Q.在[0m]上绝对可积 Riemann-Lebesgue引理推出 1rx() lmn(S,(,x)-S)=m∫ sin n+=ltdt=0 2 sin 应用1:f(x)在x0点连续,取S0=∫(x0),这时若满足Dn条件,即 (x0+1)±f(x 则Sn(∫,x0)→>f(x0) 应用2:f(x)在x0有第一类间断点,取 S。=[f(x0+0)+f(x-0) 又设它满足Dini条件,即 (x0±0)-f(x0±0 dt <+oo 则Sn(f,x)→[f(x0+0)+f(x0-0) 定理( Lipschitz判别法)设∫(x)为2丌周期的绝对可积函数,在x=x0点满足a阶 Lipschitz 条件 (x0+1)-f(x)≤c“,|≤8,0<a≤1, 则Sn(f,x0)→>f(x0)(n→+∞) 证明:设a=1,则 q(t)f(xo+1)-f(x0)+f(x-1)-f(x0) 当0<1≤6时,/ ≤2c,在[0,6]上绝对可积 设a<1mp(t)2c 11a,也在[0]上绝对可积由Dim判别法,知 Sn(f,x0)→f(x0)(m→>+∞) 注:设∫(x)为2周期的绝对可积函数,在x0可导,或单侧可导,甚至在x。间断,但有如下154 2 2sin ( ) t j t 在[0,p ]上绝对可积. Riemann-Lebesgue 引理推出 ( ) ò ÷ = ø ö ç è æ - = + ®+¥ ®+¥ p j p 0 0 0 0 2 1 sin 2 2sin 1 ( ) lim ( , ) lim n tdt t t S f x S n n n . 应用 1： f (x) 在 0 x 点连续, 取 ( ) 0 0 S = f x , 这时若满足 Dini 条件, 即 < +¥ + ± ò dt t d f x t f x 0 0 0 ( ) ( ) , 则 ( , ) ( ) 0 0 S f x f x n ® . 应用 2： f (x) 在 0 x 有第一类间断点, 取 [ ( 0) ( 0)] 2 1 S0 = f x0 + + f x0 - , 又设它满足 Dini 条件, 即 < +¥ ± - ± ò dt t d f x t f x 0 0 0 ( ) ( 0) , 则 [ ( 0) ( 0)] 2 1 ( , ) Sn f x0 ® f x0 + + f x0 - . 定理（Lipschitz 判别法）设 f (x) 为2p 周期的绝对可积函数, 在 0 x = x 点满足a 阶 Lipschitz 条件： ( ) ( ) , , 0 1 0 + - 0 £ £ d < a £ a f x t f x c t t , 则 ( , ) ( ) ( ) Sn f x0 ® f x0 n ® +¥ . 证明：设a =1, 则 t f x t f x f x t f x t (t) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + - 0 + 0 - - 0 = j . 当0 < t £d 时, c t t 2 ( ) £ j , 在[0,d ]上绝对可积. 设a <1, 则 a j - £ 1 ( ) 2 t c t t , 也在[0,d ]上绝对可积. 由 Dini 判别法, 知 ( , ) ( ) ( ) Sn f x0 ® f x0 n ® +¥ . 注：设 f (x) 为2p 周期的绝对可积函数, 在 0 x 可导, 或单侧可导, 甚至在 0 x 间断, 但有如下