多维随机变量 独立性 边际分布 条件分布 F(X,Y= F(xF(y
多维随机变量 边际分布 条件分布 独立性 F(x,y)= F(x)F(y)
三、二维随机变量的 数字特征
三、二维随机变量的 数字特征
1、二维随机变量的数学期望和条件数学期望 二维随机变量(, 离散时,用联合分布列P(5=x;,7=y)=P7表示; 连续时,用联合密度函数p(x,y)表示。 设随机变量函数5=∫(5,m),其数学期望定义为: 1离散:E=∑∑f(x,) 2连续:Ez=。(x,mx,y)d 要求满足级数求和或积分绝对收敛的条件
1、 二维随机变量的数学期望和条件数学期望 二维随机变量(ξ ,η) 离散时，用联合分布列 i j pij P(ξ = x ,η = y ) = 表示； 连续时，用联合密度函数 p( x, y)表示。 设随机变量函数ζ = f (ξ ,η) ，其数学期望定义为： 1.离散： = ∑∑ i j i j pij Eζ f (x , y ) 2.连续： ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ Eζ = f (x, y) p(x, y)dxdy 要求满足级数求和或积分绝对收敛的条件
1)离散型随机变量的数学期望 E5=∑∑x1P0=∑x∑n=∑x ● E7=∑∑P=∑∑P=∑n 2)连续型随机变量的数学期望 E xxy)d=xd小p(xy)d 0-00 ∫ xp(x)dx En= ∫。-y(x,)d=。yym(x,ydk +0 ypn(y)dy
= ∑ ∑ i j Eξ xi pij = ∑ ∑ j ij i xi p = ∑ ∑ i j j pij Eη y = ∑ ∑ i ij j y j p = ∑ i• i i x p j j j y p =∑ • dxd 1）离散型随机变量的数学期望 E xp(x, y) y ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ξ = xdx p(x, y)dy ∫ ∫+∞−∞ +∞−∞ = xpξ (x)dx ∫ +∞−∞ = 2）连续型随机变量的数学期望 E yp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ η = ydy p(x, y)dx ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = yp ( y )dy ∫ η +∞− ∞ =
数学期望的性质 性质1.E(a5+bm)=uE5+bEη,这里a,b是常数 证明:1)离散 E(5+bm)=∑∑ax1+b,)n a∑xp1+b∑y xi pit b Pi=aES +bEn 2)连续 E(n5+bn)=「(ax ux+ byplx, y)dxdy +oO +0 =a「p(x,y)cb”」p(x,y)th aES+ bEn 推论1.E(∑5)=∑aE5
性质 1. E(aξ + bη) = aEξ + bEη ，这里 a，b 是常数. 证明：1）离散 + = ∑∑ + i j i j ij E(aξ bη) (ax by ) p = ∑∑ + i j i ij a x p ∑∑ i j j ij b y p = aEξ + bEη 2） 连续 E(a b ) (ax by) p(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ξ + η = + a xp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = b yp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ + = aEξ + bEη 推论 1. ∑ ∑ = = = n i i i n i E ai i a E 1 1 ( ξ ) ξ 数学期望的性质
性质2设5,们相互独立,则Em=EEn 证明:1)离散 E=∑∑xm=∑∑x1P,y,P ②xD,C∑yP,)=EEn 2)连续 E7= xyp(x, y)dxdy xyp(x)p(ydxcdy ∫。2(x)」mny)d=EEn
性质 2.设ξ，η 相互独立，则 Eξη = EξEη . 证明：1）离散 = ∑∑ i j i j pij Eξη x y j j i j xi pi• y p• = ∑∑ ⋅ (∑ )(∑ ) = • • i j i i j j x p y p = Eξ ⋅ Eη 2） 连续 E xyp(x, y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ξη = xyp (x) p ( y)dxdy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = ξ η xp (x)dx yp ( y)dy ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = ξ η = Eξ ⋅ Eη
例1.在单位长的线段上任取两个点M和N,求 线段MN长度的数学期望 解:设M和N的坐标分别为和7 则5,7都服从U0,1,且相互独立,故联合密度为 0≤x≤1,0≤y≤1 Pn(x, y= 0 其他 E占-m=「Jx-y1d =,(x-y)dk+∫(y-x) 1x d 2 3
例 1. 在单位长的线段上任取两个点 M 和 N ，求 线段 MN 长度的数学期望. 解：设M 和 N 的坐标分别为 ξ 和η ， ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − + − − = − ⋅ ⋅ 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 [ ( ) ] [ ( ) ] 1 x x x y dy dx y x dy dx Eξ η x y dxdy 则 ξ,η 都服从U[0, 1]，且相互独立，故联合密度为 ⎩⎨⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = 其他 0 1, 0 1 , 01 ( , ) x y p x y ξη ∫ = = 10 2 31 2 2 dx x
例2.一辆民航大巴载有20位旅客自机场开出,旅途有10 个车站可以下车,如果到车站时没有旅客下车,大巴就不 停车,设各位旅客下车是独立的,且在每站下车都是等可 能的,求大巴停车次数的期望 第i站有旅客下车 解:设 0第站没有旅客下车 则P=0)=P{20位旅客在第i站都不下车}, 每一位旅客在第站下车概率为1, 不下车概率为1-1=9。 由独立性P(5=0)=()20,P(1=1)=1-9 E=0xP(5=0)+1×P(51=1)=1/9)2 10 大巴停车次数5=51+…+50, 故E=E51+…+E50=101 20
例 2. 一辆民航大巴载有 20 位旅客自机场开出，旅途有 10 个车站可以下车，如果到车站时没有旅客下车，大巴就不 停车，设各位旅客下车是独立的，且在每站下车都是等可 能的，求大巴停车次数 ξ 的期望. 解： 设 第 站没有旅客下 车 第 站有旅客下 车 , 0 1 i i i ⎩ ⎨ ⎧ ξ = ， 则 P (ξ i = 0 ) = P {20 位旅客在第 i 站都不下车 } ， 每一位旅客在第 i站下车概率为10 1 ， 不下车概率为 10 9 10 1 1 − = 。 由独立性 20 ) 10 9 ( = 0 ) = ( P ξ i ， 20 ) 10 9 ( = 1 ) = 1 − ( P ξ i . 20 10 9 0 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Eξ i = × P ξ i = + × P ξ i = = − . 大巴停车次数 ξ = ξ 1 + " + ξ 10 ， 故 Eξ = Eξ 1 + " + Eξ 10 ) ] 20 9 10 [ 1 ( 20 = −
例3.设5,相互独立,都服从N(,1),求 51=V2+n,2=-m的数学期望 解:(5,m)的联合密度为:P2n(x,y)= E1=EV2+n2=x+ynx,y。 作极坐标变换 + E51 de e 2丌 20 re 2 e2dhr=√2丌 0 0 利用密度规范性:E51 e 2 dr= 2 2丌 2 对于22可类似有: E52=E-m=∫x=yp (X
例3. 设ξ,η 相互独立，都服从 N(0，1），求 2 2 ζ 1 = ξ +η ，ζ 2 = ξ −η 的数学期望. 解：(ξ,η)的联合密度为： 2 2 2 2 1 ( , ) x y p x y e + − = π ξη E E x y p x, y)dxdy 2 2 2 2 ζ 1 ξ η ∫ ∫ ξη（ +∞ −∞ +∞ −∞ = + = + 。 作极坐标变换 ∫ ∫ +∞ − +∞ − +∞ − = − + = 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1 re | e dr 2 e dr r r r π π ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ − = ⋅ = − 0 2 0 2 2 20 1 2 2 2 1 2 1 r r E d r e dr rde π ζ θ π 利用密度规范性： 2 2 1 2 2 1 2 π π π ζ = = +∞ − ∫−∞ E e dr r 对于ζ 2 可类似有： E E x y p (x, y)dxdy ζ 2 ξ η ∫ ∫ ξη +∞ −∞ +∞ −∞ = − = −
利用对称性 E52=2"∫(x-y)1e2 dy]da 2丌 e (x-y)e 2 dyldx 00 才x22小2可∫2 ye 2 dy jdx 计算: e ∫2小= e dyd(e 2) + e 小+∫ e dx 丌 2y2小=2“e2 e se d x d x 得到k52s2
利用对称性 E x y e dy dx x y x ] 2 1 2 [ ( ) 2 2 2 2 + + ∞ − ∫ ∫ − ∞ ∞ − = − π ζ e x y e dy dx y x x [ ( ) ] 1 2 2 2 2 + ∞ − − ∞ ∞ − − ∫ ∫ = − π ∫ ∫ ∫ ∫ + ∞ − ∞ ∞ − + ∞ − − − ∞ ∞ − − − = − x x y x x y xe e dy dx e [ ye dy ]dx 1 [ ] 1 2 2 2 2 2 2 2 2 π π 计算： [ ] ( ) 1 [ ] 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y x x y xe e dy dx e dy d e + ∞ − − ∞ ∞ − − − ∞ + ∞ − − ∞ − = − ∫ ∫ ∫ ∫ π π = { [ ]| } 1 2 2 2 2 2 2 2 2 e e dy e e dx x x x x y + ∞ − − ∞ − + ∞ − ∞ − ∞ + ∞ − − ∞ − − + ⋅ ∫ ∫ ∫ π ∫ + ∞ − ∞ − = e dx x 1 2 π π 1 = e ye dy dx e d e dx y x x y x x [ ( )] 1 [ ] 1 2 2 2 2 2 2 2 2 − − ∞ + ∞ − ∞ − − − ∞ + ∞ − ∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ = − π π π π π 1 1 2 1 2 2 2 2 = = = ∫ ∫ + ∞ − ∞ − + ∞ − − ∞ − e e dx e dx x x x . 得到 π ζ 2 E 2 =