R(0,0,=) B(0,y,) C(x,O,=) M(4y,=) Q0,y,0) rP(x,0,0) A(x,y,O) 二、空间两点间的距离 设M1(x,y1=1)、M2(x2,y2=2)为空间两点 d=|MM2|=? R 在直角△MNM2及直角△MPN中,使用勾股定理知 d'=M, P+PN+NM2 M,P= -xPN=IV2-yl NM2==-= d=M,P2+PN+NM2I M,M2 x)+(v2-y1)+(=2-=1)空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,yz),O0,0,0) d=OM 例1求证以M1(4,3,1)、M2(712)、M3(5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解:M1M2|=(7-4)2+(1-3)+(2-1)2=14,3 二、空间两点间的距离 设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 ? d = M1M2 = 在直角 M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM , 1 2 1  M P = x − x , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M (x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z 例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解： = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = M (x, y,z) • x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) x y z o M1• P N Q R • M2