定理9设A是R”的子集.则以下几项等价 (i).A是R"的稠密子集 (i).对任意x∈R”和E>0,A∩U(x,E)≠ (i.对任意x∈R",存在A中的点列{xk}使得x→>x 定理9的证明留作习题 设A∈R".若存一个闭球S(0,r,使得AcS(0,r),则称A是有界的.设{xk}是 R"中的一个点列若存一个闭球S(0,r),使得xCS(0,r),k≥1,则称{x}是有界点列 定理10R”中的每个有界点列存在收敛子列 证明设{xk}是R”中的有界点列设x4={x),…,x);,k≥1.则{x1)}是有界数 列由数学分析中熟知的 Weierstrass 3致密性定理,存在{x}的一个子列{x}使得 x1"→x,同理,存在{k,}的一个子列{k2}使得x2)→x2,这样一直下去,最后 存在休k}的子列{kn}使得x”→xn,记k,=km则对每个j=1…,n,有 x)→x,(k→∞).令x=(x1…x)我们有 因此若x.→x,(k1→∞).■ 思考题1开区间(0,1)在R中是不是开集? 2若将R"两个点x=(x1,…xn)和y=(y12…yn)距离的定义改为 d(x,y)=max(, -* -) 按照本节类似的方法定义邻域,内点,聚点,开集和闭集等所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数在数学分析课程中,我们已经熟悉直线上的区间上或R”中的 区域上的连续函数.类似可以定义在R"的任意子集E上的连续函数 定义11设EcR",f(x)是定义在E上的实值函数.又设x∈E.若对任意E>0, 存在相应的6>0,使得当x∈E并且d(x,x)<6时,有(x)-f(x)<6,则称∫(x) 在x连续.若∫在E上的每一点都连续,则称∫在E上连续.E上的连续函数的全体记为 容易证明,∫在E上连续的充要条件是,对E中的任意点列{xn},若xn→>x并且28 定理 9 设 A 是 n R 的子集. 则以下几项等价: (i). A 是 n R 的稠密子集. (ii). 对任意 x ∈ n R 和ε > 0, A∩U(x,ε ) ≠ ∅. (iii).对任意 x ∈ , n R 存在 A 中的点列{ }k x 使得 x x. k → 定理 9 的证明留作习题. 设 A ⊂ . n R 若存一个闭球 S(0,r), 使得 A ⊂ S(0,r), 则称 A 是有界的. 设{ }k x 是 n R 中的一个点列. 若存一个闭球 S(0,r), 使得 x ⊂ S(0,r), k ≥ 1, k 则称{ }k x 是有界点列. 定理 10 n R 中的每个有界点列存在收敛子列. 证明 设{ }k x 是 n R 中的有界点列. 设 { , , }, 1. ( ) ( ) x = x1 x k ≥ k n k k " 则{ } ( ) 1 k x 是有界数 列. 由数学分析中熟知的 Weierstrass 致密性定理, 存在{ } ( ) 1 k x 的一个子列{ } ( ) 1 1i k x 使得 . 1 ( ) 1 1 x x i k → 同理, 存在{ } 1i k 的一个子列{ } 2 i k 使得 . 2 ( ) 2 2 x x i k → 这样一直下去, 最后, 存 在 { } n 1,i k − 的子列 { } ni k 使 得 . ( ) n k n x x n i → 记 . i ni k = k 则对每个 j = 1,",n, 有 j k j x x ( i ) → ( → ∞). i k 令 ( , ). 1 n x = x "x 我们有 ( , ) ( ( ) ) 0, 2 1 1 = ∑ ( ) − 2 → = n j j k k j d x x x x i i ( → ∞). i k 因此若 x x, i k → ( → ∞). i k ■ 思考题 1.开区间(0, 1) 在 2 R 中是不是开集? 2.若将 n R 两个点 ( , ) 1 n x = x "x 和 ( , ) 1 n y = y "y 距离的定义改为 ( , ) max( , , ). 1 1 n n d x y = x − y " x − y 按照本节类似的方法定义邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集等.所得结果与本节原来的定义有 和异同? 有界闭集上的连续函数 在数学分析课程中, 我们已经熟悉直线上的区间上或 n R 中的 区域上的连续函数. 类似可以定义在 n R 的任意子集 E 上的连续函数. 定义 11 设 E ⊂ n R , f (x) 是定义在 E 上的实值函数. 又设 x0 ∈ E . 若对任意ε > 0, 存在相应的δ > 0 , 使得当 x ∈ E 并且 d(x, x0 ) < δ 时, 有 ( ) ( ) , 0 f x − f x < ε 则称 f (x) 在 0 x 连续. 若 f 在 E 上的每一点都连续, 则称 f 在 E 上连续. E 上的连续函数的全体记为 C(E). 容易证明, f 在 E 上连续的充要条件是, 对 E 中的任意点列{ }, n x 若 x x n → 并且