.842 北京科技大学学报 第29卷 其中，=4.73，入=(i十0.5)元，(i=2,3,…)考 6pg=3 +2 12μax2 tai do (13) 虑空气阻尼时，谐振梁的谐振频率，：为： w:=N1-2号w (8) 其中，Pa为环境压强；p=p一Pa为空气压膜压强和 谐振频率相对偏移ε为： 环境的压强差；δ为运动极板位移，可表示为6= do·u(t),其中8o为振幅；u(t)为振幅变化函数 e=△aw/aw=(4-u:)/y=1-1-2号(9) 此时对方程(13)进行求解可有山： 对于振动系统，一般更为关心一阶模态对系统 的影响，在小阻尼比和考虑一阶模态时，谐振梁的 p=-4(-1- d台(2m-1)元os(2n-1)r。月： 品质因子可表示为： (14) Q=1/251 (10 式中，月n= 6p(2m-1)2x2 12%2 因此作用在单位长度 2 空气阻尼 极板上的压膜力Fa为： 在考虑空气阻尼系数c时，当梁与基底之间的 b/2 Fa(t)= 间隙较大时，可以把梁作为孤立物体考虑空气阻尼； Jo2p(t.y)dy (15) 而当梁与基底之间的间隙较小时，此时则应该用压 将式(14)代入式(15)并作拉氏变换，注意到变换后 膜效应来考虑空气阻尼，以下将分别对上述两种情 的级数收敛很快，因此可取第一项来近似： 况分别进行讨论 Fa(s) z(s)1+s/w. (16) 2.1孤立情况 梁在振动过程中，若不考虑基底对空气阻尼的 式中，9为拉氏变化入的新变量：，=为截 影响，可以把梁作为一个孤立物体来研究它在粘性 至频率，当振动频率为，。时，压膜阻尼力达到最大， 空气中振动受到的阻尼力，对于长宽比较大的梁， 在小雷诺数和等温条件下，梁振动时单位长度受到 c=为空气压膜效应产生的阻尼系数. 的阻尼力可近似表示为]： 3 谐振分析 qd=-aty=-att (11) 下面将考虑在一阶模态和保持梁形状不变情况 4π 式中，a=o.5-r-in(8/e)其中T为欧拉常数： 下，研究空气阻尼对谐振梁振动特性的影响，根据 R为流动雷诺数；μ为空气粘性系数，因此当把微 有关文献121]，在这里选取1/b=b/h=10:d0分 谐振梁作为孤立物体考虑空气阻尼时，阻尼系数 别为1,2,3,4和5m,其他常数取E=1.658× c=4,由于a是Re的函数，当把式(I1)带入方程 101Nm-2,p=2330kgm-3,μ=1.81×10-5 (3)后，振动方程是一个非线性方程，此时求解比较 Pas,p,=1.013×105Nm-2.根据所涉及到的振 困难，为了线性化振动方程并保持其有效性，根据 动频率，在这里α将分别取2,4,6,8和10. 涉及到的振动频率，α可分别取连续间隔的常数来 图2为不考虑空气阻尼时，谐振梁固有频率和 代替α的表达式 梁宽的关系，从图中可以看到，固有频率随着梁宽 2.2压膜阻尼 的增大而减小，这就意味着小尺度对应着高频率， 在微纳米尺度，当具有小间距的两极板做垂直 40 板面的相对运动时，微间隙气体在受到挤压后会产 生压膜效应，从而会给系统增加额外的阻尼和刚度， 30 对于等温过程，极板间空气压膜效应可用雷诺方程 20 来表征[910] {器+别- a a p =120(d (12) 10 其中，p为气体压膜压强，d为两极板间距，对于长 10152025 30 聚宽，b/μm 宽比较大和振幅较小的微谐振梁，在忽略两端夹持 和不均匀运动位移的情况下，其间隙气体的运动位 图2梁宽和固有频率的关系 移可用一维线性化雷诺方程来表示： Fig.2 Variation of the eigenfrequency with beam width其中‚λ1＝4∙73‚λi＝（ i＋0∙5）π‚（ i＝2‚3‚…）．考 虑空气阻尼时‚谐振梁的谐振频率 ωr i为： ωr i＝ 1－2ξ2 iωi （8） 谐振频率相对偏移ε为： ε＝Δω／ω＝（ωi－ωr i）／ωi＝1－ 1－2ξ2 i （9） 对于振动系统‚一般更为关心一阶模态对系统 的影响．在小阻尼比和考虑一阶模态时‚谐振梁的 品质因子可表示为： Q＝1／2ξ1 （10） 2 空气阻尼 在考虑空气阻尼系数 c 时‚当梁与基底之间的 间隙较大时‚可以把梁作为孤立物体考虑空气阻尼； 而当梁与基底之间的间隙较小时‚此时则应该用压 膜效应来考虑空气阻尼．以下将分别对上述两种情 况分别进行讨论． 2∙1 孤立情况 梁在振动过程中‚若不考虑基底对空气阻尼的 影响‚可以把梁作为一个孤立物体来研究它在粘性 空气中振动受到的阻尼力．对于长宽比较大的梁‚ 在小雷诺数和等温条件下‚梁振动时单位长度受到 的阻尼力可近似表示为［6－8］： qd＝－αμV ＝－αμ ∂z ∂t （11） 式中‚α＝ 4π 0∙5－Γ＋ln（8／Re） ‚其中 Γ为欧拉常数； Re 为流动雷诺数；μ为空气粘性系数．因此当把微 谐振梁作为孤立物体考虑空气阻尼时‚阻尼系数 c＝αμ．由于 α是 Re 的函数‚当把式（11）带入方程 （3）后‚振动方程是一个非线性方程‚此时求解比较 困难．为了线性化振动方程并保持其有效性‚根据 涉及到的振动频率‚α可分别取连续间隔的常数来 代替α的表达式． 2∙2 压膜阻尼 在微纳米尺度‚当具有小间距的两极板做垂直 板面的相对运动时‚微间隙气体在受到挤压后会产 生压膜效应‚从而会给系统增加额外的阻尼和刚度． 对于等温过程‚极板间空气压膜效应可用雷诺方程 来表征［9－10］： ∂ ∂x p ∂p ∂x ＋ ∂ ∂y 2 p ∂p ∂y ＝ 12μ d 3 ∂（ pd） ∂t （12） 其中‚p 为气体压膜压强‚d 为两极板间距．对于长 宽比较大和振幅较小的微谐振梁‚在忽略两端夹持 和不均匀运动位移的情况下‚其间隙气体的运动位 移可用一维线性化雷诺方程来表示： d 2 0pa 12μ ∂2 p ∂x 2＝ ∂p ∂t ＋ ∂ ∂t δ d0 （13） 其中‚pa 为环境压强；p＝ p－ pa 为空气压膜压强和 环境的压强差；δ为运动极板位移‚可表示为 δ＝ δ0·u（ t）‚其中 δ0 为振幅；u（ t）为振幅变化函数． 此时对方程（13）进行求解可有［11］： p＝－ δ d0 ∑ ∞ m＝1 4（－1） m－1 （2m－1）π cos（2m－1）π y b e －βm t （14） 式中‚βm＝ d 2 0pa（2m－1） 2π2 12μb 2 ．因此作用在单位长度 极板上的压膜力 Fd 为： Fd（ t）＝∫ b／2 －b／2 p（ t‚y）d y （15） 将式（14）代入式（15）并作拉氏变换‚注意到变换后 的级数收敛很快‚因此可取第一项来近似： Fd（ s） z （ s） ＝ cs 1＋s／ωc （16） 式中‚s 为拉氏变化引入的新变量；ωc＝ π2d 2 0pa 12μb 2 为截 至频率‚当振动频率为 ωc 时‚压膜阻尼力达到最大‚ c＝ 96μb 3 π4d 3 0 为空气压膜效应产生的阻尼系数． 图2 梁宽和固有频率的关系 Fig．2 Variation of the eigenfrequency with beam width 3 谐振分析 下面将考虑在一阶模态和保持梁形状不变情况 下‚研究空气阻尼对谐振梁振动特性的影响．根据 有关文献［12－13］‚在这里选取 l／b＝ b／h＝10；d0 分 别为1‚2‚3‚4和5μm．其他常数取 E＝1∙658× 1011N·m －2‚ρ＝2330kg·m －3‚μ＝1∙81×10－5 Pa·s‚pa＝1∙013×105 N·m －2．根据所涉及到的振 动频率‚在这里 α将分别取2‚4‚6‚8和10． 图2为不考虑空气阻尼时‚谐振梁固有频率和 梁宽的关系．从图中可以看到‚固有频率随着梁宽 的增大而减小．这就意味着小尺度对应着高频率‚ ·842· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷