6.一个紧致序列中的基本序列 35 我们在皮尔士( Peirce)和施罗德( Schroder)的著作中看到的关系逻 辑,其困难和复杂的程度如此之大,以致人们很有可能怀疑其实用性。既然 他们忽略了在∈和之间的差别,这两位作者就把一个类看成个体的简单相 加之和。鉴于这一理由,在他们看来,关系就像是一对对个体的总和。从这 点可以得出:关系的基本特性通过相当长的求和公式来表述,而公式的意 义从记法来看并不十分明显。但是,正是这种关系逻辑必须作为数学的基础, 因为在符号推理的过程中所考虑的总是关系的类型;这就是说,我们不需要 考察某种特殊关系(除了那些对于逻辑是基本的关系(像∈和→)〕,而要 考察某一类型的关系——例如,传递的和不对称的关系,或者一一关系。在 目前这篇论文里,我指出:通过使用皮亚诺的记法(在下文中这种记法知识 得到采用〕很有可能大幅度地简化关系逻辑。但是,看起来似乎是这样:倘 若没有明确引入关系,皮亚诺的逻辑几乎不能是完全的。我们可以举基本概 念中的函项定义(1)为例子。在这个定义的右边出现的符号xu和ux并不由 于前文而成为自明的。两个字母的并列迄今除表示逻辑乘法外不具有任何意 义,而这里不涉及这种乘法。事实在于:只有通过知道一个。新的初始观念 即关系的观念,关于函项的定义才是可能的。例如,我们可以观察下列的结 果。从所引用的定义和第20节命题9·4、第22节命题2·4、第23节命题 1·02,2·0,我们推出 a,beNo·0·a+b=ab=a×b 这个结果表明:所采用的记法需要修改。我将给出一种更复杂的记法, 由此我们不能推出一个等价的结论。此外,我认为,关系的引入可以为许多 数学理论的简化和概括提供机会;这种引入也使得我们在可能定义之时给出 唯名定义。 在下文中,我采用了施罗德的一些符号,例如■,o’,1。我没有成 功地使自己遵守公式表示的规则,让所有符号都排成一行;就关系而言,我 必须区分RP和R∩P。在其他方面我已经采用了皮亚诺的逻辑中给出的全部 符号,同时也采用了由帕都亚( Padoa)提出的E|m(单元)的记法[《数学 评论》,第6卷,第117页];但是,我已经区分了eu(这里u是包含在 个关系R的域之内的一个类)和e∩u。鉴于以上理由,一个类u和由一个希 腊字母代表的一个类的逻辑积总是由enu或者Tnu等等来表示,而不是由 eu或者ue来表示。[参见第1节,命题1·33·34·35·36。〕 1.关系的一般理论 1·0初始观念:Rel=关系 如果R是一种关系,e可以称作关系R的前域,就是说,与单个项或者 几个项具有那种关系的一些项的类,我总是使用大写字母代表关系(除了在 公式汇编里所碰到的那些关系),而用相对应的小写希腊字母代表这些关系 的前域。在定义·21.22中,R这个字母被假定为变项。就是说,a将是一个 关系A的前域,β将是一个关系B的前域,以此类推。我将彐看作这样一个 初始观念,它允许我将这个符号放在一些命题的前面,倘若没有这个符号的 帮助,这些命题就不可归约为x∈α这个形式。6.一个紧致序列中的基本序列 ........................... 35 我们在皮尔士（Peirce）和施罗德（SchrÖder）的著作中看到的关系逻 辑，其困难和复杂的程度如此之大，以致人们很有可能怀疑其实用性。既然 他们忽略了在∈和É之间的差别，这两位作者就把一个类看成个体的简单相 加之和。鉴于这一理由，在他们看来，关系就像是一对对个体的总和。从这 一点可以得出：关系的基本特性通过相当长的求和公式来表述，而公式的意 义从记法来看并不十分明显。但是，正是这种关系逻辑必须作为数学的基础， 因为在符号推理的过程中所考虑的总是关系的类型；这就是说，我们不需要 考察某种特殊关系（除了那些对于逻辑是基本的关系（像∈和É）〕，而要 考察某一类型的关系——例如，传递的和不对称的关系，或者一一关系。在 目前这篇论文里，我指出：通过使用皮亚诺的记法（在下文中这种记法知识 得到采用）很有可能大幅度地简化关系逻辑。但是，看起来似乎是这样：倘 若没有明确引入关系，皮亚诺的逻辑几乎不能是完全的。我们可以举基本概 念中的函项定义（1）为例子。在这个定义的右边出现的符号 xu 和 ux 并不由 于前文而成为自明的。两个字母的并列迄今除表示逻辑乘法外不具有任何意 义，而这里不涉及这种乘法。事实在于：只有通过知道一个。新的初始观念 即关系的观念，关于函项的定义才是可能的。例如，我们可以观察下列的结 果。从所引用的定义和第 20 节命题 9·4、第 22 节命题 2·4、第 23 节命题 1·02，2·0，我们推出 a,beN0·O·a+b=ab=a×b 这个结果表明：所采用的记法需要修改。我将给出一种更复杂的记法， 由此我们不能推出一个等价的结论。此外，我认为，关系的引入可以为许多 数学理论的简化和概括提供机会；这种引入也使得我们在可能定义之时给出 唯名定义。 在下文中，我采用了施罗德的一些符号，例如■，o’，I’。我没有成 功地使自己遵守公式表示的规则，让所有符号都排成一行；就关系而言，我 必须区分 RP 和 R∩P。在其他方面我已经采用了皮亚诺的逻辑中给出的全部 符号，同时也采用了由帕都亚（Padoa）提出的 Elm（单元）的记法［《数学 评论》，第 6 卷，第 117 页]；但是，我已经区分了 eu（这里 u 是包含在一 个关系 R 的域之内的一个类）和 e∩u。鉴于以上理由，一个类 u 和由一个希 腊字母代表的一个类的逻辑积总是由 e∩u 或者π∩u 等等来表示，而不是由 eu 或者 ue 来表示。[参见第 1 节，命题 1· 33· 34·35·36。〕 1.关系的一般理论 *1·0 初始观念：Rel＝关系 如果 R 是一种关系，e 可以称作关系 R 的前域，就是说，与单个项或者 几个项具有那种关系的一些项的类，我总是使用大写字母代表关系（除了在 公式汇编里所碰到的那些关系），而用相对应的小写希腊字母代表这些关系 的前域。在定义·21.22 中，R 这个字母被假定为变项。就是说，a 将是一个 关系 A 的前域，β将是一个关系 B 的前域，以此类推。我将$看作这样一个 初始观念，它允许我将这个符号放在一些命题的前面，倘若没有这个符号的 帮助，这些命题就不可归约为 xÎa这个形式