方差的定义 方差性质 切比雪夫不等式
方 的差 定义 方差性质 切比雪夫不等式
常用的离散型随机变量 ①单点分布 a.随机变量Ⅹ以概率1取常数C.记为 X~I(x-C). b.分布律:P(X=C)=1 显然EX=C,DX=0 c.定义:如果随机变量X具有以上的分布律 则称X服从单点分布
常用的离散型随机变量 a 随 机 变 量 X 以 概 率 1 取 常 数 C 记 为 c 单点分布 a . 随 机 变 量 X 以 概 率 1 取 常 数 C . 记 为 X ~ I ( x − C ) . b.分布律： P ( X = C ) = 1 显然 EX = C ， DX = 0 c.定义：如果随机变量 X 具有以上的分布律， 则 称 X 服 从 单 点 分 布
②0-1分布(两点分布) a!随机变量x的取值范聞:0,1 (即样本空间2只含有两个基本事件 b分布律:P(X=m)=p"qn,m=0,p+q= 或者, Ⅹ P(X=m)1-pp C定义:如果随机变量X具有以上的分布律, 则称X服从两点分布。 d.望EX=0×(1-p)+1×p=p, 方差DX=EX2-(EX)2=p-p2=四
②0-1 分布（两点分布） (即样本空间 Ω 只含有两个基本事件 ) a.随机变量 X 的取值范围：0，1. (即样本空间 Ω 只含有两个基本事件.) 或者 b.分布律： PX m pq m p q m m ( ) , ,; = = = += 1− 01 1 或者， X 0 1 P(X = m) 1− p p c.定义：如果随机变量 X 具有以上的分布律， 则称 X 服从两点分布。 d.期望 EX = 0 × (1 − p) + 1 × p = p ， 方差 DX = EX − EX = p − p = pq 2 2 2 ( )
9副子 客户是男士还是女 产品是否合格 抛硬而是国徽朝上还是分值朝上 国徽→ 5分 」利用它可构成下面的二项分布和超几何分布
e.例子 客户是男士还是女士 产品是否合格 抛硬币是国徽朝上还是分值朝上 国徽 5分 利用它可构成下面的二项分布和超几何分布
⊙二项分布(贝努里概型)B ax的可能取值为:012,…,n b分布律为:x=m=Bm)2C,p+g=1 m=12、…、n 其中,∑Pm)=(p+y=1 c如果随机变量X具有以上的分布律,则称X服从 二项分布,记X~B(mn,p)。 d期望EX=即, 方差DX=q
e二项分布（贝努里概型） Bnp (, ) a. X 的可能取值为： 0,, , , 1 2 L n b.分布律为： PX m Pm C pq p q n nm m nm ( ) () , , = = = += − 1 m n = 1 2,, , L 其中 P m p q n n ∑ ( ) = ( + ) = 1 c.如果随机变量 X 具有以上的分布律，则称 X 服从 其中， P m p q n m ( ) ( ) = ∑ = + = 0 1 如果随机变量 具有以 的分布律，则称 服从 二项分布，记 X Bnp ~ (, ) 。 d.期望 EX = np ， 方差 DX = npq
证明:E(Xx)=mp。 证E(x)=2mCmp"(-pym ∑m n p"(-p) n-m n n' p (m-1)|(-1-(m- (1-p)"m p·∑cm1p-(1-p)"m m-1=0 nplp+(1-p) -1 np 类似地可得:Ex2=m-1y2+m, 于是方差DX=EX2-(EX)2 npq
证明： E( ) X = np 。 [证] E( ) X = m n m n m m n m C p p − = ∑ ⋅ (1− ) 0 m n m n m p p m n m n m − = ⋅ − ⋅ − = ∑ ⋅ (1 ) !( )! ! m=0 m!(n m)! 0 1 ( 1) ( 1) (1 ) ( 1)![( 1) ( 1)]! ( 1)! − − − − − − − − − − = ⋅ ⋅∑ m n m n p p m n m n n p 1 ( 1)![( 1) ( 1)]! m= m− n− − m− ∑ − − − − − − = ⋅ − − 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 (1 ) n m m n m np Cn p p = +− − np p p n [ ( )] 1 1 = np ∑ m−1=0 类似地可得： EX = n n − p + np 2 2 ( 1) ， 于是方差 DX EX EX 2 2 于是方差 DX = EX − (EX ) = npq 2 2 ( )
例1.规定某种型号的电子元件使用寿命超过 1500小时为一级品。已知某一大批产品的一 级品率为02,现在从中随机地抽查20只, 问20只元件中,恰有k(k=0,…20)只为 级品的概率是多少? 解:由于产品的数量很大,可作为放回抽样处理。 随机变量X表示20中的级品个数, 则 X~B(20,p,p=02 P(X=k=Cp q 20-k k=0.1.2…20 Ⅹ0 56 P|020080137020502180150109022020000 列当k21时,P(x=)<000
例 1.规定某种型号的电子元件使用寿命超过 1500 小时为一级品。已知某一大批产品的一 级品率为 0.2，现在从中随机地抽查 20 只， 问 20 只元件中，恰有 k ( k = 0,, , 1 L 2 0 ) 只为一 级品的概率是多少？ 解：由于产品的数量很大，可作为放回抽样处理。 随机变量 X 表示 20 只中的一级品个数， 则X ～B(20 0 2 , p), . p = X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则 ( p) p P X k C pq k kk k ( ) , ,, , , == = − 20 20 0 1 2 20 L X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109 0.055 0.022 0.007 0.002 当k ≥ 11时，PX k ( ). = < 0 001
例2从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各 个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概 率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. 5(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 "解由题意xB6/3,于是X的分布律为 6-k 2 PX=k=C k=0,1,,6 (2)P(X≥5}=P{X=5}+P(X=6} + (3八(3八3/-729
例2.从某大学到火车站途中有 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各 个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概 率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:( ) 1 由题意,X∼B(6, /3), 1 于是,X的分布律为: 0,1,...,6 1 2 { } 6 6 ⎟ = ⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ = = − P X k C k k k k 0,1,...,6 3 3 { } 6 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ P X k C k (2) P{X ≥ 5} = P{X = 5}+ P{X = 6} 1 2 1 13 5 6 5 6 ⎟ = ⎞ ⎜⎛ ⎟ +⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ = C 3 3 3 729 6 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟ +⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ C
p(X AB(20.0.25) Bg20075) B2005) 0.15 0.05 5 10 15 20
p( ) x B(20,0.25) B(20,0.5) B(20,0.75) 0 x
例3已知随机变量xBmp),问:当m为何值时, P(X=m)最大? 解:分析:找一个m,使Px=m-1)≤Px=m,且 1P(X=m+)≤Px=m) P(X=m) n-m+1p_1,(n+1)p-m I m-1 n-m+ =1+ P(X=m-D)Cp m 当n+D)p-m>0,即m(n+1)p时,(X=m+)>R(X=m 1)当(n+)是整数时,取mn=(m+1)p, P(X=mo) 这时,P(X=m-1) 则P(X=m-1)=P(X=m)都是最大值
例 3.已知随机变量 X ~ (, ) B n p ，问：当m为何值时， P( ) X = m 最大？ 解：分析：找一个 m，使 PX m PX m ( )( ) = −1 ≤ = ，且 PX m PX m ( )( ) =+≤ = 1 。 PX m C pq n m p n p m nm m nm ( ) () = −+ + + − − 1 1 1 当(n+ − 1)p m>0，即m + ( )1 时， PX m PX m ( )( ) =−> = 1 1) 当 (n + 1) p 是整数时 取 m = (n + 1) p 这时， PX m P X m ( ) ( ) = = = 0 1 1 ， 1) 当 (n + 1) p 是整数时 ， 取 m n p 0 = ( + 1) ， 这时， P( X = m − ) 0 1 ， 则 PX m PX m ( )( ) = 0 0 −1 = = 都是最大值