其样本矩为F=a+1,而a=2X=,即为a的矩估计 a+2 例2设总体X在[ab上服从均匀分布,a,b未知x1x2…,Xn是来自X的样本 试求a,b的矩估计量 E(X)=(a+b)/2,p2=E(X2)=D(X+[E(X)=(b-a)212+(a+b)2/4 即a+b=2A1,b-a=y12( 解得 √32-1),b=+V2-) 注意到∑x2-x2=1∑(x,-x),以A,4代替1,到ab的矩估计量分别为 4-x4一4)=x-1∑(x,-x n =A+3(42-42)= X 例3(E02)设总体X的均值及方差a2都存在,且有σ2>0,但山,a2均为未知,又 设X1,X2…,X是来自X的样本试求,a2的矩估计量 解1=E(X)=A,p2=E(X2)=D(X)+E(X)2 得到=A1,a2=p2 以A,A2代替,2,得和σ2的矩估计量分别为 X,G2=A2-A12 (X1-x)2 注:本例表明,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体公布而异.如 x~N(Ao2),Aa2未知,则2的矩估计量为=x,a2=∑(x1-x) 例4(E03)设总体X的概率分布为 P|e22(1-0)(1-0)2 其中θ为未知参数现抽得一个样本x1=1,x2=2,x3=L,求θ的矩估计值 求最大似然估计的一般方法 例5(E04)设X~b(1,p),X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,试求参数p的最大 似然估计 解先求总体一阶原点矩 E(X)=1×62+2×26(1-6)+3(1-6)2=3其样本矩为 , 2 1 + + =   X 而 , 1 2 1 ˆ X X − −  = 即为  的矩估计. 例 2 设总体 X 在 [a,b] 上服从均匀分布， a,b 未知. X X Xn , , , 1 2  是来自 X 的样本, 试求 a,b 的矩估计量. 解 ( ) ( )/ 2, 1 = E X = a + b 2 2 2  = E(X ) = D(X) +[E(X)] ( ) /12 ( ) / 4, 2 2 = b − a + a + b 即 2 , a + b = 1 12( ). 2 b − a = 2 − 1 解得 3( ), 2 a = 1 − 2 − 1 3( ). 2 b = 1 + 2 − 1 注意到   = = − = − n i i n i i X X n X X n 1 2 2 1 2 ( ) , 1 1 以 1 2 A , A 代替 , , 1  2 到 a,b 的矩估计量分别为 = = − − = − − n i Xi X n a A A A X 1 2 2 1 2 1 ( ) , 3 ˆ 3( ) ( ) . 3 3( ) ˆ 1 2 2 1 2 1 = = + − = + − n i Xi X n b A A A X 例 3 (E02) 设总体 X 的均值  及方差 2  都存在, 且有 0 2   , 但 2 , 均为未知, 又 设 X X Xn , , , 1 2  是来自 X 的样本. 试求 2 , 的矩估计量. 解 ( ) , 1 = E X =  ( ) ( ) [ ( )] , 2 2 2 2 2 = E X = D X + E X = +  得到 ,  = 1 . 2 2 1 2  =  −  以 1 2 A , A 代替 , , 1  2 得  和 2  的矩估计量分别为 ˆ ,  = A1 = X   = = = − = − = − n i i n i i X X n X X n A A 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) . 1 1 ˆ 注: 本例表明, 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体公布而异. 如, ~ ( , ), 2 X N   2 , 未知, 则 2 , 的矩估计量为  ˆ = X, ( ) . 1 ˆ 2 1 2 X X n n i =  i − =  例 4 (E03) 设总体 X 的概率分布为 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 2 3 Pi   − − X 其中  为未知参数.现抽得一个样本 1, 2, 1, x1 = x2 = x3 = 求  的矩估计值. 求最大似然估计的一般方法 例 5(E04) 设 X ~ b(1, p)， X X Xn , , , 1 2  是取自总体 X 的一个样本，试求参数 p 的最大 似然估计. 解 先求总体一阶原点矩 ( ) 1 2 2 (1 ) 3(1 ) 3 2 , 2 2 E X =  +   − + − = − 