第5期 王艳平，等：区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 .615- ∑vu(y）A(1-va(x,y) 定理320】对HA∈IVIF(U),定义 URA)L(x)= (1-()) E(A)=2[2-u(x)-vu(x,)1- ∑v(y）A(1-v(x,） I Au(x;)-vAU(x;)I+TA(x)+TAu(x:)/2+ UR(A)U(x)= ye (2) |u(x:)-v(x:)|+|L(x:)-vA(x:)|+ ∑(I-Uu(x,y) T(x:）+TA(x:)] (3) 定理2设(U,R)是IVIF近似空间，粗糙隶 则E(A)为A的区间直觉模糊熵。 属函数具有性质： 4 区间直觉模糊粗糙集不确定性度量 1)HA,B∈IVIF(U),若ACB,则 R(A)CR(B) 定义8设(U,R)是IVIF近似空间，A∈ 2)若A∈P(U),则R(~A)=~R(A)。 IVIF(U),则IVIF粗糙集(R(A),R(A))的模糊性 证明1)A,B∈IVIF(U),若ACB,即对 度量IVIFR(A)定义为粗糙隶属函数的区间直觉模 Hx∈U有 糊嫡： (x）≤LB(x) uAu(x）≤uB(x) IVIFR(A)=1 [2-1(-VL()I- n i=i UA(x)≥VB(x),UA(x)≥VB(x) I Bg(a)(x:)-Ug(AU(x:)1+TRAL()+ 则显然有R(A)(x)≤R(B)(x),因此R(A)S TRAU(x:)/2+|山R(x:）-VAL(x:)1+ R(B)o I URcu(x:)-vg(AU(x)1+TR(AL(x)+ 2)若A∈P(U),则Hx∈U,当Hx∈A时， TR(AU(x;)] (4) (x)=[1,1],v(x)=[0,0]。由式(2)可得 定理4设U是非空有限论域，R是U上自反 R(A)(x)={(x,[1,1],[0,0]〉1x∈A} 区间直觉模糊关系，即对Hx∈U,有(x,x)=[1, ~R(A)(x)={(x,[0,0],[1,1]〉1x∈A) 1],v(x,x)=[0,0],A∈IVIF(U),则IVIFR(A)= 又因~A=([0,0],[1,1])故R(~A)(x)= 0当且仅当A是经典集合且是可定义的。 {(x,[0,0],[1,1]〉1x∈A}可得R(~A)=~ 证明(=)设A是经典集合且是可定义的， R(A)。 则R(A)=A=R(A).分2种情况讨论： 当x生A时，有u(x)=[0,0],v(x)=[1, 1)对x∈A,有 1].由式(2)可以得到： [1,1]=u(x)=ua(x)=infvg(x,y)}≤[1， R(A)(x)={(x,[0,0],[1,1]〉1x年A} 此时~R(A)(x)={(x,[1,1],[0,0]〉1x生A}, 1],即对yA,应有v(x,y)=[1,1],则u(x, y）=[0,0],所以由式(2)得 又因~A=([1,1],[0,0]),故R(~A)(x)= {(x,[1,1],[0,0]〉1xA},可得R(~A)= ∑H(x,y）NAu(y) ~R(A).因此，R(~A)=~R(A)。 pmcA)(x)=y e,州 3区间直觉模糊熵 ∑(x,y)Au(y）+∑h(x,y）Au(y) Ye yeA 定义7o)称映射E:IVIF(U)→[0,1]为 = ∑uu(x,y）+∑uu(x,y） 区间直觉模糊集的一个区间直觉模糊熵。对VA∈ yeA yeA IVIF(U),如果E满足如下条件： ∑a(x,y)N1+∑h(x,y）N0 y 条件1E(A)=0,当且仅当A为分明集； ∑uu(x,y）+∑hu(x,y） 条件2E(A)=1,当且仅当 [(x)(x)]=[vA(x),vAu(x)] 三严，N1+2a(,)A0 条件3对HA∈IVIF(U),E(A)=E(~A); yeA =1 条件4对于任意A,B∈IVIF(U),Hx∈ ∑hr(x,y）+∑0 U,当hB(x)≤v(x),HB(x)≤VBU(x)时，有 同理可知 ACB;或者u(x)≥vu(x),(x)≥V(x) LAu(x）=1,Vg(x)=[0,0] 时，有BSA,则E(A)≤E(B)· 2)对Hx庄A,有[1,1]=v(x)=vRa(x,y)=υＲ（Ａ）Ｌ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ υＡＬ（ｙ） ∧ （１ － υＲＬ（ｘ，ｙ）） ∑ｙ∈Ｕ （１ － υＲＬ（ｘ，ｙ）） υＲ（Ａ）Ｕ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ υＡＵ（ｙ） ∧ （１ － υＲＵ（ｘ，ｙ）） ∑ｙ∈Ｕ （１ － υＲＵ（ｘ，ｙ）） （２） 定理 ２ 设 (Ｕ，Ｒ) 是 ＩＶＩＦ 近似空间，粗糙隶 属函数具有性质： １） ∀ Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，若 Ａ ⊆ Ｂ ，则 Ｒ（Ａ） ⊆ Ｒ（Ｂ） ２）若 Ａ ∈ Ｐ(Ｕ) ，则 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） 。 证明 １） ∀ Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，若 Ａ ⊆ Ｂ ，即对 ∀ｘ ∈ Ｕ 有 μＡＬ（ｘ） ≤ μＢＬ（ｘ） μＡＵ（ｘ） ≤ μＢＵ（ｘ） υＡＬ（ｘ） ≥ υＢＬ（ｘ），υＡＵ（ｘ） ≥ υＢＵ（ｘ） 则显然有 Ｒ（Ａ）（ｘ） ≤ Ｒ（Ｂ）（ｘ） ， 因此 Ｒ（Ａ） ⊆ Ｒ（Ｂ） 。 ２）若 Ａ ∈ Ｐ(Ｕ) ，则 ∀ｘ ∈ Ｕ ，当 ∀ｘ ∈ Ａ 时， μＡ（ｘ） ＝ ［１，１］，υＡ（ｘ） ＝ ［０，０］ 。 由式（２）可得 Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [１，１] ， [０，０] 〉 ｜ ｘ ∈ Ａ} ～ Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝{〈ｘ， [０，０] ， [１，１] 〉 ｜ ｘ ∈ Ａ} 又 因 ～ Ａ ＝（［０，０］， ［１，１］） 故 Ｒ（ ～ Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [０，０] ， [１，１] 〉 ｜ ｘ ∈ Ａ} 可 得 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） 。 当 ∀ｘ ∉ Ａ 时，有 μＡ（ｘ） ＝ ［０，０］，υＡ（ｘ） ＝ ［１， １］． 由式（２）可以得到： Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [０，０] ， [１，１] 〉 ｜ ｘ ∉ Ａ} 此时 ～ Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [１，１] ， [０，０] 〉 ｜ ｘ ∉ Ａ} ， 又因 ～ Ａ ＝ （［１，１］， ［０，０］） ， 故 Ｒ（ ～ Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [１，１] ， [０，０] 〉 ｜ ｘ ∉ Ａ} ， 可 得 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） ．因此， Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） 。 ３ 区间直觉模糊熵 定义 ７ ［１０］ 称映射 Ｅ： ＩＶＩＦ （Ｕ） → [０，１] 为 区间直觉模糊集的一个区间直觉模糊熵。 对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，如果 Ｅ 满足如下条件： 条件 １ Ｅ（Ａ） ＝ ０， 当且仅当 Ａ 为分明集； 条件 ２ Ｅ（Ａ） ＝ １， 当且仅当 [μＡＬ（ｘ），μＡＵ（ｘ） ] ＝ [υＡＬ（ｘ），υＡＵ（ｘ） ] 条件 ３ 对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ），Ｅ（Ａ） ＝ Ｅ（ ～ Ａ）； 条件 ４ 对于任意 Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ， ∀ｘ ∈ Ｕ ，当 μＢＬ（ｘ） ≤ υＢＬ（ｘ） ， μＢＵ（ｘ） ≤ υＢＵ（ｘ） 时，有 Ａ ⊆Ｂ ；或者 μＢＬ（ｘ） ≥ υＢＬ（ｘ） ， μＢＵ（ｘ） ≥ υＢＵ（ｘ） 时，有 Ｂ ⊆ Ａ ，则 Ｅ（Ａ） ≤ Ｅ（Ｂ） ． 定理 ３ ［２０］ 对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，定义 Ｅ（Ａ） ＝ １ ｎ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［２ －｜ μＡＬ（ｘｉ） － υＡＬ（ｘｉ） ｜ － ｜ μＡＵ（ｘｉ） － υＡＵ（ｘｉ） ｜ ＋ πＡＬ（ｘｉ） ＋ πＡＵ（ｘｉ） ／ ２ ＋ ｜ μＡＬ（ｘｉ） － υＡＬ（ｘｉ） ｜ ＋｜ μＡＵ（ｘｉ） － υＡＵ（ｘｉ） ｜ ＋ πＡＬ（ｘｉ） ＋ πＡＵ（ｘｉ）］ （３） 则 Ｅ（Ａ） 为 Ａ 的区间直觉模糊熵。 ４ 区间直觉模糊粗糙集不确定性度量 定义 ８ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 ＩＶＩＦ 近似空间， Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，则 ＩＶＩＦ 粗糙集 （Ｒ＿ （Ａ），Ｒ － （Ａ）） 的模糊性 度量 ＩＶＩＦＲ（Ａ） 定义为粗糙隶属函数的区间直觉模 糊熵： ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ １ ｎ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［２ －｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ － ｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ／ ２ ＋｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ ＋ ｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ）］ （４） 定理 ４ 设 Ｕ 是非空有限论域，Ｒ 是 Ｕ 上自反 区间直觉模糊关系，即对 ∀ｘ ∈ Ｕ，有 μＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［１， １］，υＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［０，０］，Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，则 ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ ０ 当且仅当 Ａ 是经典集合且是可定义的。 证明 （⇐） 设 Ａ 是经典集合且是可定义的， 则 Ｒ＿ （Ａ） ＝ Ａ ＝ Ｒ － （Ａ） ．分 ２ 种情况讨论： １）对 ∀ｘ ∈ Ａ ，有 [１，１] ＝ μＡ（ｘ） ＝ μＲ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ ｉｎｆ ｙ∉Ａ ｛υＲ（ｘ，ｙ）｝ ≤［１， １］， 即对 ∀ｙ ∉ Ａ ，应有 υＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［１，１］ ，则 μＲ（ｘ， ｙ） ＝ ［０，０］ ，所以由式（２）得 μＲ（Ａ）Ｌ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ １ ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ ０ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ １ ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ ０ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ ０ ＝ １ 同理可知 μＲ（Ａ）Ｕ（ｘ） ＝ １，υＲ（Ａ）（ｘ） ＝ ［０，０］ ２）对 ∀ｘ ∉ Ａ ，有 ［１，１］ ＝ υＡ（ｘ） ＝ υＲ － （Ａ）（ｘ，ｙ） ＝ 第 ５ 期 王艳平，等：区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 ·６１５·