四、连续型随机变量 乡连续型随机变量的概率密度 1)定义:如果对于随机变量X的分布函数F(x)存在 非负函数g(x),使对于任意实数x,x∈R, 有F(x)=」9(h,则称x为连续型随机变 量,其中,(x)称为X的概率密度函数。 2)性质:(1)(x)20; (2)0(x)t=1;
四 连续型随机变量 连续型随机变量的概率密度 四、连续型随机变量 连续型随机变量的概率密度 1)定义:如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)存在 非负函数 ϕ( ) x ，使对于任意实数 x, x ∈R， x 有 F x t dt ∫ ( ) () = −∞ ∫ ϕ ，则称 X 为连续型随机变 量，其中，ϕ( x) 称为 X 的概率密度函数。 2)性质： (1)ϕ( x) ≥ 0 ; (2) ϕ(x)dx = ∞∫ (2) ϕ 1; ( ) −∞ ∫ ;
3已知概率密度求分布函数 P, sX0时,P(x<X≤x+△x)≈0(x)x=F(x)x 即X落在区间(x,x+△x]上的概率近似地等于以(x),△x
3)已知概率密度求分布函数 ∫ ≤ < = − = 2 { } ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 xx P x X x F x F x ϕ x dx ∫ . 1 x 4)已知分布函数求概率密度： 若ϕ( ) x 在点 x 处连续，则 Fx x ′() () = ϕ F(x + Δx) F(x) P(x < X ≤ x + Δx) 即ϕ( ) lim ( ) ( ) x F x x F x x x = + − Δ → Δ 0 Δ x P x X x x x Δ < ≤ + Δ = Δ → ( ) lim0 在 概率 似 等 当Δx → 0时，P(x < X ≤ x + Δx) ≈ϕ(x)Δx = F′(x)Δx 即 X 落在区间(x, x+Δx]上的概率近似地等于ϕ( ) x ⋅Δx
5)结论:(对连续型随机变量x,P{K=c}=0 (2)Pa≤X≤b)=Pa<xb)=Pa≤X<b) Pa<x<b)=F(b) -f(a) (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。 连续型随机变量与离散型随机变量的区别: 1由于连续型随机变量X是在一个区间内取值, 所以它的所有可能取值不能一一列举出来,因 而不能用分布律来描述它。 2)它在任一指定值的概率为0。即:P(X=c)=0
5)结论：(1)对连续型随机变量 对连续型随机变量 X ， P{X = c} = 0 ( ) 2 Pa X ( ≤ ≤b) = Pa X ( < ≤b) = P(a ≤ X <b) = P(a < X <b) = − Fb Fa () () (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。 连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1)由于连续型随机变量 X 是在一个区间内取值， 所以它的所有可能取值不能一一列举出来，因 而不能用分布律来描述它。 2)它在任一指定值的概率为 0。即： PX c ( ) = = 0
例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设 射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离, (1)试求随机变量X的分布函数F(x);(2)将靶 的半径10等分,若击中点落在以0为中心,内外径 分别为2及反10x2的圆环内,则记为(0 环,求一次射击得到(10-)环的概率(=01 @
例 1.一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设 射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离， （1）试求随机变量 X 的分布函数F(x)；（2）将靶 的半径 10 等分，若击中点落在以 0 为中心，内外径 1 分别为 2 10 × i 及 i + × 1 10 2 的圆环内，则记为( ) 10 − i 环，求 次射击得到 求一次射击得到(10 − i)环的概率(i = 0,, , 1 L 9)
解:(1)求F(x) 当x2时,X2
解：（ 1）求 F ( x ) 当 x 2 时， X x < 是必然事件， F ( x ) = P { X ≤ x } = 1 ⎧ < ⎪⎪ 0 0 , x 2 ∴ = ≤< ≥ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪ F x x () , x 4 0 2 1 2 2 ≥ ⎩ ⎪ ⎪ 1, x 2
2 2(i+1) 2 i (2)P(xX≤)=F 2(1+) -F 10 14+1)21422i+1 4--1004100100 - 环数12345678910 概 19171513119 531 10010010010010010010010010010
（2） ) 2 ) ( 2( 1) ) ( 2 2( 1) ( i F i F i X i P − + = + （ < ≤ 2） ) 10 ) ( 10 ) ( 10 10 P( < X ≤ = F F 14 1 14 2 1 + + 2 2 (i ii ) = ⋅ − ⋅ = 4 100 4 100 100 ( ) ( ,, , ) i = 01 9 L 环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 概率 1100 3100 5100 7100 9100 11 100 13 100 15 100 17 100 19 100
例2随机变量X的分布函数为 x<0 F(x)=1 <X<R R l, R 求X的概率密度。 0≤x<R 乡解 ()={R2 其它 注意:x=R时,左导数为p,右导数为0,所以 F()在x=R不可导,现规定o(R)=F(R)=0。 即:(x)在x=R间断密度函数f(x)不一定连 续。)
例2.随机变量 X 的分布函数为 ⎧ 0, x R R 1, ， 求 X 的概率密度 。 解 ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < = , 0 2 ( ) 2 x R R x ϕ x 解： ⎪⎩ ⎨ 0, 其它 ϕ ( ) R 注 意 R 时 左 导 数 为 2 注 意 ： x = R 时 ， 左 导 数 为 R ， 右 导 数 为 0 ， 所 以 ， F x( ) 在 x = R 不可导，现规定 ϕ() () R FR = ′ = 0 。 即： ϕ( ) x 在 x R = 间断.(密度函数 f x( ) 不一定连 续 。 )
例3使用(小时的电子管在以后的△1小时内,损坏的概 率为:A+0M)2>0,求电子管寿命(即电子 管损坏前已使用的时数)的分布函数。 解:设电子管的寿命为T,它的分布函数为F()=P7s 当t≤0时,F()=0 当t≥0时,F(t+△)=P{T≤t+△ P{T≤l}+P{tl}P{>t =F(t)+[2.△+o(△)-F() 即F(+△1)-F(1)=[.△+0(△)1-F() F(+△)-F(0x△+o(Nt)nFO △ lin F(t+△t)-F(1)_1x.△t+o(△ l-F() △t→>0 △t Mt→>0 △t F(t)=1-F(t) e t>0 F(O)= <0
例 3.使用 t 小时的电子管在以后的 Δ t 小时内，损坏的概 率为 λ ⋅ Δ t + o ( Δ t), λ > 0 ，求电子管寿命 （即电子 管损坏前已使用的时数）的分布函数。 解：设电子管的寿命为 T ，它的分布函数为 F ( t ) = P { T ≤ t } 。 当 t ≤ 0 时， F( )t = 0 当 t ≥ 0时， F ( t + Δ t ) = P { T ≤ t + Δ t ) = P { T ≤ t } + P { t t } P { T > t } = F ( t ) + [ λ ⋅Δ t + o ( Δ t)][ 1 − F ( t)] 即 F ( t + Δ t ) − F ( t ) = [ λ ⋅ Δ t + o ( Δ t)][ 1 − F ( t)] [ 1 ( )] ( ) ( ) ( ) F t t t o t t F t t F t − Δ ⋅Δ + Δ = Δ + Δ − λ Δ t Δ t lim ( ) () lim ( )[ ( )] Δ Δ Δ Δ Δ Δ t t Δ Ft t Ft t t ot t F t → → + − = ⋅ + − 0 0 1 λ F t Ft ′( ) [ ( )] = λ 1 − ⎨ ⎧ − > ∴ = − 1 , 0 ( ) e t F t λt ⎩ ⎨ ≤ ∴ = 0, 0 ( ) t F t
例4设随机变量X具有概率密度为 x>0 0(x) x01及F(x) 解:(1)￥()x ke -3x dx 二 e k=3 Be.x>0 即x x<0 0.1 0.1 e31k=07408
例 4.设随机变量 X 具有概率密度为 k x ⎧ > − 3 0 ϕ( ) , , x ke x x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 3 0 0 0 ， 试确定常数 k ，并求 P X( .) > 01 及 F x( ) 。 解 ： (1) Q ϕ ( x )dx = ∞ ∫ 1 ∴ = − ∞ ∫ ke dx 3 x 解 ： (1) Q ϕ ( x )dx 1 − ∞ ∫ 1 ， ∴ ∫ ke dx 0 1 ， k e x ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 1 ∞ 3 1 3 ⎝ 3 ⎠ 0 ， ∴ k = 3 ， 即 ϕ ( ) , x e x x = ⎧ > ⎨ − 3 0 3 即 ϕ ( ) , x x ≤ ⎨ ⎩0 0 (2) P X x dx e dx x ( > . ) = ( ) = − ∞ ∞ ∫ ∫ 01 3 3 (2) ( ) ϕ ( ) . . ∫ ∫ 0 1 0 1 ϕ =− = − ∞ e 3 x 0 1 0 7408 .
当x≤0时,F(x)=]0=0 当x>0时,F(x)0+[3e=e31(=1ex 0 F(x) e,x>0 0.x0 (x)= x0,则称X为指数分布,记为e(1)。 (常用在产品的寿命)
(3)当 x ≤ 0时， F x dx x ( ) = = −∞ ∫ 0 0 当 x > 0时， F x dx e dx x x ( ) = + −∞ − ∫ ∫ 0 3 0 3 0 =− = − − − e e x x 3 x 0 3 1 ⎧ 3 ∴ = − > ≤ ⎧⎨⎩ − F x e xx x ( ) , , 1 0 0 0 3 一般 随机变量 X 的分布密度为 ⎩ ，随机变量 X 的分布密度为 ϕ λ λ ( ) , x e x x = ⎧ > ⎨ − 0 ϕ( ) , x x = ≤ ⎨⎩0 0， λ > 0 ，则称 X 为指数分布，记为 e(λ ) 。 （常用在产品的寿命）
