第11章曲线拟合与插值 在大量的应用领域中,人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。 对这个问题有两种方法。在插值法里,数据假定是正确的,要求以某种方法描述数据点之间 所发生的情况。这种方法在下一节讨论。这里讨论的方法是曲线拟合或回归。人们设法找出 某条光滑曲线,它最佳地拟合数据,但不必要经过任何数据点。图11.1说明了这两种方法 标有'o’的是数据点;连接数据点的实线描绘了线性内插,虚线是数据的最佳拟合 11.1曲线拟合 曲线拟合涉及回答两个基本问题:最佳拟合意味着什么?应该用什么样的曲线?可用许 多不同的方法定义最佳拟合,并存在无穷数目的曲线。所以,从这里开始,我们走向何方? 正如它证实的那样,当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和,且所用的曲线限定为 多项式时,那么曲线拟合是相当简捷的。数学上,称为多项式的最小二乘曲线拟合。如果这 种描述使你混淆,再研宄图11.1。虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。对 各数据点距离求平方,并把平方距离全加起来,就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和 尽可能小的曲线,即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法 Second Order Curve Fitting 10 86420 0.2 04 0.6 0.8 图1112阶曲线拟合 在 MATLAB中,函数 polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。为了阐述这个函数的用法 让我们以上面图11.1中的数据开始第 11 章 曲线拟合与插值 在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。 对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间 所发生的情况。这种方法在下一节讨论。这里讨论的方法是曲线拟合或回归。人们设法找出 某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图 11.1 说明了这两种方法。 标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。 11.1 曲线拟合 曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许 多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。所以，从这里开始，我们走向何方？ 正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为 多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。如果这 种描述使你混淆，再研究图 11.1。虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。对 各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和 尽可能小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 0 2 4 6 8 10 12 x y=f(x) Second Order Curve Fitting 图 11.1 2 阶曲线拟合 在 MATLAB 中，函数 polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。为了阐述这个函数的用法， 让我们以上面图 11.1 中的数据开始