阶样本矩x=(1+2+1) 由E(X)=,得3-20=4,推出6=5,所以的矩估计值6=5 例6设总体X服从0]上的均匀分布,未知X1,…,Xn为x的样本,x1,…,xn为样 本值,试求O的最大似然估计 解似然函数L(0)={a 其它 因L(θ)不可导,可按最大似然法的基本思想确定θ.欲使L(θ)最大,θ应尽量小但又不 能太小,它必须同时满足θ≥x1(=1,…n),即θ≥max(x1…xn),否则L(O)=0,而0不可能 是L()的最大值.因此,当=max{x…,xn}时,L(O)可达最大 所以θ的最大似然估计值与最大似然估计量分别为 =max{x12…,xn},O=max{X12…,Xn} 例7(E05)设总体X服从指数分布,其概率密度函数 e f(x,)=0, x≤0 其中λ>0,是未知参数x1,x2,…,xn是来自总体X的样本观察值,求参数A的最大似然估 计值 解似然函数L(x1x2…,x;)={ze-,x>0 其它 显然L(x1,x2…xn;1)的最大值点一定是L1(x1,x2…,xn;)=e的最大值点,对其 取对数hL1(x,x2,…xn;)=mh2-2∑x mL(x2:x1少分0,可得参数的最大似然估计值=n= x 例8设x1,x2,…,xn是正态总体N(4,a2)的样本观察值,其中a2是未知参数,试求 和σ2的最大似然估计值 解记似然函数L(x1,x2,…xn;,02)=L(A,a2)一阶样本矩 . 3 4 (1 2 1) 3 1 x = + + = 由 E(X) = x, 得 , 3 4 3 − 2 = 推出 , 6 5 ˆ  = 所以  的矩估计值 . 6 5 ˆ  = 例 6 设总体 X 服从 [0,] 上的均匀分布,  未知. X X n , , 1  为 X 的样本, n x , , x 1  为样 本值, 试求  的最大似然估计. 解 似然函数        = . 0, , 0 , , 1 ( ) 1 其它    n n x x L  因 L( ) 不可导, 可按最大似然法的基本思想确定 . ˆ  欲使 L( ) 最大,  应尽量小但又不 能太小, 它必须同时满足 x (i 1, ,n),   i =  即 max( , ), 1 n   x x 否则 L( ) = 0, 而 0 不可能 是 L( ) 的最大值. 因此,当 max{ , , } 1 n  = x  x 时, L( ) 可达最大. 所以  的最大似然估计值与最大似然估计量分别为 max{ , , }, ˆ 1 n  = x  x max{ , , }. ˆ  = X1  Xn 例 7 (E05) 设总体 X 服从指数分布, 其概率密度函数      = − 0, 0 , 0 ( , ) x e x f x x   其中   0 , 是未知参数. n x , x , , x 1 2  是来自总体 X 的样本观察值, 求参数  的最大似然估 计值. 解 似然函数      =  = − 0, 其它 ( , , , ; ) , 0 1 1 2 i x n n L x x x e x n i  i    显然 ( , , ; ) L x1 x2 xn  的最大值点一定是 = − = n i i x n n L x x x e 1 ( , , , ; ) 1 1 2     的最大值点, 对其 取对数 = = − n i n i L x x x n x 1 1 1 2 ln ( , ,, ;) ln   由 = = − = n i i n x n d d L x x x 1 1 1 2 0 ln ( , , , ; )     , 可得参数  的最大似然估计值 . 1 ˆ 1 x x n n i i = = =  例 8 设 n x , x , , x 1 2  是正态总体 ( , ) 2 N   的样本观察值, 其中 2 , 是未知参数, 试求  和 2  的最大似然估计值. 解 记似然函数 ( , , ; , ) ( , ), 2 2 L x1 x2 xn   = L  