第9卷第5期 智能系统学报 Vol.9 No.5 2014年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems 0ct.2014 D0:10.3969/j.issn.1673-4785.201307007 区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 刘洪伟，王艳平 (辽宁工业大学理学院，辽宁锦州121001) 摘要：对区间直觉模糊信息系统中近似集的不确定性进行了研究，给出了区间直觉模糊粗糙集的不确定性度量公 式。首先在区间直觉模糊近似空间中，定义了一对具有对称性的新的区间直觉模糊上、下近似算子；其次给出了区 间直觉模糊集粗糙隶属函数的定义并讨论了相关性质：最后利用区间直觉模糊粗糙隶属函数的区间直觉模糊嫡，定 义了区间直觉模糊粗糙集的模糊嫡，并讨论了区间直觉模糊粗糙集的模糊嫡为零的充要条件，证明了在区间直觉模 糊近似空间中经典集合和它的余集的粗糙度量是相等的，以此说明定义的合理性。 关键词：粗糙集：模糊集：区间直觉模糊集：区间直觉模糊信息系统：区间直觉模糊关系：近似算子：区间直觉模糊嫡： 粗糙隶属函数 中图分类号：TP301,0236文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)05-0613-05 中文引用格式：刘洪伟，王艳平.区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究[J].智能系统学报，2014,9(5)：613-617. 英文引用格式：LIU Hongwei,WANG Yanping.Research on uncertainty of interval--valued intuitionistic fuz四rough sets[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9(5):613-617. Research on uncertainty of interval-valued intuitionistic fuzzy rough sets LIU Hongwei,WANG Yanping (School of Science,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China) Abstract:The uncertainty of an approximate set in interval-value intuitionistic fuzzy information system is re- searched in this paper and the uncertainty measurement formula of interval-value intuitionistic fuzzy rough sets are given.Firstly,a pair of new interval-value intuitionistic fuzzy upper and lower approximation operators with symme- try is defined in the interval-value intuitionistic fuzzy approximation space.Secondly,the corresponding definition of rough membership functions on interval-value intuitionistic fuzzy is given and properties are discussed.Finally,the fuzzy entropy of interval-value intuitionistic fuzzy rough set is defined by interval-value intuitionistic fuzzy entropy of the interval-value intuitionistic fuzzy rough membership functions.The necessary and sufficient conditions when the fuzzy entropy on interval intuitice fuzzy rough set is zero are discussed.In addition,the rough measurement values of classic set and residual set are equal in the interval-value intuitionistic fuzzy approximate space,thereby proving the rationality of the definition. Keywords:rough sets;fuzzy sets;interval-valued intuitionistic fuzzy sets;interval-value intuitionistic fuzzy infor- mation system;interval-valued intuitionistic fuzzy relations;approximation operators;interval-valued intuitionistic fuzzy entropy;rough membership function 粗糙集理论[)是由波兰数学家Pawlak于1982 年提出的，它是经典集合论的一种推广。这一理论 受到数学、计算机与人工智能等方面的研究者的广 收稿日期：2013-07-05. 基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目(L2012226). 泛关注。模糊集理论[]是由Zadeh于1965年建立 通信作者：王艳平.E-mail:weiyanping65@yahoo.com.cn. 的，它已成功应用于国民经济的几乎全部领域，之后
第 ９ 卷第 ５ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．９ №．５ ２０１４ 年 １０ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｏｃｔ． ２０１４ ＤＯＩ：１０．３９６９ ／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃４７８５．２０１３０７００７ 区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 刘洪伟，王艳平 （辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 １２１００１） 摘 要：对区间直觉模糊信息系统中近似集的不确定性进行了研究，给出了区间直觉模糊粗糙集的不确定性度量公 式。 首先在区间直觉模糊近似空间中，定义了一对具有对称性的新的区间直觉模糊上、下近似算子；其次给出了区 间直觉模糊集粗糙隶属函数的定义并讨论了相关性质；最后利用区间直觉模糊粗糙隶属函数的区间直觉模糊熵，定 义了区间直觉模糊粗糙集的模糊熵，并讨论了区间直觉模糊粗糙集的模糊熵为零的充要条件，证明了在区间直觉模 糊近似空间中经典集合和它的余集的粗糙度量是相等的，以此说明定义的合理性。 关键词：粗糙集；模糊集；区间直觉模糊集；区间直觉模糊信息系统；区间直觉模糊关系；近似算子；区间直觉模糊熵； 粗糙隶属函数 中图分类号： ＴＰ３０１，Ｏ２３６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１４）０５⁃０６１３⁃０５ 中文引用格式：刘洪伟，王艳平． 区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（５）： ６１３⁃６１７． 英文引用格式：ＬＩＵ Ｈｏｎｇｗｅｉ，ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｖａｌ－ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９（５）： ６１３⁃６１７． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ＬＩＵ Ｈｏｎｇｗｅｉ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｊｉｎｚｈｏｕ １２１００１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ａｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｅｔ ｉｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｒｅ⁃ ｓｅａｒｃｈｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｆｉｒｓｔｌｙ， ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｎｅｗ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅ⁃ ｔｒｙ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ． Ｓｅｃｏｎｄｌｙ， ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｉｎｔｕｉｔｉｃｅ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｉｓ ｚｅｒｏ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｃ ｓｅｔ ａｎｄ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｓｅｔ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｐａｃｅ， ｔｈｅｒｅｂｙ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ； ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ； ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ； ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｏｒ⁃ ｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ； ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ； ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ； ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ； ｒｏｕｇｈ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 收稿日期：２０１３⁃０７⁃０５． 基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目（Ｌ２０１２２２６）． 通信作者：王艳平． Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｗｅｉｙａｎｐｉｎｇ６５＠ ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ． 粗糙集理论 ［１］ 是由波兰数学家 Ｐａｗｌａｋ 于 １９８２ 年提出的，它是经典集合论的一种推广。 这一理论 受到数学、计算机与人工智能等方面的研究者的广 泛关注。 模糊集理论 ［２］ 是由 Ｚａｄｅｈ 于 １９６５ 年建立 的，它已成功应用于国民经济的几乎全部领域，之后
·614. 智能系统学报 第9卷 又被推广到多种广义形式，如直觉模糊集[)和区间 1)ABfu(x)≤ug(x)且V(x)≥Vg(x); 直觉模糊集[4)等。粗糙集和模糊集在处理不确定 2)A=Biff a(x)=uB(x)v(x)=vB(x); 性和不精确性问题方面都推广了经典集合论，它们 3)~A={(x,'(x),4(x)>Ix∈U}. 都可以用来描述知识的不确定性和不完全性，研究 本文均假定U是非空有限论域，且U={x1,x2, 这两种理论之间的关系与融合在理论及应用方面都 …,xn} 有重要意义。因此许多学者对此进行了拓展研究， 定义4[9](IVIF关系)设U和W是非空有限 提出了各种广义的粗糙模糊集或模糊粗糙集[5,6)， 论域。定义在直积空间U×W上的VIF子集为从 直觉模糊粗糙集和区间直觉模糊(IVIF)粗糙 U到W之间的二元VIF关系。记为 集[7-]就是其中之一。 R={((x,y）),r(x,y),Vr(x,y)）x∈U,y∈W} 1948年，美国工程师Shannon给出了信息度量 定义5设(U,R)是IVIF近似空间，即R是U上的 的数学公式，为研究各种系统不确定性提供了深刻 任一IVIF关系。HA∈IWIF(U),则A在近似空间 的数学理论与方法。利用Shannon给出的嫡公式， (U,R)的下近似R(A)、上近似R(A)是一对IVIF Zadeh定义了模糊集合的模糊嫡。后来，许多学者 集： 提出了多种形式的广义模糊熵度量【0-)。然而， R(A)=(x,inf[ua(y)V vg(x,y)] 由于Shannon嫡不是一种模糊嫡，因此不适合用来 sup[(y）AuR(x,y)])y∈U} 度量模糊事件的模糊性。为此，Liang等[u6)在Paw- R(A)=(x,sup[ua(y)A uR(x,y)], 1ak粗糙集模型中提出了一种新的度量，比较客观地 inf[va(y)Vve(x,y)]〉y∈U (1) 描述了粗糙集中的不确定性问题。 但对区间直觉模糊粗糙集的不确定性度量，目 序对(R(A),R(A))称为IVIF粗糙集。 前研究的相对较少，所以本文试图对区间直觉模糊 根据定义5可以直接验证近似算子(1)具有下 粗糙集的不确定性度量问题进行研究。文献[9]在 述性质。 区间直觉模糊近似空间中，定义了一对区间直觉模 定理1设(U,R)是IVF近似空间，对任意的 糊上、下近似算子，并讨论了算子的一些性质。但由 A,B∈IIF(U),有 于那里定义的上、下近似算子不具有对称性，因而难 1)R(A)=~R(~A),R(A)=~R(~A); 以给出其不确定性度量。为此，首先定义新的具有 2)R(A∩B)=R(A)∩R(B): 对称性的区间直觉模糊粗糙集模型和区间直觉模糊 3)R(AUB)=R(A)UR(B); 粗糙集的粗糙隶属函数，然后再利用现有的区间直 4)A C BR(A)R(B) 觉模糊嫡公式，给出区间直觉模糊粗糙集的不确定 5)A C BR(A)CR(B) 性度量。 6)R(AUB)2R(A)UR(B); 1区间直觉模糊粗糙集的基本理论 7)R(A∩B)CR(A)∩R(B)。 定义1[(IVIF集)设U是一个非空经典集合，2 区间直觉模糊集的粗糙隶属函数 称U上形如A={(x,4,(x),v,(x)）Ix∈U}的三元 组为U上的一个IVIF集。 定义6设(U,R)是IVIF近似空间，对HA∈ 为方便，将IVIF集记为：A={(x,[u(x), IVIF(U),x∈U,x关于A的粗糙隶属函数 uA(x)],[v(x),vA(x)]〉x∈U}. R(A):IVIF(U)→F(U)定义为 U上所有IVIF集构成的集合为IVIF(U). R(A)(x)={(x,[A(x,y）,Ru(x,y)], 定义2【u设a:∈[0,1]，ieJ,J={1,2, [vRL(x,y),Va)u(x,y)]）x∈U m},定义 式中： [a1,b1]=[a2,b2]ifa1=a2,b1=b2; ∑uu(y)Au(x,y) [a1,b]≤[a2,b2]ifa1≤a2,b,≤b2; AR(A)(x)=xe [a1,b]K[a2,b2]if[a1,b]≤[a2,b]且 ∑hau(x,y） ye [a1,b]≠[a2,b2] ∑Au(y)Nhau(x,y) yeu 定义3[18]设U是一个非空经典集合，A,B∈ LR(A)U(x)= IVIF(U),Hx∈U规定序及运算如下： ∑Au(x,y） ye
又被推广到多种广义形式，如直觉模糊集 ［３］ 和区间 直觉模糊集 ［４］ 等。 粗糙集和模糊集在处理不确定 性和不精确性问题方面都推广了经典集合论，它们 都可以用来描述知识的不确定性和不完全性，研究 这两种理论之间的关系与融合在理论及应用方面都 有重要意义。 因此许多学者对此进行了拓展研究， 提出了各种广义的粗糙模糊集或模糊粗糙集 ［５，６］ ， 直觉 模 糊 粗 糙 集 和 区 间 直 觉 模 糊 （ＩＶＩＦ） 粗 糙 集［７－９］ 就是其中之一。 １９４８ 年，美国工程师 Ｓｈａｎｎｏｎ 给出了信息度量 的数学公式，为研究各种系统不确定性提供了深刻 的数学理论与方法。 利用 Ｓｈａｎｎｏｎ 给出的熵公式， Ｚａｄｅｈ 定义了模糊集合的模糊熵。 后来，许多学者 提出了多种形式的广义模糊熵度量 ［１０－１５］ 。 然而， 由于 Ｓｈａｎｎｏｎ 熵不是一种模糊熵，因此不适合用来 度量模糊事件的模糊性。 为此，Ｌｉａｎｇ 等 ［１６］ 在 Ｐａｗ⁃ ｌａｋ 粗糙集模型中提出了一种新的度量，比较客观地 描述了粗糙集中的不确定性问题。 但对区间直觉模糊粗糙集的不确定性度量，目 前研究的相对较少，所以本文试图对区间直觉模糊 粗糙集的不确定性度量问题进行研究。 文献［９］在 区间直觉模糊近似空间中，定义了一对区间直觉模 糊上、下近似算子，并讨论了算子的一些性质。 但由 于那里定义的上、下近似算子不具有对称性，因而难 以给出其不确定性度量。 为此，首先定义新的具有 对称性的区间直觉模糊粗糙集模型和区间直觉模糊 粗糙集的粗糙隶属函数，然后再利用现有的区间直 觉模糊熵公式，给出区间直觉模糊粗糙集的不确定 性度量。 １ 区间直觉模糊粗糙集的基本理论 定义 １ ［４］ （ＩＶＩＦ 集）设 Ｕ 是一个非空经典集合， 称 Ｕ 上形如 Ａ ＝ ｛〈ｘ，μＡ（ｘ），υＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ∈Ｕ｝ 的三元 组为 Ｕ 上的一个 ＩＶＩＦ 集。 为方便，将 ＩＶＩＦ 集记为： Ａ ＝ ｛〈ｘ， ［μＡＬ（ｘ）， μＡＵ（ｘ）］，［υＡＬ（ｘ），υＡＵ（ｘ）］〉ｘ ∈ Ｕ｝ ． Ｕ 上所有 ＩＶＩＦ 集构成的集合为 ＩＶＩＦ （Ｕ） ． 定义 ２ ［１８］ 设 ａｉ ∈ ［０，１］，ｉ ∈ Ｊ，Ｊ ＝ ｛１，２，．．．， ｍ｝ ，定义 ［ａ１ ，ｂ１ ］ ＝ ［ａ２ ，ｂ２ ］ ｉｆｆ ａ１ ＝ ａ２ ，ｂ１ ＝ ｂ２ ； ［ａ１ ，ｂ１ ］ ≤ ［ａ２ ，ｂ２ ］ ｉｆｆ ａ１ ≤ ａ２ ，ｂ１ ≤ ｂ２ ； ［ａ１ ，ｂ１ ］〈［ａ２ ，ｂ２ ］ ｉｆｆ ［ａ１ ，ｂ１ ］ ≤ ［ａ２ ，ｂ２ ］ 且 ［ａ１ ，ｂ１ ］ ≠ ［ａ２ ，ｂ２ ］ ． 定义 ３ ［１８］ 设 Ｕ 是一个非空经典集合， Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ， ∀ｘ ∈ Ｕ 规定序及运算如下： １） Ａ ⊆ Ｂ ｉｆｆ μＡ（ｘ） ≤ μＢ（ｘ） 且 νＡ（ｘ） ≥ νＢ（ｘ） ； ２） Ａ ＝ Ｂ ｉｆｆ μＡ（ｘ） ＝ μＢ（ｘ） 且 νＡ（ｘ） ＝ νＢ（ｘ） ； ３） ～ Ａ ＝ ｛〈ｘ，νＡ（ｘ），μＡ（ｘ） ＞ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ． 本文均假定 Ｕ 是非空有限论域，且 Ｕ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ， …，ｘｎ ｝ ． 定义 ４ ［１９］ （ＩＶＩＦ 关系）设 Ｕ 和 Ｗ 是非空有限 论域。 定义在直积空间 Ｕ × Ｗ 上的 ＩＶＩＦ 子集为从 Ｕ 到 Ｗ 之间的二元 ＩＶＩＦ 关系。 记为 Ｒ ＝ ｛〈（ｘ，ｙ），μＲ（ｘ，ｙ），υＲ（ｘ，ｙ）〉ｘ ∈ Ｕ，ｙ ∈Ｗ｝ 定义 ５ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 ＩＶＩＦ 近似空间，即 Ｒ 是 Ｕ 上的 任一 ＩＶＩＦ 关系。 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，则 Ａ 在近似空间 （Ｕ，Ｒ） 的下近似 Ｒ＿ （Ａ） 、上近似 Ｒ － （Ａ） 是一对 ＩＶＩＦ 集： Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，ｉｎｆ［μＡ（ｙ） ∨ νＲ（ｘ，ｙ）］， ｓｕｐ［νＡ（ｙ） ∧ μＲ（ｘ，ｙ）］〉ｙ ∈ Ｕ｝ Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，ｓｕｐ［μＡ（ｙ） ∧ μＲ（ｘ，ｙ）］， ｉｎｆ［νＡ（ｙ） ∨ νＲ（ｘ，ｙ）］〉ｙ ∈ Ｕ｝ （１） 序对 （Ｒ＿ （Ａ），Ｒ － （Ａ）） 称为 ＩＶＩＦ 粗糙集。 根据定义 ５ 可以直接验证近似算子（１）具有下 述性质。 定理 １ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 ＩＶＩＦ 近似空间，对任意的 Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，有 １） Ｒ＿ （Ａ） ＝ ～ Ｒ － （ ～ Ａ） ， Ｒ － （Ａ） ＝ ～ Ｒ＿ （ ～ Ａ） ； ２） Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） ； ３） Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） ； ４） Ａ ⊆ Ｂ⇒Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｂ） ； ５） Ａ ⊆ Ｂ⇒Ｒ － （Ａ） ⊆ Ｒ － （Ｂ） ； ６） Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） ； ７） Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） 。 ２ 区间直觉模糊集的粗糙隶属函数 定义 ６ 设 (Ｕ，Ｒ) 是 ＩＶＩＦ 近似空间，对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ， ｘ ∈ Ｕ ， ｘ 关 于 Ａ 的 粗 糙 隶 属 函 数 Ｒ(Ａ) ： ＩＶＩＦ （Ｕ） → Ｆ（Ｕ） 定义为 Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ ｛〈ｘ，［μＲ（Ａ）Ｌ（ｘ，ｙ），μＲ（Ａ）Ｕ（ｘ，ｙ）］， [υＲ（Ａ）Ｌ（ｘ，ｙ），υＲ（Ａ）Ｕ（ｘ，ｙ） ] 〉ｘ ∈ Ｕ｝ 式中： μＲ（Ａ）Ｌ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ μＡＬ（ｙ） ∧ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） μＲ（Ａ）Ｕ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ μＡＵ（ｙ） ∧ μＲＵ（ｘ，ｙ） ∑ｙ∈Ｕ μＲＵ（ｘ，ｙ） ·６１４· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第5期 王艳平，等：区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 .615- ∑vu(y）A(1-va(x,y) 定理320】对HA∈IVIF(U),定义 URA)L(x)= (1-()) E(A)=2[2-u(x)-vu(x,)1- ∑v(y）A(1-v(x,） I Au(x;)-vAU(x;)I+TA(x)+TAu(x:)/2+ UR(A)U(x)= ye (2) |u(x:)-v(x:)|+|L(x:)-vA(x:)|+ ∑(I-Uu(x,y) T(x:）+TA(x:)] (3) 定理2设(U,R)是IVIF近似空间，粗糙隶 则E(A)为A的区间直觉模糊熵。 属函数具有性质： 4 区间直觉模糊粗糙集不确定性度量 1)HA,B∈IVIF(U),若ACB,则 R(A)CR(B) 定义8设(U,R)是IVIF近似空间，A∈ 2)若A∈P(U),则R(~A)=~R(A)。 IVIF(U),则IVIF粗糙集(R(A),R(A))的模糊性 证明1)A,B∈IVIF(U),若ACB,即对 度量IVIFR(A)定义为粗糙隶属函数的区间直觉模 Hx∈U有 糊嫡： (x）≤LB(x) uAu(x）≤uB(x) IVIFR(A)=1 [2-1(-VL()I- n i=i UA(x)≥VB(x),UA(x)≥VB(x) I Bg(a)(x:)-Ug(AU(x:)1+TRAL()+ 则显然有R(A)(x)≤R(B)(x),因此R(A)S TRAU(x:)/2+|山R(x:）-VAL(x:)1+ R(B)o I URcu(x:)-vg(AU(x)1+TR(AL(x)+ 2)若A∈P(U),则Hx∈U,当Hx∈A时， TR(AU(x;)] (4) (x)=[1,1],v(x)=[0,0]。由式(2)可得 定理4设U是非空有限论域，R是U上自反 R(A)(x)={(x,[1,1],[0,0]〉1x∈A} 区间直觉模糊关系，即对Hx∈U,有(x,x)=[1, ~R(A)(x)={(x,[0,0],[1,1]〉1x∈A) 1],v(x,x)=[0,0],A∈IVIF(U),则IVIFR(A)= 又因~A=([0,0],[1,1])故R(~A)(x)= 0当且仅当A是经典集合且是可定义的。 {(x,[0,0],[1,1]〉1x∈A}可得R(~A)=~ 证明(=)设A是经典集合且是可定义的， R(A)。 则R(A)=A=R(A).分2种情况讨论： 当x生A时，有u(x)=[0,0],v(x)=[1, 1)对x∈A,有 1].由式(2)可以得到： [1,1]=u(x)=ua(x)=infvg(x,y)}≤[1， R(A)(x)={(x,[0,0],[1,1]〉1x年A} 此时~R(A)(x)={(x,[1,1],[0,0]〉1x生A}, 1],即对yA,应有v(x,y)=[1,1],则u(x, y）=[0,0],所以由式(2)得 又因~A=([1,1],[0,0]),故R(~A)(x)= {(x,[1,1],[0,0]〉1xA},可得R(~A)= ∑H(x,y）NAu(y) ~R(A).因此，R(~A)=~R(A)。 pmcA)(x)=y e,州 3区间直觉模糊熵 ∑(x,y)Au(y）+∑h(x,y）Au(y) Ye yeA 定义7o)称映射E:IVIF(U)→[0,1]为 = ∑uu(x,y）+∑uu(x,y） 区间直觉模糊集的一个区间直觉模糊熵。对VA∈ yeA yeA IVIF(U),如果E满足如下条件： ∑a(x,y)N1+∑h(x,y）N0 y 条件1E(A)=0,当且仅当A为分明集； ∑uu(x,y）+∑hu(x,y） 条件2E(A)=1,当且仅当 [(x)(x)]=[vA(x),vAu(x)] 三严，N1+2a(,)A0 条件3对HA∈IVIF(U),E(A)=E(~A); yeA =1 条件4对于任意A,B∈IVIF(U),Hx∈ ∑hr(x,y）+∑0 U,当hB(x)≤v(x),HB(x)≤VBU(x)时，有 同理可知 ACB;或者u(x)≥vu(x),(x)≥V(x) LAu(x）=1,Vg(x)=[0,0] 时，有BSA,则E(A)≤E(B)· 2)对Hx庄A,有[1,1]=v(x)=vRa(x,y)=
υＲ（Ａ）Ｌ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ υＡＬ（ｙ） ∧ （１ － υＲＬ（ｘ，ｙ）） ∑ｙ∈Ｕ （１ － υＲＬ（ｘ，ｙ）） υＲ（Ａ）Ｕ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ υＡＵ（ｙ） ∧ （１ － υＲＵ（ｘ，ｙ）） ∑ｙ∈Ｕ （１ － υＲＵ（ｘ，ｙ）） （２） 定理 ２ 设 (Ｕ，Ｒ) 是 ＩＶＩＦ 近似空间，粗糙隶 属函数具有性质： １） ∀ Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，若 Ａ ⊆ Ｂ ，则 Ｒ（Ａ） ⊆ Ｒ（Ｂ） ２）若 Ａ ∈ Ｐ(Ｕ) ，则 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） 。 证明 １） ∀ Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，若 Ａ ⊆ Ｂ ，即对 ∀ｘ ∈ Ｕ 有 μＡＬ（ｘ） ≤ μＢＬ（ｘ） μＡＵ（ｘ） ≤ μＢＵ（ｘ） υＡＬ（ｘ） ≥ υＢＬ（ｘ），υＡＵ（ｘ） ≥ υＢＵ（ｘ） 则显然有 Ｒ（Ａ）（ｘ） ≤ Ｒ（Ｂ）（ｘ） ， 因此 Ｒ（Ａ） ⊆ Ｒ（Ｂ） 。 ２）若 Ａ ∈ Ｐ(Ｕ) ，则 ∀ｘ ∈ Ｕ ，当 ∀ｘ ∈ Ａ 时， μＡ（ｘ） ＝ ［１，１］，υＡ（ｘ） ＝ ［０，０］ 。 由式（２）可得 Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [１，１] ， [０，０] 〉 ｜ ｘ ∈ Ａ} ～ Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝{〈ｘ， [０，０] ， [１，１] 〉 ｜ ｘ ∈ Ａ} 又 因 ～ Ａ ＝（［０，０］， ［１，１］） 故 Ｒ（ ～ Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [０，０] ， [１，１] 〉 ｜ ｘ ∈ Ａ} 可 得 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） 。 当 ∀ｘ ∉ Ａ 时，有 μＡ（ｘ） ＝ ［０，０］，υＡ（ｘ） ＝ ［１， １］． 由式（２）可以得到： Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [０，０] ， [１，１] 〉 ｜ ｘ ∉ Ａ} 此时 ～ Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [１，１] ， [０，０] 〉 ｜ ｘ ∉ Ａ} ， 又因 ～ Ａ ＝ （［１，１］， ［０，０］） ， 故 Ｒ（ ～ Ａ）（ｘ） ＝ {〈ｘ， [１，１] ， [０，０] 〉 ｜ ｘ ∉ Ａ} ， 可 得 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） ．因此， Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） 。 ３ 区间直觉模糊熵 定义 ７ ［１０］ 称映射 Ｅ： ＩＶＩＦ （Ｕ） → [０，１] 为 区间直觉模糊集的一个区间直觉模糊熵。 对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，如果 Ｅ 满足如下条件： 条件 １ Ｅ（Ａ） ＝ ０， 当且仅当 Ａ 为分明集； 条件 ２ Ｅ（Ａ） ＝ １， 当且仅当 [μＡＬ（ｘ），μＡＵ（ｘ） ] ＝ [υＡＬ（ｘ），υＡＵ（ｘ） ] 条件 ３ 对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ），Ｅ（Ａ） ＝ Ｅ（ ～ Ａ）； 条件 ４ 对于任意 Ａ，Ｂ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ， ∀ｘ ∈ Ｕ ，当 μＢＬ（ｘ） ≤ υＢＬ（ｘ） ， μＢＵ（ｘ） ≤ υＢＵ（ｘ） 时，有 Ａ ⊆Ｂ ；或者 μＢＬ（ｘ） ≥ υＢＬ（ｘ） ， μＢＵ（ｘ） ≥ υＢＵ（ｘ） 时，有 Ｂ ⊆ Ａ ，则 Ｅ（Ａ） ≤ Ｅ（Ｂ） ． 定理 ３ ［２０］ 对 ∀Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，定义 Ｅ（Ａ） ＝ １ ｎ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［２ －｜ μＡＬ（ｘｉ） － υＡＬ（ｘｉ） ｜ － ｜ μＡＵ（ｘｉ） － υＡＵ（ｘｉ） ｜ ＋ πＡＬ（ｘｉ） ＋ πＡＵ（ｘｉ） ／ ２ ＋ ｜ μＡＬ（ｘｉ） － υＡＬ（ｘｉ） ｜ ＋｜ μＡＵ（ｘｉ） － υＡＵ（ｘｉ） ｜ ＋ πＡＬ（ｘｉ） ＋ πＡＵ（ｘｉ）］ （３） 则 Ｅ（Ａ） 为 Ａ 的区间直觉模糊熵。 ４ 区间直觉模糊粗糙集不确定性度量 定义 ８ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 ＩＶＩＦ 近似空间， Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，则 ＩＶＩＦ 粗糙集 （Ｒ＿ （Ａ），Ｒ － （Ａ）） 的模糊性 度量 ＩＶＩＦＲ（Ａ） 定义为粗糙隶属函数的区间直觉模 糊熵： ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ １ ｎ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ［２ －｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ － ｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ／ ２ ＋｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ ＋ ｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ）］ （４） 定理 ４ 设 Ｕ 是非空有限论域，Ｒ 是 Ｕ 上自反 区间直觉模糊关系，即对 ∀ｘ ∈ Ｕ，有 μＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［１， １］，υＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［０，０］，Ａ ∈ ＩＶＩＦ （Ｕ） ，则 ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ ０ 当且仅当 Ａ 是经典集合且是可定义的。 证明 （⇐） 设 Ａ 是经典集合且是可定义的， 则 Ｒ＿ （Ａ） ＝ Ａ ＝ Ｒ － （Ａ） ．分 ２ 种情况讨论： １）对 ∀ｘ ∈ Ａ ，有 [１，１] ＝ μＡ（ｘ） ＝ μＲ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ ｉｎｆ ｙ∉Ａ ｛υＲ（ｘ，ｙ）｝ ≤［１， １］， 即对 ∀ｙ ∉ Ａ ，应有 υＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［１，１］ ，则 μＲ（ｘ， ｙ） ＝ ［０，０］ ，所以由式（２）得 μＲ（Ａ）Ｌ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ １ ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ ０ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ １ ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ ０ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ ０ ＝ １ 同理可知 μＲ（Ａ）Ｕ（ｘ） ＝ １，υＲ（Ａ）（ｘ） ＝ ［０，０］ ２）对 ∀ｘ ∉ Ａ ，有 ［１，１］ ＝ υＡ（ｘ） ＝ υＲ － （Ａ）（ｘ，ｙ） ＝ 第 ５ 期 王艳平，等：区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 ·６１５·
·616· 智能系统学报 第9卷 inf{ve(x,y)}≤[1，l] 因此，4ga(x)=infvg(x,y)}=[1,1]=4(x),于 即对y∈A,应有v(x,y)=[1,1],则u(x, 是有vg(x)=[0,0]=v(x)。 y)=[0,0],所以由式(2)得 又因为 ∑ueu(x,)）Ahug） i()=()()= AmA(x)= ∑h(x,y） [1,1]=u(x) re 于是有 ∑hu(x,)）Augy）+∑hu(x,）Auu(y） vRA(x)=[0,0]=va(x) y供A ∑u(x,y）+∑h(x,） 因此，R(A)=A=R(A)。 yA 4)若x座A,即u(x)=[0,0],v(x)=[1,1], ∑0A1+∑(x,y）A0 则 ye yeA =0 0+名m vg=suplug(xy)=ug(x.x)=[1.1]=v(x) yA 于是有凸g(x)=[0,0]=u(x). 同理可得 又因为由式(2)可知，R(A)(x)={(x,[0,0], L)u(x)=0,VRa(x)=[1,1] [1,1]〉x∈U。 由1)、2)可知，当A退化为经典集合时： 因x生A,则y∈A,有u(x,y)=[0,0], Vx∈U v(x,y)=[1,1],所以 2-|4RAL(:)-UrL(x:)1- vRca(x)=infvg(x,y)=[1,1]=v(x) I uRcAu(x;)-vcAU(x:)I+ 从而(x)=[0,0]=u(x)。 TRA(x:）+TRAu(x:）=0 因此，R(A)=A=R(A)。 故IVIFR(A)=0。 由3)、4)可知，A是可定义的。 (→)设IVIFR(A)=0,由定义8可知，对Hx∈ 定理5设(U,R)是IVIF近似空间，则A∈ U,应有 P(U)IVIFR(~A)=IVIFR(A) 2-1 Bg(a(x)-UR(A)L(x)I- 证明由定理2可知，VA∈P(U),则R(~ ILAu(x:)-Vu(名：)|+ A)=~R(A).即 TRAL(x:）+TR(x:)=0 R(~A)(x)=~R(A)(x)= 亦即 (x,[vR(L(x,y),vR(x,y)], (1-|4R(x:)-VA2(x:)1)+ [uRAz(x,y）,Au(x,y）]Ix∈U 再由定义8的公式直接可得IVIFR(~A)= (1-I uRu(x:)-Uga)u(x)1)+ IVIFR(A). TRL(x:）+TRAU(x:)=0 定理4和定理5说明了什么样的IVIF粗糙集 故可得，“a(x:)=[1,1],v(x:)=[0,0]或者 是“确定的”，什么样的集合和它的余集的IVIF粗 (x:)=[0,0],Va(x)=[1,1].再由定义6及 糙性度量是相等的。 R是自反的区间直觉模糊关系（即u(x,x)=[1, 1],va(x,x)=[0,0])可得：当a(x)=[1,1], 5结束语 va(:)=[0,0]时，ua(x)=[1,1],vA(x)=[0,0] 区间直觉模糊粗糙集的不确定性不仅来自近似 ;当a(x)=[0,0],V(x:)=[1,1]时，4(x)= 空间，也来自被近似的集合的模糊性。建立一个区 [0,0],v(x)=[1,1]。 间直觉模糊粗糙集模型以后，如何对其不确定性进 可知，A是经典集合。 行度量是一个重要课题。本文通过将区间直觉模糊 由以上证明可知，当IVIFR(A)=0时，A是经典 粗糙集的隶属函数定义为一个区间直觉模糊集，从 集合。所以Hx∈U,u(x)=[1,1],v(x)=[0,0] 而可以利用现有文献的区间直觉模糊熵公式，实现 或u4(x)=[0,0],v(x)=[1,1]。 了区间直觉模糊粗糙集的不确定性度量，它在不确 3)若x∈A,即u(x)=[1,1],v4(x)=[0,0], 定性分析方面具有应用价值，值得进一步研究。 由式(2)可知： R(A)(x)={(x,[1,1],[0,0])x∈U 参考文献： 则对Hy座A,有R(x,y)=[0,0],vR(x,y)=[1,1] [1]PAWLAK Z.Rough sets [J].Theoretional Journal of Com-
ｉｎｆ ｙ∈Ａ {υＲ（ｘ，ｙ）} ≤ ［１，１］ 即对 ∀ｙ ∈ Ａ ，应有 υＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［１，１］ ，则 μＲ（ｘ， ｙ） ＝ ［０，０］ ，所以由式（２）得 μＲ（Ａ）Ｌ（ｘ） ＝ ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ∑ｙ∈Ｕ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ μＡＬ（ｙ） ∑ｙ∈Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ∑ｙ∈Ａ ０ ∧ １ ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ∧ ０ ∑ｙ∈Ａ ０ ＋ ∑ｙ∉Ａ μＲＬ（ｘ，ｙ） ＝ ０ 同理可得 μＲ（Ａ）Ｕ（ｘ） ＝ ０，υＲ（Ａ）（ｘ） ＝ ［１，１］ 由 １）、２）可知，当 Ａ 退化为经典集合时： ∀ｘ ∈ Ｕ ２ －｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ － ｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ＝ ０ 故 ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ ０。 （⇒） 设 ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ ０，由定义 ８ 可知，对 ∀ｘ ∈ Ｕ ，应有 ２ －｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ － ｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ＝ ０ 亦即 （１ －｜ μＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ｜ ） ＋ （１ －｜ μＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） － υＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ｜ ） ＋ πＲ（Ａ）Ｌ（ｘｉ） ＋ πＲ（Ａ）Ｕ（ｘｉ） ＝ ０ 故可得， μＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［１，１］，υＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［０，０］ 或者 μＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［０，０］，υＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［１，１］ ．再由定义 ６ 及 Ｒ 是自反的区间直觉模糊关系（即 μＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［１， １］，υＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［０，０］ ） 可得：当 μＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［１，１］， υＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［０，０］ 时， μＡ（ｘ） ＝ ［１，１］，υＡ（ｘ） ＝ ［０，０］ ；当 μＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［０，０］，υＲ（Ａ）（ｘｉ） ＝ ［１，１］ 时， μＡ（ｘ） ＝ ［０，０］，υＡ（ｘ） ＝ ［１，１］。 可知， Ａ 是经典集合。 由以上证明可知，当 ＩＶＩＦＲ（Ａ） ＝ ０ 时， Ａ 是经典 集合。 所以 ∀ｘ ∈Ｕ ， μＡ（ｘ） ＝ ［１，１］，υＡ（ｘ） ＝ ［０，０］ 或 μＡ（ｘ） ＝ ［０，０］，υＡ（ｘ） ＝ ［１，１］。 ３）若 ｘ ∈ Ａ ，即 μＡ（ｘ） ＝ ［１，１］，υＡ（ｘ） ＝ ［０，０］ ， 由式（２）可知： Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ ｛〈ｘ，［１，１］，［０，０］〉ｘ ∈ Ｕ｝ 则对 ∀ｙ ∉ Ａ，有 μＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［０，０］，υＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［１，１］ 因此， μＲ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ ｉｎｆ ｙ∉Ａ ｛υＲ（ｘ，ｙ）｝ ＝ ［１，１］ ＝ μＡ（ｘ） ，于 是有 υＲ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ ［０，０］ ＝ υＡ（ｘ） 。 又因为 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ ｓｕｐ ｙ∈Ａ ｛μＲ（ｘ，ｙ）｝ ＝ μＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［１，１］ ＝ μＡ（ｘ） 于是有 υＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ ［０，０］ ＝ υＡ（ｘ） 因此， Ｒ＿ （Ａ） ＝ Ａ ＝Ｒ － （Ａ） 。 ４）若 ｘ ∉ Ａ ，即 μＡ（ｘ） ＝ ［０，０］，υＡ（ｘ） ＝ ［１，１］ ， 则 υＲ＿ （Ａ） ＝ ｓｕｐ ｙ∉Ａ ｛μＲ（ｘ，ｙ）｝ ＝ μＲ（ｘ，ｘ） ＝ ［１，１］ ＝ υＡ（ｘ） 于是有 μＲ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ ［０，０］ ＝ μＡ（ｘ） ． 又因为由式（２）可知， Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ ｛〈ｘ，［０，０］， ［１，１］〉ｘ ∈ Ｕ｝ 。 因 ｘ ∉ Ａ ，则 ∀ｙ ∈ Ａ ，有 μＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［０，０］， υＲ（ｘ，ｙ） ＝ ［１，１］ ，所以 υＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ ｉｎｆ ｙ∈Ａ ｛υＲ（ｘ，ｙ）｝ ＝ ［１，１］ ＝ υＡ（ｘ） 从而 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ ［０，０］ ＝ μＡ（ｘ） 。 因此， Ｒ＿ （Ａ） ＝ Ａ ＝ Ｒ － （Ａ） 。 由 ３）、４）可知， Ａ 是可定义的。 定理 ５ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 ＩＶＩＦ 近似空间，则 Ａ ∈ Ｐ（Ｕ） ，有 ＩＶＩＦＲ（ ～ Ａ） ＝ ＩＶＩＦＲ（Ａ） ． 证明 由定理 ２ 可知， ∀Ａ ∈ Ｐ（Ｕ） ，则 Ｒ（ ～ Ａ） ＝ ～ Ｒ（Ａ） ．即 Ｒ（ ～ Ａ）（ｘ） ＝ ～ Ｒ（Ａ）（ｘ） ＝ ｛〈ｘ， [υＲ（Ａ）Ｌ（ｘ，ｙ），υＲ（Ａ）Ｕ（ｘ，ｙ） ] ， [μＲ（Ａ）Ｌ（ｘ，ｙ），μＲ（Ａ）Ｕ（ｘ，ｙ） ] ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 再由 定 义 ８ 的 公 式 直 接 可 得 ＩＶＩＦＲ（ ～ Ａ） ＝ ＩＶＩＦＲ（Ａ） ． 定理 ４ 和定理 ５ 说明了什么样的 ＩＶＩＦ 粗糙集 是“确定的”，什么样的集合和它的余集的 ＩＶＩＦ 粗 糙性度量是相等的。 ５ 结束语 区间直觉模糊粗糙集的不确定性不仅来自近似 空间，也来自被近似的集合的模糊性。 建立一个区 间直觉模糊粗糙集模型以后，如何对其不确定性进 行度量是一个重要课题。 本文通过将区间直觉模糊 粗糙集的隶属函数定义为一个区间直觉模糊集，从 而可以利用现有文献的区间直觉模糊熵公式，实现 了区间直觉模糊粗糙集的不确定性度量，它在不确 定性分析方面具有应用价值，值得进一步研究。 参考文献： ［１］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｔｈｅｏｒｅｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ⁃ ·６１６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷
第5期 王艳平，等：区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 ·617. puter and Information Sciences,1982(11):341-356. 本性质[J]重庆文理学院学报：自然科学版，2010,29 [2]ZADEH L A.Fuzzy sets [J].Information and Control,1965 (3):21-24. (8):338-353. QU K,TANG L,RONG W J.The construction and basic [3]ATANASSOV K.Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets properties of entropy of interval-valued intuitionistic fuzzy and Systems,1986,20(2):87-96. sets [J].Journal of Chongqing University of Arts and Sci- [4]ATANASSOV K,GARGOV G.Interval-valued intuitionistic ences Natural Science Edition,2010,29(3):21-24. fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3):343- [15]YE J.Two effective measures of intuitionstic fuzzy entropy 349. [J].Computing,2010,87(1/2):55-62. [5]张文修，吴伟志，梁吉业，等.粗糙集理论与方法[M].北 [16]LIANG J Y,CHIN K S,DANG C Y et al.A new method 京：科学出版社，2001：55-73. for measuring uncertainty and fuzziness in rough set theory [6]张文修，姚一豫，梁怡.粗糙集与概念格[M]西安：西安 [J].International Journal of General Systems,2002,31 交通大学出版社，2006：61-84. (4):331-342. [7]ZHANG Z M.An interval-valued rough intuitionistic fuzzy [17]ATANASSOV K.Operators over interval valued intuitionis- set model[].International Journal of General Systems, tic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,1994,64: 2010,39(2):135-164. 159-174. [8]张瑜，王艳平直觉模糊粗糙集模型[J刀辽宁工业大学学 [18]GONG Z T,SUN B Z,CHEN D G.Rough set theory for 报：自然科学版，2008,28(6)：414-420. interval-valued fuzzy information systems[J].Information ZHANG Yu,WANG Yanpng.Intuitionistic fuzzy rough sets Sciences,2008,178:1968-1985. [J].Journal of Liaoning University of Technology Natural [19]彭振文，王周敏.区间直觉模糊关系及其性质[J].海南 Science Edition,2008.28(6):414-420. 师范大学学报：自然科学版，2008，(12)：412415. [9]王艳平，孙静，陈美薇，区间直觉模糊粗糙集模型[J]计 PENG Z W,WANG Z J.The Interval-valued intuitionistic 算机工程与应用，2011,47(24)：37-42. fuzzy relations and their properties[].Journal of Hainan WANG Yanping,SUN Jing,CHEN Meiwei.Interval-valued Normal University Natural Science Edition,2008,21 intuitionistic fuzzy rough sets Computer Engineering and (4):412-415. Applications,2011,47(24):37-42. [20]王培，魏翠萍.一种区间直觉模糊熵的构造方法[J].计 [10]魏翠萍，高志海，郭婷婷.一个基于三角函数的直觉模 算机工程与应用，2011,47(2)：43-46. 糊嫡公式[J].控制与决策，2012,27(4)：571-574. WANG P,WEI C P.Constructing method of interval-valued WEI Cuiping,GAO Zhihai,GUO Tingting.An intuitionis- intuitionistic fuzzy entropy []Computer Engineering and tic fuzzy entropy measure based on trigonometric function Applications,2011,47(2):43-45. J].Control and Decision,2012,27(4):571-574. 作者简介： [11]BURILLO P,BUSTINCE H.Entropy on intuitionistic fuzzy 刘洪伟，女，1989年生，硕士研究 sets and on interval-valued fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and 生，主要研究方向为粗糙集理论，模糊 Systems,2001,118(3):305-316. 集理论。 [12]SZMIDT E,KACPRZYK J.Entropy for intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,2001,118(3):467- 477. [13]郭效之.模糊不确定性度量的探讨及扩展[D].西安： 西北大学，2004：48-50. GUO X Z.The discussion and extension of fuzzy uncertain- 王艳平，女，1965年生，教授，主 ty measure[D].Xi 'an:northwestern university,2004: 要研究方向为粗糙集理论，模糊集理 48-50. 论，发表学术论文30余篇。 [14]屈克，汤磊，荣文静.区间直觉模糊集熵的构造及其基
ｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９８２（１１）： ３４１⁃３５６． ［２］ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９６５ （８）：３３８⁃３５３． ［３］ ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８６， ２０（２）： ８７⁃９６． ［４］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ， ＧＡＲＧＯＶ Ｇ． Ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８９， ３１（３）： ３４３⁃ ３４９． ［５］张文修，吴伟志，梁吉业，等．粗糙集理论与方法［Ｍ］．北 京：科学出版社， ２００１： ５５⁃７３． ［６］张文修，姚一豫，梁怡．粗糙集与概念格［Ｍ］．西安：西安 交通大学出版社， ２００６： ６１⁃８４． ［７］ ＺＨＡＮＧ Ｚ Ｍ． Ａｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｒｏｕｇｈ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１０， ３９（２）： １３５⁃１６４． ［８］张瑜，王艳平．直觉模糊粗糙集模型［ Ｊ］．辽宁工业大学学 报：自然科学版，２００８，２８（６）：４１４⁃４２０． ＺＨＡＮＧ Ｙｕ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｎｇ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ， ２００８， ２８（６）： ４１４⁃４２０． ［９］王艳平，孙静，陈美薇，区间直觉模糊粗糙集模型［ Ｊ］．计 算机工程与应用，２０１１，４７ （２４）：３７⁃４２． ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ， ＳＵＮ Ｊｉｎｇ， ＣＨＥＮ Ｍｅｉｗｅｉ． Ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１１， ４７ （２４）： ３７⁃４２． ［１０］魏翠萍，高志海，郭婷婷． 一个基于三角函数的直觉模 糊熵公式［Ｊ］．控制与决策，２０１２， ２７（４）： ５７１⁃５７４． ＷＥＩ Ｃｕｉｐｉｎｇ， ＧＡＯ Ｚｈｉｈａｉ， ＧＵＯ Ｔｉｎｇｔｉｎｇ． Ａｎ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓ⁃ ｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ｍｅａｓｕｒｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ［Ｊ］．Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ， ２０１２， ２７（４）： ５７１⁃５７４． ［１１］ＢＵＲＩＬＬＯ Ｐ， ＢＵＳＴＩＮＣＥ Ｈ． Ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｎ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｏｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００１， １１８（３）： ３０５⁃３１６． ［１２］ＳＺＭＩＤＴ Ｅ， ＫＡＣＰＲＺＹＫ Ｊ． Ｅｎｔｒｏｐｙ ｆｏｒ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００１， １１８（ ３）： ４６７⁃ ４７７． ［１３］郭效之． 模糊不确定性度量的探讨及扩展［Ｄ］． 西安： 西北大学，２００４： ４８⁃５０． ＧＵＯ Ｘ Ｚ． Ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ⁃ ｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ ［Ｄ］． Ｘｉ ′ ａｎ： ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ２００４： ４８⁃５０． ［１４］屈克，汤磊，荣文静． 区间直觉模糊集熵的构造及其基 本性质［Ｊ］．重庆文理学院学报：自然科学版，２０１０， ２９ （３）： ２１⁃２４． ＱＵ Ｋ， ＴＡＮＧ Ｌ， ＲＯＮＧ Ｗ Ｊ． Ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉ⁃ ｅｎｃｅｓ ： Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ， ２０１０， ２９（３）： ２１⁃２４． ［１５］ＹＥ Ｊ． Ｔｗｏ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｏｆ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ２０１０， ８７（１ ／ ２）： ５５⁃６２． ［１６］ＬＩＡＮＧ Ｊ Ｙ， ＣＨＩＮ Ｋ Ｓ， ＤＡＮＧ Ｃ Ｙ ｅｔ ａｌ． Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ａｎｄ ｆｕｚｚｉｎｅｓｓ ｉｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００２， ３１ （４）： ３３１⁃３４２． ［１７］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ．Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｖｅｒ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓ⁃ ｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９４， ６４： １５９⁃１７４． ［１８］ＧＯＮＧ Ｚ Ｔ， ＳＵＮ Ｂ Ｚ， ＣＨＥＮ Ｄ Ｇ ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００８， １７８： １９６８⁃１９８５． ［１９］彭振文，王周敏． 区间直觉模糊关系及其性质［ Ｊ］．海南 师范大学学报：自然科学版， ２００８， （１２）： ４１２⁃４１５． ＰＥＮＧ Ｚ Ｗ， ＷＡＮＧ Ｚ Ｊ． Ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ： Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ， ２００８， ２１ （４）： ４１２⁃４１５． ［２０］王培，魏翠萍．一种区间直觉模糊熵的构造方法［ Ｊ］． 计 算机工程与应用，２０１１， ４７（２）： ４３⁃４６． ＷＡＮＧ Ｐ，ＷＥＩ Ｃ Ｐ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１１， ４７（２）： ４３⁃４５． 作者简介： 刘洪伟，女，１９８９ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为粗糙集理论，模糊 集理论。 王艳平，女，１９６５ 年生，教授，主 要研究方向为粗糙集理论，模糊集理 论，发表学术论文 ３０ 余篇。 第 ５ 期 王艳平，等：区间直觉模糊粗糙集的不确定性研究 ·６１７·