以上这个初始命题尤其在算术中很重要。它肯定在两个个体之间存在一 种对任意其他一对个体并不成立的关系。既然x和y不受任何限制,这个关 系也就不需要一种假设。但是人们可以将这一关系限制在x和y是不同的情 形,因为,ⅹ和y是相同的情形可以通过关系的乘法从这一点推论出来。 我们有必要对R1R2(表示逻辑积)和RR2(表示关系积)作出区别。 我们有R1R2=R1,但一般没有RR2=R1;我们有R1R2=R2⌒R1,但一般没 有R1R2=R2R1。例如,祖父(或外祖父)是父亲和父亲的、或者母亲和父亲 的关系积,但不是父亲和母亲的关系积。 如果R是产生一个序列的一种关系(这个序列要求R是传递的并包含在 相异(不等同)关系之中),R2=R给出该序列为紧致序列的条件,就是说 这个序列在它的任何两个项之间含有一个项。(参见下面第5节) 我看不出皮尔士和施罗德的关系加法是必不可少的。这里是关系加法的 定义: 令R和S是关系:它们的关系之和是像下述这样的一种关系 这个初始命题说明∈是一种关系。这样一来我已经被迫放弃使用大写字 母表示关系的规定。 上述这个命题证明:如果u,v是两个非空的类,在所有的u的项和所有 的v的项之间就有一种能够成立的关系,但是这种关系在任何其他一对项之 间不成立。 这个关系∈u是只对于类u的关系∈。它是通过∈与只在u和u之间成立 的那种关系的关系积而形成的。 *4·1初始观念 等同关系 这个符号是在施罗德的符号记法里给出的。我不用=这个符号代表个体 之间的等同关系,因为它另外用来表达类之间、命题之间和关系之间的等价 性 2. 1 ERe I Nc+1是多对一关系的类。符号Nc+1表示:如果我们有xRy,当给出 x时,只有一个可能的y。但是,当给出y时,就有x的某个基数,它满足 xRy这个条件。同理,1+N是多对一关系的逆的类,而1+1是一一关系的 类 ①本文逻辑公式中出现的“Cls"意为“类”,“Em”意为“单元”,“prop意为“命题”,“ Induct"意为 “归纳”,“sim”意为“相似”,“fn意为“有穷”,“ infin意为“无穷”,“ transp意为“移项”,“seq 意为“后续”,“Dem”意为“证明”,“ Clsrel”意为“类的关系”,“Cls,Cls意为“类的类”,“Hp 意为“假设” 译者以上这个初始命题尤其在算术中很重要①。它肯定在两个个体之间存在一 种对任意其他一对个体并不成立的关系。既然ｘ和ｙ不受任何限制，这个关 系也就不需要一种假设。但是人们可以将这一关系限制在ｘ和ｙ是不同的情 形，因为，ｘ和ｙ是相同的情形可以通过关系的乘法从这一点推论出来。 我们有必要对 R1ÇR2（表示逻辑积）和 R1R2（表示关系积）作出区别。 我们有 R1ÇR2＝R1，但一般没有 R1R2＝R1；我们有 R1ÇR2＝R2ÇR1，但一般没 有 R1R2＝R2R1。例如，祖父（或外祖父）是父亲和父亲的、或者母亲和父亲 的关系积，但不是父亲和母亲的关系积。 如果 R 是产生一个序列的一种关系（这个序列要求 R 是传递的并包含在 相异（不等同）关系之中），R2＝R 给出该序列为紧致序列的条件，就是说， 这个序列在它的任何两个项之间含有一个项。（参见下面第 5 节） 我看不出皮尔士和施罗德的关系加法是必不可少的。这里是关系加法的 定义： 令 R 和 S 是关系：它们的关系之和是像下述这样的一种关系 这个初始命题说明Î是一种关系。这样一来我已经被迫放弃使用大写字 母表示关系的规定。 上述这个命题证明：如果 u，v 是两个非空的类，在所有的 u 的项和所有 的 v 的项之间就有一种能够成立的关系，但是这种关系在任何其他一对项之 间不成立。 这个关系Îu 是只对于类 u 的关系∈。它是通过∈与只在 u 和 u 之间成立 的那种关系的关系积而形成的。 * 4·1 初始观念：I’＝等同关系 这个符号是在施罗德的符号记法里给出的。我不用＝这个符号代表个体 之间的等同关系，因为它另外用来表达类之间、命题之间和关系之间的等价 性。 2，1’eRel Nc＋1 是多对一关系的类。符号 Nc＋1 表示：如果我们有 xRy，当给出 x 时，只有一个可能的 y。但是，当给出 y 时，就有 x 的某个基数，它满足 xRy 这个条件。同理，1 ＋Nc 是多对一关系的逆的类，而 1＋1 是一一关系的 类。 ① 本文逻辑公式中出现的“Cls”意为“类”，“Elm”意为“单元”，“prop”意为“命题”，“Induct”意为 “归纳”，“sim”意为“相似”，“fin”意为“有穷”，“infin”意为“无穷”，“transp”意为“移项”，“seq” 意为“后续”，“Dem”意为“证明”，“Cls·rel”意为“类的关系”，“Cls，Cls”意为“类的类”，“Hp” 意为“假设”。——译者