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D0I:10.13374/i.issnl00113.2007.08.018 第29卷第8期 北京科技大学学报 Vol.29 No.8 2007年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2007 微梁谐振器中的空气阻尼 冯闯2)赵亚溥)刘冬青) 1)中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室，北京1000802)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要为了研究空气阻尼对谐振器工作性能的影响，基于Euler-Bernoul山i假设，粱弯曲振动理论和气体阻尼理论，建立了考 虑气体阻尼的梁振动方程，结合边界条件对方程进行了求解，得到了两种不同情况下气体阻尼对微梁谐振器的谐振频率和品 质因子的影响·通过两种阻尼对谐振器影响的比较分析，指出在梁形状保持不变（长宽比和高宽比不变）情况下，微梁谐振器 存在一个临界压膜厚度，此临界厚度可为器件的设计提供参考 关键词微谐振粱；空气阻尼：谐振频率；品质因子 分类号TB123;TB71+1 微谐振器因输出信号不易受干扰，测量精度高 如图1所示，梁的长、宽和高分别为l、b和h; 等特点，使其得到了较好的应用和发展[.它的 E为谐振梁弹性模量；do为初始压膜厚度；I为微 基本工作原理是通过改变和检测谐振器的谐振频 梁关于x轴截面惯性矩；P为谐振梁材料密度，对于 率，从而把被测量直接转换为稳定可靠的频率信号， MEMS结构谐振梁一般为硅材料；q(x,t)为单位 因此可以简化处理电路并降低检测难度，从工作原 长度梁所受外荷载；若不考虑激振，q(x,t)为单位 理可以看到，谐振频率的变化对谐振传感器的工作 长度梁受到的空气阻尼力q,它和速度V成正比， 性能有重要影响，对MEMS谐振器，作为表面效应 可表示为： 的空气阻尼会显著影响微谐振器的动态响应特性， 研究空气阻尼对微谐振器的影响，可以为器件的设 qd=-cV=-c1 (2) 计提供参考，提高传感器的工作性能，本文将考虑 式中，c为阻尼系数，把式(2)代入式(1)可得： 在微尺度下，分析了两端固支矩形截面谐振梁在自 由振动过程中空气阻尼对梁振动特性的影响， + w+0 (3) 对两端固支梁有边界条件： 1 振动方程与求解 z(0,)=2(k,t)=0,04-2z=0 d x dx 在微尺度下，两端固支矩形截面谐振梁如图1 所示· (4) 对于振动方程(3)可采用变量分离法来求解，挠度 z(x,t)可表示为时： 谐振 z(x,t)=Z(x)·T(t) (5) 空气压膜 其中Z(x)表示梁振动的曲线形状，T(t)表示位移 幅度随时间变化的规律.将式(5)代入式(3)，并结 图1两端固支微梁示意图 合边界条件可得到方程的解： Fig.I Sketch of the clamped-clamped micro-beam 基于Euler-Bernoulli假设和梁弯曲振动理论， :(,)=Ne. 1 梁振动方程为向： [Asin(N1-号at)十Bcos(N1-t)](6) a,=q(x,) (1) 其中，i为模态阶数，待定常数D、A:和B:由初始 条件确定，X:反映微梁振动的曲线形状，，、：为谐 振梁的固有频率和阻尼比，可分别表示为： 收稿日期：2006-02-20修回日期：2006-06-06 作者简介：冯闯(1981一)，男，硕士研究生：刘冬清(1956一)，女， 压层 (7) 副教授微梁谐振器中的空气阻尼 冯 闯12） 赵亚溥1） 刘冬青2） 1） 中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室北京100080 2） 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 为了研究空气阻尼对谐振器工作性能的影响基于 Euler－Bernoulli 假设、梁弯曲振动理论和气体阻尼理论建立了考 虑气体阻尼的梁振动方程结合边界条件对方程进行了求解得到了两种不同情况下气体阻尼对微梁谐振器的谐振频率和品 质因子的影响．通过两种阻尼对谐振器影响的比较分析指出在梁形状保持不变（长宽比和高宽比不变）情况下微梁谐振器 存在一个临界压膜厚度此临界厚度可为器件的设计提供参考． 关键词 微谐振梁；空气阻尼；谐振频率；品质因子 分类号 TB123；TB71＋1 收稿日期：2006-02-20 修回日期：2006-06-06 作者简介：冯 闯（1981－）男硕士研究生；刘冬清（1956－）女 副教授 微谐振器因输出信号不易受干扰测量精度高 等特点使其得到了较好的应用和发展［1－4］．它的 基本工作原理是通过改变和检测谐振器的谐振频 率从而把被测量直接转换为稳定可靠的频率信号 因此可以简化处理电路并降低检测难度．从工作原 理可以看到谐振频率的变化对谐振传感器的工作 性能有重要影响．对 MEMS 谐振器作为表面效应 的空气阻尼会显著影响微谐振器的动态响应特性． 研究空气阻尼对微谐振器的影响可以为器件的设 计提供参考提高传感器的工作性能．本文将考虑 在微尺度下分析了两端固支矩形截面谐振梁在自 由振动过程中空气阻尼对梁振动特性的影响． 1 振动方程与求解 在微尺度下两端固支矩形截面谐振梁如图1 所示． 图1 两端固支微梁示意图 Fig．1 Sketch of the clamped-clamped micro-beam 基于 Euler－Bernoulli 假设和梁弯曲振动理论 梁振动方程为［5］： EI ∂4 z ∂x 4＋ρhb ∂2 z ∂t 2＝q（ xt） （1） 如图1所示梁的长、宽和高分别为 l、b 和 h； E 为谐振梁弹性模量；d0 为初始压膜厚度；I 为微 梁关于 x 轴截面惯性矩；ρ为谐振梁材料密度对于 MEMS 结构谐振梁一般为硅材料；q（ xt）为单位 长度梁所受外荷载；若不考虑激振q（ xt）为单位 长度梁受到的空气阻尼力 qd它和速度 V 成正比 可表示为： qd＝－cV ＝－c ∂z ∂t （2） 式中c 为阻尼系数．把式（2）代入式（1）可得： EI ∂4 z ∂x 4＋ρhb ∂2 z ∂t 2＋c ∂z ∂t ＝0 （3） 对两端固支梁有边界条件： z （0t）＝z （ lt）＝0 ∂z （0t） ∂x ＝ ∂z （ lt） ∂x ＝0 （4） 对于振动方程（3）可采用变量分离法来求解挠度 z （ xt）可表示为［5］： z （ xt）＝Z（ x）·T（ t） （5） 其中 Z（ x）表示梁振动的曲线形状T （ t）表示位移 幅度随时间变化的规律．将式（5）代入式（3）并结 合边界条件可得到方程的解： z （ xt）＝ ∑ ∞ i＝1 DXie －ξiωi t· ［ Aisin（ 1－ξ2 iωit）＋Bicos（ 1－ξ2 iωit）］ （6） 其中i 为模态阶数待定常数 D、A i 和 Bi 由初始 条件确定Xi 反映微梁振动的曲线形状ωi、ξi 为谐 振梁的固有频率和阻尼比可分别表示为： ωi＝ λ2 ih l 2 E 12ρ ξi＝ cl 2 bh 2λ2 i 3 Eρ （7） 第29卷 第8期 2007年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．8 Aug．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．08．018