·1336 北京科技大学学报 第35卷 强化指数，M为应变率强化指数，K为材料常数. 真应变曲线的计算值与试验值比较来决定材料常数 由式(7)可得 的值，可先求解出参数K、k、B、C、E、A、1和 1/M 2,其中K、k、B、C和E为与温度有关的参数. Ep= (8) 由于所建立的本构模型由常微分方程组构成， 材料具有一个初始动态屈服极限k,在热变形 其真应力-真应变曲线的计算值需要通过求解常微 过程中，位错塞积将产生一个硬化应力R,从而流 分方程组得到，采用代数方法很难求解.在优化微 变应力可表示为σ-R-k,根据流变应力的物理意义， 分方程组的常数值时，采用传统的优化方法，总会 其值必须非负，式（⑧）演化为 碰到局部解的问题，即给定的初始值对优化结果的 o-R-k m 影响太大，往往很难找到一个全局最优解.遗传算 ip= (9) K 法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随 机搜索算法，它不依赖于梯度信息，而是通过模拟 式中，R为塑性变形中位错密度的积累引起的，其 值与/2成正比[同，可表示为R=B/2,两边求 自然进化过程来搜索最优解，可随机给定变量的初 始值，具有群体搜索特性，能够自适应地调整搜索 导，得 方向，对目标函数没有连续可导的要求，且具有全 R=0.5Bp-1/2市. (10) 局优化能力，特别适合于求解多值优化问题7-1 式(9)和式(10)中，n1为材料常数，B、K和k与 基于以上特点，本文通过遗传算法来求解本构方程 温度相关，可通过Arrhenius方程得出，其表达式为 中的材料常数.使用遗传算法可通过Matlab软件 专门设计的遗传算法与直接搜索工具箱来实现，采 B=Bo exp QB (11) 用该工具箱来求解本构模型中的材料常数，需要编 写待优化的*.m(Matlab/M-fle)文件，即建立目标 K=Ko exp QK (12) RgT 函数，本文以流动应力的计算值和试验值作为参数 建立目标函数18-1，其表达式为 k=ko exp （RT (13) 其中，Rg为气体摩尔常数，Q为激活能 {(} 18) 在高温变形条件下，位错密度的变化率与材料 的动态回复和静态回复有关6，其表达式为 式中：X为待求解的材料常数，X=x12,,x,s 是常数的个数，f(X)为流动应力残差，M为流动 =A·(1-)p-C2. (14) 应力试验曲线的个数，N;为第j条流动应力试验 由虎克定律有 或计算曲线上所取的数据点数，号为同一应变i和 应变率j下流变应力的试验值，为同一应变i和 =E(ET-EP). (15) 应变率了下流变应力的计算值，可通过统一黏塑性 式(14)和式(15)中，e红为总应变，A和n2为材料 本构方程中式(9)、(10)、(14)和(15)构成的常微分 常数，E和C与温度相关，可通过Arrhenius方程 方程组求解得到. 得出，其表达式为 本模型用遗传算法待求解的材料参数为 E=Eo exp QE X=[k,K,1,C,B,E,A,n2],其具体求解方法通过以 (16) 下步骤进行. Qc C=CoexpRgT (17) (1)根据温度为350℃，不同应变速率条件下 真应力一真应变曲线的计算值与试验值（每条曲线 式（⑨）式(17)联立组成的常微分方程组构成 取15个数据点)，通过遗传算法与直接搜索工具箱 了耦合位错密度的统一黏塑性本构模型. 设置目标函数，且取变量个数8，并估计求解域的上 3.2本构模型中材料常数的求解 下界，本文中下界为向量XL=[1,5,2,0,10,1000,5,0, 统一黏塑性本构方程模型是非线性且相互耦 上界为向量Xu=[5,100,10,1,100,20000,30,5,在 合，一共有13个材料常数Ko、o、Bo、C0、Eo、QK、 提交计算之前，设置求解精度为10-6，即染色体的 Qk、QB、Qc、QE、A、n1和2需要求解.通过不长度为20，种群尺度为20，交叉概率为0.8，变异 同温度不同应变率条件下6111铝合金的真应力- 概率为0.01，终止代数为500.通过500代运算得· 1336 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 强化指数，M 为应变率强化指数，K 为材料常数. 由式 (7) 可得 ε˙P= µ σ KεN P ¶1/M . (8) 材料具有一个初始动态屈服极限 k，在热变形 过程中，位错塞积将产生一个硬化应力 R，从而流 变应力可表示为 σ–R–k，根据流变应力的物理意义， 其值必须非负，式 (8) 演化为 ε˙P= µ σ − R − k K ¶n1 . (9) 式中，R 为塑性变形中位错密度的积累引起的，其 值与 ρ¯ 1/2 成正比 [15]，可表示为 R = Bρ¯ 1/2，两边求 导，得 R˙ =0.5Bρ¯ −1/2ρ¯˙ . (10) 式 (9) 和式 (10) 中，n1 为材料常数，B、K 和 k 与 温度相关，可通过 Arrhenius 方程得出，其表达式为 B=B0 exp µ QB RgT ¶ ， (11) K=K0 exp µ QK RgT ¶ ， (12) k=k0 exp µ Qk RgT ¶ . (13) 其中，Rg 为气体摩尔常数，Q 为激活能. 在高温变形条件下，位错密度的变化率与材料 的动态回复和静态回复有关 [16]，其表达式为 ρ¯=A · (1 − ρ¯) · |ε˙P| − Cρ¯ n2 . (14) 由虎克定律有 σ=E (εT − εP). (15) 式 (14) 和式 (15) 中，εT 为总应变，A 和 n2 为材料 常数，E 和 C 与温度相关，可通过 Arrhenius 方程 得出，其表达式为 E=E0 exp µ QE RgT ¶ ， (16) C=C0 exp µ − QC RgT ¶ . (17) 式 (9)∼ 式 (17) 联立组成的常微分方程组构成 了耦合位错密度的统一黏塑性本构模型. 3.2 本构模型中材料常数的求解 统一黏塑性本构方程模型是非线性且相互耦 合，一共有 13 个材料常数 K0、k0、B0、C0、E0、QK、 Qk、QB、QC、QE、A、n1 和 n2 需要求解. 通过不 同温度不同应变率条件下 6111 铝合金的真应力 − 真应变曲线的计算值与试验值比较来决定材料常数 的值，可先求解出参数 K、k、B、C、E、A、n1 和 n2，其中 K、k、B、C 和 E 为与温度有关的参数. 由于所建立的本构模型由常微分方程组构成， 其真应力 - 真应变曲线的计算值需要通过求解常微 分方程组得到，采用代数方法很难求解. 在优化微 分方程组的常数值时，采用传统的优化方法，总会 碰到局部解的问题，即给定的初始值对优化结果的 影响太大，往往很难找到一个全局最优解. 遗传算 法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随 机搜索算法，它不依赖于梯度信息，而是通过模拟 自然进化过程来搜索最优解，可随机给定变量的初 始值，具有群体搜索特性，能够自适应地调整搜索 方向，对目标函数没有连续可导的要求，且具有全 局优化能力，特别适合于求解多值优化问题 [17−18] . 基于以上特点，本文通过遗传算法来求解本构方程 中的材料常数. 使用遗传算法可通过 Matlab 软件 专门设计的遗传算法与直接搜索工具箱来实现，采 用该工具箱来求解本构模型中的材料常数，需要编 写待优化的 *.m(Matlab/M-file) 文件，即建立目标 函数，本文以流动应力的计算值和试验值作为参数 建立目标函数 [18−19]，其表达式为 f(X) = 1 M X M j=1    1 Nj X Nj i=1 à ln σ c ij σ e ij !2    . (18) 式中：X 为待求解的材料常数，X= [x1,x2,···, xs]，s 是常数的个数，f(X) 为流动应力残差，M 为流动 应力试验曲线的个数，Nj 为第 j 条流动应力试验 或计算曲线上所取的数据点数，σ e ij 为同一应变 i 和 应变率 j 下流变应力的试验值，σ c ij 为同一应变 i 和 应变率 j 下流变应力的计算值，可通过统一黏塑性 本构方程中式 (9)、(10)、(14) 和 (15) 构成的常微分 方程组求解得到. 本 模 型 用 遗 传 算 法 待 求 解 的 材 料 参 数 为 X= [k,K,n1,C,B,E,A,n2]，其具体求解方法通过以 下步骤进行. (1) 根据温度为 350 ℃，不同应变速率条件下 真应力 − 真应变曲线的计算值与试验值 (每条曲线 取 15 个数据点)，通过遗传算法与直接搜索工具箱 设置目标函数，且取变量个数 8，并估计求解域的上 下界，本文中下界为向量 XL= [1,5,2,0,10,1000,5,0]， 上界为向量 XU = [5,100,10,1,100, 20000, 30, 5]，在 提交计算之前，设置求解精度为 10−6 , 即染色体的 长度为 20，种群尺度为 20，交叉概率为 0.8，变异 概率为 0.01，终止代数为 500. 通过 500 代运算得