四、概率的定义及其性质 在一次试验中,事件发生的可 北性究竟有多大? 厦复习
四、概率的定义及其性质 四、概率的定义及其性质 复习 在一次试验中，事件发生的可 能性究竟有多大？
1频率 足义:(41n1-发生的频数 n-总的试验次数 频率表示事件A发生的频繁程度 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ,出现正反面的机会均等 实验者 f,(A) De morgan 2048 1061 05181 Buffon 4040 2048 05069 K Pearson 12000 6019 0.5016 K Pearson 24000 12012 0.5005
1.频率 定义： 总的试验次数 发生的频数 −− −− = A n n f A A n ( ) 频率表示事件A发生的频繁程度。 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。 实验者 n nA fn(A) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005
基本性质 1)0≤fn(A)≤1; 2)fn(92)=1f2(∞)=0; 3)若A,42…4是两两不相容事件,则 fn(A1∪A2U…UA)=fn(41)+…+fn(A) 可用Exce进行抛掷均匀硬币的实验: RANDBETWEEN(-10001000产生随机数,按所得 数的正负,分别计算频率,观察频率的稳定性。 概率是频率的稳定值
基本性质： 1)0 1 ≤ f A n ( ) ≤ ; 2) f f n n ( ) Ω =1 0 , (∅) = ; 3) 若A A1 2 Ak , ,L, 是两两不相容事件，则 ( ) ( ) ( ) n 1 2 k n 1 n Ak f A U A ULU A = f A +L+ f 可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验： RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得 数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性。 概率是频率的稳定值
2概率的统计定义 在不变条件下重复做n次试验,记m为n次试 验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时,如果频率n稳定在某一数值P的附近 摆动,而且一般说来,随着试验次数的增多, 这种摆动的幅度愈来愈小,此时数值P称为 随机事件A发生的概率,记作P(A)=p
2.概率的统计定义 在不变条件下重复做n次试验，记m 为n次试 验中事件 A 发生的次数。当试验次数n很大 时，如果频率 n m 稳定在某一数值 p 的附近 摆动，而且一般说来，随着试验次数的增多， 这种摆动的幅度愈来愈小，此时数值 p 称为 随机事件 A发生的概率，记作 P(A) = p
3.概率的公理化定义: 随机试验的样本空间Ω对于随机事件A,赋 于一实数,记为P(A),称为事件A的概率, 如果集合函数P()满足下列条件: 1)对于任一事件A,有P(A)≥0。 2)P(2)=1 3)设A1,A2,…是两两互不相容的事件 即对于i≠,AA,=,1=1,2,…则有 P(A∪UA2U…)=P(A1)+P(A2)+
3．概率的公理化定义： 随机试验的样本空间 Ω 对于随机事件 A，赋 于一实数，记为 P A( )，称为事件 A的概率， 如果集合函数 P( )⋅ 满足下列条件： 1)对于任一事件 A，有P A( ) ≥ 0 。 2) P( ) Ω = 1 3) 设 A A 1 2 , , L是两两互不相 容 的 事 件 ， 即对于i j A A i j ≠ , , i j = ∅ , = 1 2, ,L则有 P A( ) A P ( A ) P ( A ) 1 2 U U L = 1 + 2 + L
概率的性质: 1)P()=0 证明:设A2=⑧,n=1,2,…,,则 P(UA)=P()+P()+,=P( n=1 P(∞)≥0 P(C)=0
证明:设 A n n = ∅, , = 12,L，，则 An n = ∅ = ∞ , 1 U P An P P P n ( ) ( ) ( ) ( ), = ∞ = ∅ + ∅ + = ∅ 1 U L Q P( ) ∅ ≥ 0 ∴ P(∅) = 0 概率的性质： 1) P( ) ∅ = 0
2)A1,A2…An是两两互不相容的事件,则有 (A1∪A20…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(A1) 证明:设A=,=n+1,n+2,…,则 ∪A,=(4)②U…U必U…=∪ n P(∪A1)=P(U P(A1)+P(A2)+…+P(An)+P() P(A1)+P(A2)+…+P(An) P(A1UA2∪.…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(A
2) A A 1 2 An , ,L 是两两互不相容的事件，则有 P A( ) A An n P A( ) P A( ) P A( ) 1 2 U ULU = + 1 2 +L+ 证明:设 A i n n i = ∅, , = + 1 2 + ,L，则 U U U U L U U L U ∞ = = = = ∅ ∅ = 1 1 1 ( ) , n n i n i An Ai Ai P An i P A n i n ( ) = ( ) = ∞ =1 1 U U = P A( )1 2 + P A( )+L L + P A( n ) + P(∅)+ = P A + P A + + P An ( ) ( ) ( ) 1 2 L ∴ P A( ) A An n P A( ) P A( ) P A( ) 1 2 U ULU = 1 + 2 +L+
3)设AcB,则P(B-A=P(B)-P(A且 P(B)≥P(A)。 证明:18=(B-A且B-A=(B(A 由性质2) P(B)=P(AKB-4)=P(A+P(B-A) P(B-A)=P(B)-P(A) P(B-A)≥0 P(B)-P(A)≥0 即P(B)≥P(A) B-A 推论:P(B-A)=P(B)-P(AB) B-AB 证明:∵B-A=B-AB AB cB P(B-A=P B-AB)=P(B-P(AB)
3)设A⊂ B，则P(B− A) = P(B)−P(A)且 P(B) ≥ P(A)。 证明:Q U B A = − ( ) B A ,且A(B− A) =∅ 由性质 2）： P B( ) = P(AU(B− A)) = P(A)+ P B( − A) ∴ P B( ) − A = P ( B ) − P ( A ) Q P ( ) B − A ≥ 0 ∴ P ( ) B − P ( A ) ≥ 0 即 P( ) B ≥ P(A) B A B-A 推论： P(B − A) = P(B) − P(AB) =B -AB 证明: QB−A= B−AB AB ⊂ B ∴P(B−A) = P(B−AB) = P(B)−P(AB) A
4)P(A)≤1 证明:AcΩ,P(g)=1 ∴P(A)≤P(!)=1 5)P(A)=1-P(A) 证明::儿UA=9,AA= P(!)=P(A+A)=P(A)+P(4)=1 P(A)=1-P(A)
5) P A( ) = −1 P A( ) A A 证明：Q UA A = = Ω, AA ∅ ∴ = P P ( ) Ω ( A + A) = P( A) + P( A) = 1 ∴ = P A( ) 1−P A( ) 4) P A( ) ≤1 证明： Q A ⊂ Ω, ∴ P A( ) ≤ P(Ω) = 1 P( ) Ω = 1
6)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 证明:P(A∪B) P(A∪(B-AB B-AB P(A)+P(B-AB) P(A)+P(B)-P(AB)
A B-BAB 6) P( ) AUB = P(A P )+ (B P )− (AB) 证明：P A( ) UB = P(AU(B− AB)) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A)+P(B− AB)