第四章中心极限定理习题 设{Xn}为独立随机变量序列, P{Xn=±2"} PIX=0 n 证明:{Xn}服从大数定律 2.在一家保险合同里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费。在一年中一个人死 亡的概率为0006,死亡时其家属可向公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率多大 (2)保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少? 3.试问对下列独立随机变量序列,李雅普洛夫定理是否成立?为什么? (1)PXA=√K=PX=√K}=,k=12, (2)P{Xk=-K}=P{Xk=K"}=P{X=0}=,a>0,k=1,2 4.根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布现随机地取16只,设它们 的寿命是相互独立的求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率 5.有一批建筑房屋用的木柱其中80%的长度不小于3米现从这批木柱中随机取出100根, 问其中至少有30根短于3米的概率是多少? 6.一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于3°的概率P=一,若 船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500~30500次纵摇角大于3°的概率是多少? 7.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是个随机变量,设一个学生无家长,1名 家长,2名家长来参加会议的概率分别为005,0.8,0.5。若学校共有400名学生,设 各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布。 求:(1)参加会议的家长数X超过450的概率。 (2)有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 8.某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布,现随机地抽取100只,设他们的寿 命相互独立,求这100只元件的平均寿命大于120h的概率 某学校有1000名住校生,每人以80%的概率去图书馆自习,问:图书馆应至少设多少 个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位? 第四章中心极限定理习题解答 1.证明:E(Xn)=2n,1 +0·(1第四章 中心极限定理习题 1．设{Xn }为独立随机变量序列， , 1,2," 2 1 { 0} 1 2 1 { 2 } 2 1 2 = ± = = = − = + P X P X n n n n n n 证明：{Xn }服从大数定律。 2．在一家保险合同里有 10000 个人参加保险，每人每年付 12 元保险费。在一年中一个人死 亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向公司领得 1000 元，问： （1）保险公司亏本的概率多大？ （2）保险公司一年的利润不少于 40000 元的概率是多少？ 3．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？ （1） , 1,2," 2 1 P{X k = − K = P{X k = K} = k = （2） , 0, 1,2," 3 1 P{X = −K } = P{X = K } = P{X k = 0} = a > k = a k a k 4. 根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布,现随机地取 16 只,设它们 的寿命是相互独立的.求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率. 5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中 80%的长度不小于 3 米,现从这批木柱中随机取出 100 根, 问其中至少有 30 根短于 3 米的概率是多少? 6．一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3°的概率 3 1 p = ，若 船舶遭受了 90000 次波浪冲击，问其中有 29500~30500 次纵摇角大于 3°的概率是多少？ 7．对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1 名 家长，2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05，0.8，0.15。若学校共有 400 名学生，设 各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。 求: （1）参加会议的家长数 X 超过 450 的概率。 （2）有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率。 8. 某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地抽取 100 只，设他们的寿 命相互独立，求这 100 只元件的平均寿命大于 120h 的概率。 9. 某学校有 1000 名住校生，每人以 80%的概率去图书馆自习，问：图书馆应至少设多少 个座位，才能以 99%的概率保证去上自习的同学都有座位？ 第四章 中心极限定理习题解答 1． 证明： ) 0 2 1 0 (1 2 1 ( 2 ) 2 1 ( ) 2 2 1 2 1 2 = ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = + n+ n n n n E Xn