x-+1+x 当<1时,1-cosx=2(sin3)2 当>1时, xx+1x(x+1) 例16计算a=(√2-1)°,取√2≈14,利用下列等式计算: (299-70√2:(3)(3-2√2)3:() (3+2√2) 问哪一个得到的结果最好? 解显然以上四个算式是恒等的,但当取√2≈14计算时,四个算式的误差是不同的。 记x=√2,x=14,|A=(一对 (1)设y=f1()= (+1)°’则按(1)式计算产生的误差为 e(H)=/f(x)-f(x)2=1(x) 同理 (2)设y2=f2(1)=99-701,则按2式计算产生的误差为 e(y)=|(x)-(x)=/(x)A (3设y3=f3(1)=(3-21)3,则按3)式计算产生的误差为 e(y)=(x)-f(x)≈|(x)△x (4)设y4=f4(1) (3+2)3’则按(式计算产生的误差为 e(y)=|(x)-f(x)=U/{x)| 估计以上四个式子中的f(x)(x)f(x)(x),即可得出4)式误差最小的结论。 具体计算结果如下:一般地， x x x x + + + − = 1 1 1 2 2 当 x <<1时， 2 ) 2 cos 2(sin x 1− x = ， 当 x >> 1时， ( 1) 1 1 1 1 + = + − x x x x 例 1.6 计算 6 a = ( 2 −1) ，取 2 ≈ 1.4，利用下列等式计算： ⑴ 6 ( 2 1) ! + ；⑵99 − 70 2 ；⑶ 3 (3 − 2 2) ；⑷ 3 (3 2 2) 1 + 问哪一个得到的结果最好？ 解 显然以上四个算式是恒等的，但当取 2 ≈ 1.4计算时，四个算式的误差是不同的。 记 2 4 * x = ， x = 1. ， ∆x = x − x * ⑴设 1 1 6 ( 1) 1 ( ) + = = t y f t ，则按⑴式计算产生的误差为 e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 1 1 * 1 1 同理， ⑵设 y2 = f 2 (t) = 99 − 70t ，则按⑵式计算产生的误差为 e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 2 2 * 2 2 ⑶设 ，则按⑶式计算产生的误差为 3 3 3 y = f (t) = (3 − 2t) e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 3 3 * 3 3 ⑷设 4 4 3 (3 2 ) 1 ( ) t y f t + = = ，则按⑷式计算产生的误差为 e( y ) = f (x ) − f (x) ≈ f ′(x) ∆x 4 4 * 4 4 估计以上四个式子中的 ( ), ( ), ( ), ( ) 1 2 3 4 f ′ x f ′ x f ′ x f ′ x ，即可得出⑷式误差最小的结论。 具体计算结果如下： 4