证A是有界线性算子,故A存在.实际 A'x(D)=K(s, I)(s)ds,VxE L[a,b] 因为由定义 (x, A'y)=x(O[K(s,)y(s)dsdt x(o) K(s, Oy(sdsdt =K(s, t) x()y(sdsdt (∫k(sx(s) ∈L[ab] 若K(S,1)=k(t,s),则A是自伴算子 定理5设H是 Hilbert空间,A,B∈B(H),则 (1)(a4+B)=aA'+BB (2)A=A (3)(AB)=BA 证明1x,y∈H,a,B∈Φ (aA+ BB)x,y)=(aAx+ BBx, y) a(Ax, y)+B(Bx, y) a(x, Ay)+B(x, B'y) =(x,、(aA+BB')y) 故(a4+B)’=aA'+BB
8 其中 K(t,s) 是 a ≤ t ≤ b , a ≤ s ≤ b 上可测且平方可积的函数. 由 Holder 不等式容易验证 A 是有界线性算子, 故 * A 存在. 实际 上, A x * ( t ) = K s t x s ds b a ( , ) ( ) ∫ , ∀x ∈ L [a,b] 2 . 因为由定义, ( , ) * x A y = ∫ b a x(t) K s t y s dsdt b a ( , ) ( ) ∫ = ∫ b a x(t) K s t y s dsdt b a ( , ) ( ) ∫ = K s t x t y s dsdt b a b a ( , ) ( ) ( ) ∫ ∫ = K t s x s ds y t dt b a b a ( ( , ) ( ) ) ( ) ∫ ∫ = (Ax, y). ∀x, y ∈ L [a,b] 2 , 若 K(s,t) = K(t,s), 则 A 是自伴算子. 定理 5 设 H 是 Hilbert 空间, A, B ∈ B(H), 则 (1) * (αA + βB) = * αA + * βB . (2) ** A = A . (3) * (AB) = * B * A . (4) 2 * A = 2 A = A A * . 证明 D 1 ∀ ∈ xy H , ,α, β ∈Φ , ((αA + βB)x, y) = (αAx + βBx, y) =α(Ax, y) + β (Bx, y) = (x, A y) (x, B y) ∗ ∗ α + β = (x,( A B ) y) ∗ ∗ α + β 故 * (αA + βB) = * αA + * βB
H (Ay,x)=(x, Ay)=(Ax, y) 故A=(4") 3AB∈B(H),故AB∈B(H),(AB)存在.Vx,y∈H, Bx, y)=(Bx, A'y)=(x, BAy 故(AB)=B 4°x,y∈H,(Ax,y)=(x,Ay).若Ax≠0,则 (Ax, Ax) 1 (x, A Ax) Ax 所以4s4|又由2,f=4,于是r|=4 上式又可以写成4=(xAAx)≤4,故 Ist 显然4车414=1,故=14=4 定理6设H是 Hilbert空间,A∈B(H),A是A的伴随算子, 则 N(A)=R(A) N(A)=R(A)2 R(A)=N(A) R(A)=N(A)2 证明若x∈N(A),则Ax=0.Vy∈H
9 D 2 ∀x, y ∈ H ， (A y, x) ∗ ＝ (x, A y) ∗ ＝ (Ax, y) ＝ ( y, Ax), 故 A ＝ ∗ ∗ (A ) ＝ ** A . D 3 A,B ∈ B(H)，故 AB ∈ B(H) ， ∗ (AB) 存在. ∀xy H , ∈ ， (ABx, y) (Bx, A y) ∗ = = (x, B A y) ∗ ∗ . 故 * (AB) = * B * A . D 4 ∀x, y ∈ H ， (Ax, y) (x, A y) ∗ = . 若 Ax ≠ 0，则 Ax = Ax (Ax, Ax) ＝ Ax 1 (x, A Ax) ∗ ＝ ∗ Ax Ax x, A ≤ x Ax Ax A ⋅ ∗ ≤ A ⋅ x ∗ . 所以 ∗ A ≤ A . 又由 D 2 , A A A , ∗ ∗∗ ≤ = 于是 A A . ∗ = 上式又可以写成 ( , ) 2 Ax x A Ax ∗ = ≤ 2 A A ⋅ x ∗ ，故 2 1 2 A sup Ax x ≤ = ≤ A A ∗ 。 显然 A A ∗ ≤ ∗ A A ＝ 2 A ，故 = ∗ 2 A 2 A ＝ A A ∗ . 定理 6 设 H 是 Hilbert 空间, A∈ B(H) ， ∗ A 是 A 的伴随算子， 则 ∗ ⊥ N(A) = R(A ) ， ∗ ⊥ N(A ) = R(A) ， ∗ ⊥ R(A) = N(A ) ， ∗ ⊥ R(A ) = N(A) . 证明 若 x ∈ N(A) ，则 Ax = 0 . ∀y H ∈
r A'y 故x⊥R(A”),x∈R(A)2,所以N(A)cR(A)2.反之,Vx∈ R(A)2,(x,Ay)=0,vy∈H.从而 (Ax,y)=(x, ay) y任意,故Ax=0,x∈N(A),R()cN(A)。总之N(A)=R(A)2 由此N(A)=R(A”)=R(A) 同样地由第一式知N(A)=R(A).但显然R(A) R(A”),由§2定理3,R(A")=R(A") (A”),故 R(A')=N(A)2,第四式成立 最后N(A)2=R(A”)=R(A) 定理7(Lax- Milgram)设H是 Hilbert空间,:H×H→Φ是 、五线性的.若φ有界并且存在r>0使得 (x,x)≥r|,x∈H 则存在A∈B(H),A可逆,4≤r-并且 P(x,y)=(x, Ay),Vx,yEH 证明由定理3知道存在A∈B(H)使得 x.1 由定理中条件,当x=y时 xso(x, x)<Axl 或者 川斗Ax,yx∈H 这说明A是可逆的.同样地还有
10 0＝ (Ax, y) ＝ (x, A y) ∗ ， 故 ( ) ∗ x ⊥ R A ， ∗ ⊥ x ∈ R(A ) ，所以 ∗ ⊥ N(A) ⊂ R(A ) . 反之， ∀ ∈x R( ) A∗ ⊥ ， (x, A y) ∗ ＝0, ∀y ∈ H . 从而 (Ax, y) ＝ (x, A y) ∗ ＝0. y 任意，故 Ax = 0 ，x ∈ N(A) ，R(A ) ⊂ N(A) ∗ ⊥ 。总之 N A( ) R( ) A∗ ⊥ = . 由此 ∗ ∗∗ ⊥ ⊥ N(A ) = R(A ) = R(A) . 同样地由第一式知 ⊥ ∗ ⊥⊥ N(A) = R(A ) . 但显然 ∗ ⊥ R(A ) ＝ ⊥ ∗ R(A ) ，由§2 定 理 3 ， = ∗ R(A ) ⊥⊥ ∗ R(A ) ＝ ∗ ⊥⊥ R(A ) ， 故 ∗ ⊥ R(A ) = N(A) , 第四式成立. 最后 ∗ ⊥ N(A ) ＝ R(A ) = R(A) ∗∗ . 定理 7 (Lax-Milgram) 设 H 是 Hilbert 空间,ϕ : H × H → Φ 是 一、五线性的. 若 ϕ 有界并且存在 r > 0 使得 ϕ(x, x) ≥ r 2 x , ∀ x ∈ H (4-3-8) 则存在 A∈ B(H ), A 可逆, −1 A ≤ −1 r 并且 ϕ(x, y) = (x, Ay) , ∀ x, y ∈ H . 证明 由定理 3 知道存在 A∈ B(H ) 使得 ϕ(x, y) = (Ax, y) = ( , ) * x A y . 由定理中条件, 当 x = y 时 r 2 x ≤ ϕ(x, x) ≤ Ax x 或者 r x ≤ Ax , ∀ x ∈ H . (4-3-9) 这说明 A 是可逆的. 同样地还有