第10卷第1期 智能系统学报 Vol.10 No.1 2015年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb.2015 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201410004. 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20150113.1130.006.html 一种新的聚类有效性函数：模糊划分的模糊熵 卿铭'，孙晓梅 (1.西南交通大学数学学院，四川成都600031：2.河南工程学院数学与物理科学系，河南郑州451191) 摘要：模糊聚类分析结果是否合理的问题属于模糊聚类有效性判定课题，其核心是模糊聚类有效性函数的构造。 文中基于序关系定义了模糊划分模糊嫡来描述模糊划分的模糊程度。考虑到现有的一类有效的模糊聚类有效性函 数就是基于数据集的模糊划分的，因此文中也用模糊划分的模糊嫡作为聚类有效性函数。实验表明，模糊划分的模 糊熵作为模糊聚类的有效性函数是合理的、可行的。 关键词：模糊C均值聚类：模糊划分的模糊熵：聚类有效性：聚类分析：模糊划分：模糊熵：嫡函数：模糊集 中图分类号：TP0235文献标志码：A文章编号：1673-4785(2015)01-0075-06 中文引用格式：卿铭，孙晓梅.一种新的聚类有效性函数：模糊划分的模糊熵[J].智能系统学报，2015,10(1)：75-80. 英文引用格式：QING Ming,SUN Xiaomei.A new clustering effectiveness function:fuzzy entropy of fuzzy partition[J].CAAl Transactions on Intelligent Systems,2015,10(1):75-80. A new clustering effectiveness function:fuzzy entropy of fuzzy partition QING Ming',SUN Xiaomei2 (1.School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China;2.Department of Mathematical and Physical Sci- ence,Henan Institution of Engineering,Zhengzhou 451191,China) Abstract:In this paper,the determination that whether a fuzzy clustering analysis result is reasonable or not is de- cided by the effectiveness of fuzzy clustering and its core is the construction of fuzzy clustering effectiveness func- tion.This paper proposed a new concept of fuzzy entropy for a fuzzy partition to describe fuzzy degree of a fuzzy par- tition based on an order relation.Fuzzy entropy for a fuzzy partition is also considered as a clustering effectiveness function because some existing fuzzy clustering effectiveness functions are based on fuzzy partition of data sets.The experiments demonstrated that it is reasonable and practicable to utilize fuzzy entropy for a fuzzy partition as the ef- fectiveness function of a fuzzy clustering. Keywords:fuzzy C-means clustering;fuzzy entropy of fuzzy partition;clustering effectiveness;clustering analysis; fuzzy partition;fuzzy entropy;entropy function;fuzzy set 聚类是一个在人类认识世界的过程中产生的古 断有无聚类结构，这属于聚类趋势研究的课题：如果 老问题。在面对纷繁的大千世界时，关注事物间的 已经确认有聚类结构，则需要用算法来确定这些结 相似性并以此来区别不同的事物，对于人类来说是 构，这属于聚类分析的研究课题：得到结构后，需要 一种清晰而直观的思路。而每个概念的最初形成无 分析、判断聚类的结果是否合理，这属于聚类有效性 不借助于事物间的聚类分析。因此聚类分析的研究 研究的课题)。 不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的工程应 传统的聚类分析是一种硬划分。它将每个待辨 用价值和人文价值。对于给定的数据集，首先要判 识的对象严格地划分到某个类中，其聚类结果具有 收稿日期：2014-10-08.网络出版日期：2015-01-13. 非此即彼的性质。而实际上大多数对象并没有严格 基金项目：中央高校基础研究基金资助项目(2682014ZT28) 的属性，它们在形态和类属方面存在着中介性，往往 通信作者：卿铭.E-mail:qingming@5wjtu.cdu.cn-
第 员园 卷第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 摇摇摇 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 灾燥造援员园 翼援员 圆园员缘 年 圆 月摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 云藻遭援 圆园员缘 阅韵陨院员园援猿怨远怨 辕 躁援蚤泽泽灶援员远苑猿鄄源苑愿缘援圆园员源员园园园源援 网络出版地址院澡贼贼责院 辕 辕 憎憎憎援糟灶噪蚤援灶藻贼 辕 噪糟皂泽 辕 凿藻贼葬蚤造 辕 圆猿援员缘猿愿援栽孕援圆园员缘园员员猿援员员猿园援园园远援澡贼皂造 一种新的聚类有效性函数院模糊划分的模糊熵 卿铭员 袁孙晓梅圆 渊员援西南交通大学 数学学院袁四川 成都 远园园园猿员曰 圆援 河南工程学院 数学与物理科学系袁河南 郑州 源缘员员怨员冤 摘 要院模糊聚类分析结果是否合理的问题属于模糊聚类有效性判定课题袁其核心是模糊聚类有效性函数的构造遥 文中基于序关系定义了模糊划分模糊熵来描述模糊划分的模糊程度遥 考虑到现有的一类有效的模糊聚类有效性函 数就是基于数据集的模糊划分的袁因此文中也用模糊划分的模糊熵作为聚类有效性函数遥 实验表明袁模糊划分的模 糊熵作为模糊聚类的有效性函数是合理的尧可行的遥 关键词院模糊 悦 均值聚类曰模糊划分的模糊熵曰聚类有效性曰聚类分析曰模糊划分曰模糊熵曰熵函数曰模糊集 中图分类号院 栽孕 韵圆猿缘 摇 文献标志码院粤摇 文章编号院员远苑猿鄄源苑愿缘渊圆园员缘冤园员鄄园园苑缘鄄园远 中文引用格式院卿铭袁孙晓梅援一种新的聚类有效性函数院模糊划分的模糊熵咱允暂援 智能系统学报袁 圆园员缘袁 员园渊员冤 院 苑缘鄄愿园援 英文引用格式院匝陨晕郧 酝蚤灶早袁杂哉晕 载蚤葬燥皂藻蚤援 粤 灶藻憎 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 枣怎灶糟贼蚤燥灶院 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 燥枣 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 咱 允暂援 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽袁 圆园员缘袁 员园渊员冤 院 苑缘鄄愿园援 粤 灶藻憎 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 枣怎灶糟贼蚤燥灶院 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 燥枣 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 匝陨晕郧 酝蚤灶早员 袁 杂哉晕 载蚤葬燥皂藻蚤圆 渊员援杂糟澡燥燥造 燥枣 酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟泽袁 杂燥怎贼澡憎藻泽贼 允蚤葬燥贼燥灶早 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 悦澡藻灶早凿怎 远员园园猿员袁 悦澡蚤灶葬曰 圆援 阅藻责葬则贼皂藻灶贼 燥枣 酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟葬造 葬灶凿 孕澡赠泽蚤糟葬造 杂糟蚤鄄 藻灶糟藻袁 匀藻灶葬灶 陨灶泽贼蚤贼怎贼蚤燥灶 燥枣 耘灶早蚤灶藻藻则蚤灶早袁 在澡藻灶早扎澡燥怎 源缘员员怨员袁 悦澡蚤灶葬冤 粤遭泽贼则葬糟贼院陨灶 贼澡蚤泽 责葬责藻则袁 贼澡藻 凿藻贼藻则皂蚤灶葬贼蚤燥灶 贼澡葬贼 憎澡藻贼澡藻则 葬 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 葬灶葬造赠泽蚤泽 则藻泽怎造贼 蚤泽 则藻葬泽燥灶葬遭造藻 燥则 灶燥贼 蚤泽 凿藻鄄 糟蚤凿藻凿 遭赠 贼澡藻 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 燥枣 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 葬灶凿 蚤贼泽 糟燥则藻 蚤泽 贼澡藻 糟燥灶泽贼则怎糟贼蚤燥灶 燥枣 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 枣怎灶糟鄄 贼蚤燥灶援 栽澡蚤泽 责葬责藻则 责则燥责燥泽藻凿 葬 灶藻憎 糟燥灶糟藻责贼 燥枣 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 枣燥则 葬 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 贼燥 凿藻泽糟则蚤遭藻 枣怎扎扎赠 凿藻早则藻藻 燥枣 葬 枣怎扎扎赠 责葬则鄄 贼蚤贼蚤燥灶 遭葬泽藻凿 燥灶 葬灶 燥则凿藻则 则藻造葬贼蚤燥灶援 云怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 枣燥则 葬 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 蚤泽 葬造泽燥 糟燥灶泽蚤凿藻则藻凿 葬泽 葬 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 枣怎灶糟贼蚤燥灶 遭藻糟葬怎泽藻 泽燥皂藻 藻曾蚤泽贼蚤灶早 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 枣怎灶糟贼蚤燥灶泽 葬则藻 遭葬泽藻凿 燥灶 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 燥枣 凿葬贼葬 泽藻贼泽援 栽澡藻 藻曾责藻则蚤皂藻灶贼泽 凿藻皂燥灶泽贼则葬贼藻凿 贼澡葬贼 蚤贼 蚤泽 则藻葬泽燥灶葬遭造藻 葬灶凿 责则葬糟贼蚤糟葬遭造藻 贼燥 怎贼蚤造蚤扎藻 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 枣燥则 葬 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 葬泽 贼澡藻 藻枣鄄 枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽 枣怎灶糟贼蚤燥灶 燥枣 葬 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早援 运藻赠憎燥则凿泽院枣怎扎扎赠 悦原皂藻葬灶泽 糟造怎泽贼藻则蚤灶早曰 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 燥枣 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶曰 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 藻枣枣藻糟贼蚤增藻灶藻泽泽曰 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 葬灶葬造赠泽蚤泽曰 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶曰 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠曰 藻灶贼则燥责赠 枣怎灶糟贼蚤燥灶曰 枣怎扎扎赠 泽藻贼 收稿日期院圆园员源鄄员园鄄园愿援 摇 网络出版日期院圆园员缘鄄园员鄄员猿援 基金项目院中央高校基础研究基金资助项目渊圆远愿圆园员源在栽圆愿冤援 通信作者院卿铭援 耘鄄皂葬蚤造院择蚤灶早皂蚤灶早岳 泽憎躁贼怎援藻凿怎援糟灶援 摇 摇 聚类是一个在人类认识世界的过程中产生的古 老问题遥 在面对纷繁的大千世界时袁关注事物间的 相似性并以此来区别不同的事物袁对于人类来说是 一种清晰而直观的思路遥 而每个概念的最初形成无 不借助于事物间的聚类分析遥 因此聚类分析的研究 不仅具有重要的理论意义袁而且具有重要的工程应 用价值和人文价值遥 对于给定的数据集袁首先要判 断有无聚类结构袁这属于聚类趋势研究的课题曰如果 已经确认有聚类结构袁则需要用算法来确定这些结 构袁这属于聚类分析的研究课题曰得到结构后袁需要 分析尧判断聚类的结果是否合理袁这属于聚类有效性 研究的课题咱员暂 遥 传统的聚类分析是一种硬划分遥 它将每个待辨 识的对象严格地划分到某个类中袁其聚类结果具有 非此即彼的性质遥 而实际上大多数对象并没有严格 的属性袁它们在形态和类属方面存在着中介性袁往往
·76 智能系统学报 第10卷 具有亦此亦彼的性质，因此适合进行软划分。而模 糊集理论的提出，对聚类分析软划分的发展起到了 2,=1,,e[0,1,1≤i≤n,所以U代表了X 重要作用。用模糊的方法来处理聚类问题，称之为 的一个模糊c划分，U的一列就是一个X上的模糊 模糊聚类分析，是当前聚类分析研究的主流。 集。式(1)中参数m称为平滑因子，控制着模式在 关于聚类有效性问题的研究通常是基于硬C 模糊类中的分享程度)，因此，模糊聚类要得到好 均值聚类算法和模糊C均值聚类算法进行的。在 的效果就必须选定一个合适的m。然而，最佳m的 模糊聚类有效性函数中，基于数据集的模糊划分的 选取目前尚缺乏理论指导。Bezdek提出了交替优 有效性函数是很重要的一类，其观点是：好的分类聚 化算法（即人们所熟知的FCM算法）来解数学规划 类应对应于数据集较分明的划分，划分的分明性越 问题。Pal和Bezdek[)从聚类有效性的实验研究中 好，分类的不确定性就越小。尽管以Dunm)的划分 得出m合理取值范围为[1.5,2.5]。 系数为代表的聚类有效性函数取得一定的效果然而 下面给出文中采用的从随机初始化模糊划分矩 仍存在缺陷：划分系数有随类数增加而递减的趋势。 阵开始迭代FCM算法步骤[8 为克服这一缺点，范九伦2)、Dave[s)和Robubens 1)初始化：给定聚类类别数c(2≤c≤n,n 作了很多的工作。但仍未较好解决这一难题一聚 为样本点个数)、模糊加权指数m,设定迭代停止阈 类有效性函数随类数增加而递减（增）的趋势。其 值ε，随机初始化划分矩阵U,,设置迭代计数器 他一些学者也对模糊聚类的有效性做了深入的讨 b=0。 论[7-20)，但都不完善，有继续改进的余地。 2)计算或更新聚类原型模式矩阵P(): 文中借鉴好的聚类应对应于数据集较分明的划 ·x 分，划分的分明性越好，分类的不确定性就越小的学 -,i=1,2,…,c 术思想，基于序关系定义模糊划分的模糊熵来反映 模糊划分的模糊程度，并以其作为聚类有效性函数， 3)更新模糊划分矩阵U6+): 实验证明模糊划分的模糊熵作为模糊聚类的有效性 4)若11U+)-U)11<￡，输出划分矩阵U 函数是合理、有效的。 和聚类原型P等聚类信息，算法结束；否则，令b= FCM算法 b+1,转向2)。其中11川为合适的矩阵范数。 算法从随机初始化模糊划分矩阵开始迭代，这 X={x1,x2,…,xn}CR是数据集，n是数据的 样做的原因主要有3个：1)标准FCM算法本身并不 个数，c是事先确定的数据集的分类数目(1<c<n,c 能保证一定收敛到全局最优点，算法可能收敛于某 的最大取值限通常为cm≤万)，d与=I川x:-y,I|是 个极值点或局部最优点，由于模糊划分矩阵的随机 样本点x:与聚类中心或聚类原型(clustering proto- 性选取，通过对FCM算法的多次调用，可能会发现 type)y的某个距离度量（反映了样本x与v的失真 全局最优点。2)若从初始化聚类原型模式矩阵开 度)，，∈R(1≤j≤c)。u是第i个样本属于第j个 始迭代，初始聚类原型的选取有很多种方法，考虑到 中心的隶属度，则模糊聚类问题可表示成下面的数 算法的通用性，很难抉择一个优秀的选取方案，并且 学规划问题山： 一旦选取方案（这里不包括随机初始化聚类原型） 确定了，迭代过程就随之固定，算法可能始终收敛于 minJ (U,V)= (1) 某个极值点或局部最优点。3)随机初始化聚类原 s.t.U∈Me 型显然没有随机初始化划分矩阵方便，而且也没有 这里 什么客观的理由。 Me={U∈R|u∈[0,1]，Hi,j 2模糊划分的模糊熵 A,1. 文中基于序关系定义模糊划分的模糊嫡反映了 一个模糊划分的模糊程度。用F(X)表示X上所有 0<4,<nW 模糊集，对任意A,B∈F(X),称A≤FB当且仅当 是X的模糊c划分。因为X={x1,x2,…,xn}有限， A≤B,其中A=A∩A、B=B∩B、A、B分别为A
具有亦此亦彼的性质袁因此适合进行软划分遥 而模 糊集理论的提出袁对聚类分析软划分的发展起到了 重要作用遥 用模糊的方法来处理聚类问题袁称之为 模糊聚类分析袁是当前聚类分析研究的主流遥 关于聚类有效性问题的研究通常是基于硬 悦 均值聚类算法和模糊 悦 均值聚类算法进行的遥 在 模糊聚类有效性函数中袁基于数据集的模糊划分的 有效性函数是很重要的一类袁其观点是院好的分类聚 类应对应于数据集较分明的划分袁划分的分明性越 好袁分类的不确定性就越小遥 尽管以 阅怎灶灶咱源暂的划分 系数为代表的聚类有效性函数取得一定的效果然而 仍存在缺陷院划分系数有随类数增加而递减的趋势遥 为克服这一缺点袁范九伦咱圆鄄 猿暂 尧阅葬增藻咱缘暂 和 砸燥遭怎遭藻灶泽咱远暂 作了很多的工作遥 但仍未较好解决这一难题⎯⎯聚 类有效性函数随类数增加而递减渊增冤 的趋势遥 其 他一些学者也对模糊聚类的有效性做了深入的讨 论咱苑鄄圆园暂 袁但都不完善袁有继续改进的余地遥 摇 摇 文中借鉴好的聚类应对应于数据集较分明的划 分袁划分的分明性越好袁分类的不确定性就越小的学 术思想袁基于序关系定义模糊划分的模糊熵来反映 模糊划分的模糊程度袁并以其作为聚类有效性函数袁 实验证明模糊划分的模糊熵作为模糊聚类的有效性 函数是合理尧有效的遥 员摇 云悦酝 算法 摇 摇 载 越 喳曾员 袁 曾圆 袁噎袁曾灶 札 奂 砸泽 是数据集袁灶 是数据的 个数袁糟 是事先确定的数据集的分类数目渊员约糟约灶袁糟 的最大取值限通常为 糟 皂葬曾臆 灶 冤 袁 凿蚤躁 越 渣 渣 曾蚤原增躁 渣 渣是 样本点 曾蚤 与聚类中心或聚类原型渊 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 责则燥贼燥鄄 贼赠责藻冤 增躁 的某个距离度量渊反映了样本 曾蚤与 增躁的失真 度冤 袁增躁 ∈砸泽 渊员 臆 躁 臆 糟 冤 遥 怎蚤躁 是第 蚤 个样本属于第 躁 个 中心的隶属度袁则模糊聚类问题可表示成下面的数 学规划问题咱员暂 院 皂蚤灶允皂渊哉袁灾冤 越 移 灶 蚤 越 员 移 糟 躁 越 员 怎皂 蚤躁 凿圆 蚤躁 泽援贼援 哉 沂 酝枣糟 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 渊员冤 这里 酝枣糟 越 喳哉 沂 砸灶糟 渣 怎蚤躁 沂 咱园袁员暂 袁坌蚤袁躁 移 糟 躁 越 员 怎蚤躁 越 员袁坌蚤 园 约 移 灶 蚤 越 员 怎蚤躁 约 灶袁坌躁札 是 载 的模糊 糟 划分遥 因为 载 越 喳曾员 袁 曾圆 袁噎袁曾灶 札有限袁 移 糟 躁 越 员 怎蚤躁 越 员袁怎蚤躁 沂 咱园袁员暂 袁员 臆 蚤 臆 灶 袁所以 哉 代表了 载 的一个模糊 糟 划分袁哉 的一列就是一个 载 上的模糊 集遥 式渊员冤中参数 皂 称为平滑因子袁控制着模式在 模糊类中的分享程度咱愿暂 袁因此袁模糊聚类要得到好 的效果就必须选定一个合适的 皂遥 然而袁最佳 皂 的 选取目前尚缺乏理论指导遥 月藻扎凿藻噪 提出了交替优 化算法渊即人们所熟知的 云悦酝 算法冤来解数学规划 问题遥 孕葬造 和 月藻扎凿藻噪咱怨暂从聚类有效性的实验研究中 得出 皂 合理取值范围为咱员援缘袁 圆援缘暂遥 下面给出文中采用的从随机初始化模糊划分矩 阵开始迭代 云悦酝 算法步骤咱愿鄄怨暂 遥 员冤初始化院 给定聚类类别数 糟 渊圆臆 糟 臆 灶 袁 灶 为样本点个数冤 尧模糊加权指数 皂 袁设定迭代停止阈 值 着 袁随机初始化划分矩阵 哉渊园冤 袁设置迭代计数器 遭 越园遥 圆冤计算或更新聚类原型模式矩阵 孕渊遭冤 院 责渊遭冤 蚤 越 移 灶 噪 越 员 滋渊遭冤 蚤噪 窑曾噪 移 灶 噪 越 员 滋渊遭冤 蚤噪 袁蚤 越 员袁圆袁噎袁糟 摇 摇 猿冤更新模糊划分矩阵 哉渊遭垣员冤 曰 源冤若 渣 渣 哉渊遭垣员冤 原 哉渊遭冤 渣渣 约 着 袁输出划分矩阵 哉 和聚类原型 孕 等聚类信息袁算法结束曰否则袁令 遭 越 遭 垣 员袁转向 圆冤遥 其中 渣 渣窑渣 渣 为合适的矩阵范数遥 算法从随机初始化模糊划分矩阵开始迭代袁这 样做的原因主要有 猿 个院员冤标准 云悦酝 算法本身并不 能保证一定收敛到全局最优点袁算法可能收敛于某 个极值点或局部最优点袁由于模糊划分矩阵的随机 性选取袁通过对 云悦酝 算法的多次调用袁可能会发现 全局最优点遥 圆冤 若从初始化聚类原型模式矩阵开 始迭代袁初始聚类原型的选取有很多种方法袁考虑到 算法的通用性袁很难抉择一个优秀的选取方案袁并且 一旦选取方案渊这里不包括随机初始化聚类原型冤 确定了袁迭代过程就随之固定袁算法可能始终收敛于 某个极值点或局部最优点遥 猿冤 随机初始化聚类原 型显然没有随机初始化划分矩阵方便袁而且也没有 什么客观的理由遥 圆摇 模糊划分的模糊熵 文中基于序关系定义模糊划分的模糊熵反映了 一个模糊划分的模糊程度遥 用 云渊载冤 表示 载 上所有 模糊集袁对任意 粤袁月 沂 云渊载冤 袁称 粤 臆云 酝 月 当且仅当 粤 原 臆月 原 袁其中 粤 原 越 粤 疑 粤糟 尧月 原 越 月 疑 月糟 尧粤糟 尧月糟 分别为 粤尧 窑苑远窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 员园 卷
第1期 卿铭，等：一种新的聚类有效性函数：模糊划分的模糊嫡 77· B的补集，∩表示交集运算，八是取小运算。 定义1若U1=[A1,A2,…,A],U2=[B1,B2, 1)0≤E,(Uc)s4n(c-1) CP+1 …,B]是X上的2个模糊c划分，且满足A≤B, 2)E,(U:c)=0台U是硬划分： j=1,2,…,c,则称U1是U2的分明修改，记为U1 3)U=[1aE,(U5e= 4n(c-1) 0。 聚类有效性准则2.表示U∈Me的“最优”的 显然，下述的定理2、3是成立的。 定理2E,(U;c)是有限论域X上模糊划分模 有限集合，若存在（U°，c)满足E,(U°；c·)= 糊嫡。 min{minE(U;c)}则(U°，c)为最佳的有效性聚 定理3当1<c<n时，E(U;c)有如下性质： 类，c·为最好的分类数目
月 的补集袁 疑 表示交集运算袁 夷 是取小运算遥 定义 员摇 若 哉员 越 咱粤员 袁粤圆 袁噎袁粤糟暂 袁哉圆 越 咱月员 袁月圆 袁 噎袁月糟暂 是 载 上的 圆 个模糊 糟 划分袁且满足 粤躁臆云 酝 月躁 袁 躁 越 员袁圆袁噎袁 糟袁则称 哉员 是 哉圆 的分明修改袁记为 哉员 刍云 酝 哉圆 遥 记 载 上的所有模糊划分为 云孕 渊 载冤 遥 咱 葬暂 沂 云孕渊载冤 表示每个元素都是常数 葬 的划分矩阵遥 定理 员摇 渊云孕渊载冤袁刍云 酝 冤 满足以下性质院 员冤 渊云孕渊载冤袁刍云 酝 冤 是拟序集不是偏序集曰 圆冤硬划分是其极小元袁任何 圆 个硬划分都可 比袁且在同一个等价类中曰 猿冤咱员 辕 糟暂是其最大元遥 证明摇 员冤设 哉员 越 咱怎蚤躁暂 袁 哉圆 越 咱增蚤躁暂 遥 由定义 员袁 哉员 刍云 酝 哉圆 当且仅当任意 躁 越 员袁圆袁噎袁 糟袁 粤躁 臆云 酝 月躁 遥 即 哉员 刍云 酝 哉圆 当且仅当任意 蚤 越 员袁圆袁噎袁灶 袁 躁 越 员袁 圆袁噎袁糟 袁 皂蚤灶喳怎蚤躁袁员 原 怎蚤躁札 臆 皂蚤灶喳增蚤躁袁员 原 增蚤躁札 臆员 辕 圆遥 对 载 上的任意模糊划分 哉袁 哉 刍云 酝 哉 显然成立遥 若 哉员 刍云 酝 哉圆 袁 哉圆 刍云 酝 哉猿 袁 则 哉员 刍云 酝 哉猿 遥 所 以袁 渊云孕渊载冤袁 刍云 酝 冤 是一个拟序集遥 显 然 渊云孕渊载冤 袁 刍云 酝 冤 不是一个偏序集袁因为对任意 圆 个不同的硬划 分 哉员 尧哉圆 袁都有 哉员 刍云 酝 哉圆 且 哉圆 刍云 酝 哉员 袁但 哉圆 屹 哉员 遥 圆冤证明略遥 猿冤 由 于 哉员 尧 哉圆 是模糊划分袁 即 移 糟 躁 越 员 怎蚤躁 越 员袁 移 糟 躁 越 员 增蚤躁 越 员袁所以袁 渊云孕渊载冤袁刍云 酝 冤 的最大元是咱员 辕 糟暂而 不是咱员 辕 圆暂遥 由于咱员 辕 糟暂是 渊云孕渊载冤袁 刍云 酝 冤 最大元袁 所以咱员 辕 糟暂是最模糊的划分遥 定义 圆摇 一个实函数 耘院云孕渊载冤 寅 砸垣 称为有限 论域 载 上模糊 糟 划分的模糊熵渊简称模糊划分模糊 熵冤 袁如果 耘 满足院 员冤耘渊哉袁糟冤越 园 当且仅当 哉 是硬划分曰 圆冤 若 哉员和 哉圆都是模糊 糟 划分袁且 哉员 刍云 酝 哉圆 袁则 耘渊哉员 袁糟冤臆 耘渊哉圆 袁糟冤 遥 若定义 耘责渊哉曰糟冤 越 源 糟 责移 糟 躁 越 员 移 灶 蚤 越 员 怎蚤躁渊员 原 怎蚤躁冤 渊圆冤 式中院参数 责 跃 园遥 显然袁下述的定理 圆尧猿 是成立的遥 定理 圆 摇 耘责渊哉曰糟冤 是有限论域 载 上模糊划分模 糊熵遥 定理 猿 摇 当 员约 糟 约灶 时袁耘责渊哉曰 糟 冤有如下性质院 员冤 园臆耘责渊哉曰糟冤臆 源灶渊糟 原 员冤 糟 责垣员 曰 圆冤 耘责渊哉曰 糟 冤越 园 圳 哉 是硬划分曰 猿冤 哉越 咱 员 糟 暂 ⇔耘责渊哉曰糟冤越 源灶渊糟 原 员冤 糟 责垣员 遥 证明摇 员冤 因为 耘责渊哉曰糟冤逸园 明显成立袁只须证 耘责渊哉曰糟冤臆 源灶渊糟 原 员冤 糟 责垣员 遥 用拉格朗日乘数法院 蕴 越 源 糟 责移 糟 躁 越 员 移 灶 蚤 越 员 怎蚤躁渊员 原 怎蚤躁冤 垣 姿 员 原 移 糟 躁 越 员 ( ) 怎蚤躁 袁 则 令 鄣蕴 鄣怎蚤躁 越 源 糟 责 渊员 原 圆怎蚤躁冤 原 姿 越 园 员 臆 蚤 臆 灶 员 臆 躁 臆 糟 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 移 糟 躁 越 员 怎蚤躁 越 员 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 袁 摇 摇 解出 怎蚤躁 越 员 糟 袁员 臆 蚤 臆 灶袁员 臆 躁 臆 糟 为唯一驻点袁 显然 耘责渊哉曰糟冤臆 耘责渊 咱 员 糟 暂 曰糟冤 越 源灶渊糟 原 员冤 糟 责垣员 遥 性质 圆冤 尧猿冤显然成立遥 若记熵函数 澡渊怎冤 越 源怎渊员 原 怎冤 袁则 藻渊粤躁 冤 越 移 灶 蚤 越 员 澡渊粤渊曾蚤冤 冤 为第 躁 个类模糊集 粤躁 的模糊熵袁 躁 越 员袁圆袁噎袁糟 袁则 耘责渊哉曰糟冤 越 员 糟 责移 糟 躁 越 员 藻渊粤躁 冤 遥 摇 摇 猿冤如果采用其他的熵函数袁也可以得到类似的 结果遥 范九伦和吴成茂咱猿暂 基于模糊熵来定义聚类有 效性函数院 耘云宰渊哉曰糟冤 越 移 糟 躁 越 员 藻渊粤躁 冤遥 渊源冤 式中院 藻渊粤冤 越 员 灶 移 灶 蚤 越 员 澡渊粤渊曾蚤冤冤 遥 显然式渊猿冤与式渊源冤有类似之处遥 式渊猿冤中 责 越 园 即得式渊源冤遥 但强调 圆 点院员冤基于序关系得到公式 渊猿冤 曰圆冤参数 责 在聚类有效性分析中也起作用袁给出 参数 责 的初衷是克服划分系数及其他类似的聚类有 效性函数的缺陷遥 聚类有效性准则 赘糟 表示 哉 沂 酝枣糟 的野最优冶的 有限集合袁 若存在 渊 哉鄢袁糟 鄢冤 满 足 耘责渊哉鄢曰糟 鄢冤 越 皂蚤灶喳糟 皂蚤灶 赘糟 耘责渊哉曰糟冤 札 则 渊哉鄢袁糟 鄢冤 为最佳的有效性聚 类袁 糟 鄢 为最好的分类数目遥 第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 卿铭袁等院一种新的聚类有效性函数院模糊划分的模糊熵 窑苑苑窑
.78 智能系统学报 第10卷 3 模糊划分模糊熵作为聚类有效性 45m 40A 函数的实验结果 35 文中采用3组不同的数据，对E,(U;c)的聚类 30 25 有效性进行实验。实验所用数据如表1所示。它们 20 都是适合作为聚类有效性分析的典型数据集。 表13组典型实验数据 Table 1 Three types of classical experiment data 编号 样本点最佳分每类样本 类数样本数总数 说明 维数 10152025303540 图3c=4的聚类结果 由可分为6类的42 Fig.3 Clustering result for c=4 二维 6 100 600 个样本点扩展生成： 每类数据呈均匀分布 45 40 由三维空间中的5个 35 三维 2001000 点扩展生成，每类数 30 据呈均匀分布 25 Pal和Bezdek使用过 20 四维 4 100 400 的四维正态分布数据 0 对数据集I,调用FCM算法在不同分类数目c 下的情况见图1至图8，其中m=2,e=104。 0 0510152025303540 45 图4c=5的聚类结果 40 Fig.4 Clustering result for c=5 35 45 25 40 35 15 30 10 5 20 0 15 -5 510152025303540 10 1 图1c=2的聚类结果 Fig.I Clustering result for c=2 510152025303540 45 图5c=6的聚类结果 Fig.5 Clustering result for c=6 35 45 25 35 30 15 25 10 10 5 10152025303540 图2c=3的聚类结果 -5 0 510152025303540 Fig.2 Clustering result for c=3 图6c=7的聚类结果 Fig.6 Clustering result for c=7
猿摇 模糊划分模糊熵作为聚类有效性 函数的实验结果 摇 摇 文中采用 猿 组不同的数据袁对 耘责渊哉曰糟冤的聚类 有效性进行实验遥 实验所用数据如表 员 所示遥 它们 都是适合作为聚类有效性分析的典型数据集遥 表 员摇 猿 组典型实验数据 栽葬遭造藻 员摇 栽澡则藻藻 贼赠责藻泽 燥枣 糟造葬泽泽蚤糟葬造 藻曾责藻则蚤皂藻灶贼 凿葬贼葬 编号 样本点 维数 最佳分 类数 每类 样本数 样本 总数 说明 玉 二维 远 员园园 远园园 由可分为 远 类的 源圆 个样本点扩展生成袁 每类数据呈均匀分布 域 三维 缘 圆园园 员 园园园 由三维空间中的 缘 个 点扩展生成袁每类数 据呈均匀分布 芋 四维 源 员园园 源园园 孕葬造 和 月藻扎凿藻噪 使用过 的四维正态分布数据 摇 摇 对数据集玉袁调用 云悦酝 算法在不同分类数目 糟 下的情况见图 员 至图 愿袁其中 皂 越 圆袁 着 越 员园原源 遥 图 员摇 糟 越 圆 的聚类结果 云蚤早援员摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 圆 图 圆摇 糟 越 猿 的聚类结果 云蚤早援圆摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 猿 图 猿摇 糟 越 源 的聚类结果 云蚤早援猿摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 源 图 源摇 糟 越 缘 的聚类结果 云蚤早援源摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 缘 图 缘摇 糟 越 远 的聚类结果 云蚤早援缘摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 远 图 远摇 糟 越 苑 的聚类结果 云蚤早援远摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 苑 窑苑愿窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 员园 卷
第1期 卿铭，等：一种新的聚类有效性函数：模糊划分的模糊嫡 79· 可以知道数据集I真正的最优分类数是6，由 0 此可见此时E,(U;c)在m=1.5时有效，在m=2.0 35 和m=2.5时未得到最优分类，得到的是次优分类。 30 表3数据集ⅡE,(U;c)的值 Table 3 Values of E,(U;c)for data II 15 m o 1.7 2.0 2.3 5 507 871 1152 0 3 723 1175 1547 510152025303540 459 1036 1725 5 448 1019 1555 图7c=8的聚类结果 6 679 1319 1863 Fig.7 Clustering result for c=8 > 894 1541 2088 1105 1710 2264 45 9 1105 1710 2352 40 35 可以知道数据集Ⅱ真正的最优分类数是5，由 此可见，此时E,(U:c)在m=1.7时有效，在m=2.0 和m=2.3时未得到最优分类，得到的是次优分类。 20 表4数据集ⅢE,(U;c)的值 10 Table 4 Values of E,(U;c）for dataⅢ 5 m 0 1.6 2.0 2.4 510152025303540 511 690 766 514 790 934 图8c=9的聚类结果 4 420 780 980 Fig.8 Clustering result for c=9 5 571 929 1102 6 658 1020 1180 对数据集Ⅱ与Ⅲ，取m=2,e=104调用FCM > 720 1082 1234 算法在不同分类数目c下的聚类情况略去。 8 778 1128 1274 对数据集I、Ⅱ与Ⅲ，取p=1/n,s=104,且m 816 1165 1307 分别取1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0,2.1,2.2,2.3 可以知道数据集Ⅲ真正的最优分类数是4，由 2.4,2.5时调用FCM算法在不同分类数目c下E。 此可见，此时E,(U:c)在m=1.6时有效，在m=2.0 (U;c)的取值情况做了计算。部分情况见表2~4。 和m=2.4时未得到最优分类，得到的是次优分类。 表中黑体部分对应E,(U:c)的最小值，相应的c值 即聚类算法决定的“最优”分类数。 4 结束语 表2数据集IE,(U;c)的值 基于序关系定义了数据集模糊划分的模糊嫡并 Table 2 Values of E(U;c)for data I 将其作为模糊聚类有效性函数。从3个实验数据集 的模糊聚类有效性验证来看，E,(U;c)中的参数取 1.5 2.0 2.5 p=1/n,也总存在合适的参数m(对数据据集I, 163 563 793 m=1.5:对数据集Ⅱ，m=1.7:对数据集Ⅲ，m= 3 240 697 1011 1.6)使得模糊划分的模糊嫡E,(U;c)作为聚类有 4 256 664 1011 效性函数是有效、可行的。下一步，将考虑参数p与 m的最优组合问题。 5 212 632 1052 6 101 574 1087 参考文献： 7 170 709 1225 [1]范九伦.模糊聚类新算法与聚类有效性问题研究[D] 8 246 795 1322 西安：西安电子科技大学，1998：52-77. 300 879 1395 FAN Jiulun.The studies on some new algorithms of fuzzy
图 苑摇 糟 越 愿 的聚类结果 云蚤早援苑摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 愿 图 愿摇 糟 越 怨 的聚类结果 云蚤早援愿摇 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 则藻泽怎造贼 枣燥则 糟 越 怨 摇 摇 对数据集域与芋袁取 皂 越 圆袁 着 越 员园原源 调用 云悦酝 算法在不同分类数目 糟 下的聚类情况略去遥 对数据集玉尧域与芋袁取 责 越 员 辕 灶 袁 着 越 员园原源 袁且 皂 分别取 员援缘袁 员援远袁 员援苑袁员援愿袁 员援怨袁 圆援园袁 圆援员袁 圆援圆袁 圆援猿袁 圆援源袁 圆援缘 时调用 云悦酝 算法在不同分类数目 糟 下 耘责 渊哉曰糟冤的取值情况做了计算遥 部分情况见表 圆 耀 源遥 表中黑体部分对应 耘责渊哉曰糟冤的最小值袁相应的 糟 值 即聚类算法决定的野最优冶分类数遥 表 圆摇 数据集玉耘责渊哉曰糟冤的值 栽葬遭造藻 圆摇 灾葬造怎藻泽 燥枣 耘责渊哉曰糟冤 枣燥则 凿葬贼葬 玉 糟 皂 员援缘 圆援园 圆援缘 圆 员远猿 缘远猿 苑怨猿 猿 圆源园 远怨苑 员园员员 源 圆缘远 远远源 员园员员 缘 圆员圆 远猿圆 员园缘圆 远 员园员 缘苑源 员园愿苑 苑 员苑园 苑园怨 员圆圆缘 愿 圆源远 苑怨缘 员猿圆圆 怨 猿园园 愿苑怨 员猿怨缘 摇 摇 可以知道数据集玉真正的最优分类数是 远袁由 此可见此时 耘责渊哉曰糟冤在 皂 越 员援缘 时有效袁在 皂 越 圆援园 和 皂 越 圆援缘 时未得到最优分类袁得到的是次优分类遥 表 猿摇 数据集域耘责渊哉曰糟冤的值 栽葬遭造藻 猿 灾葬造怎藻泽 燥枣 耘责渊哉曰糟冤 枣燥则 凿葬贼葬 域 糟 皂 员援苑 圆援园 圆援猿 圆 缘园苑 愿苑员 员员缘圆 猿 苑圆猿 员员苑缘 员缘源苑 源 源缘怨 员园猿远 员苑圆缘 缘 源源愿 员园员怨 员缘缘缘 远 远苑怨 员猿员怨 员愿远猿 苑 愿怨源 员缘源员 圆园愿愿 愿 员员园缘 员苑员园 圆圆远源 怨 员员园缘 员苑员园 圆猿缘圆 摇 摇 可以知道数据集域真正的最优分类数是 缘袁由 此可见袁此时 耘责渊哉曰糟冤在 皂 越 员援苑 时有效袁在 皂 越 圆援园 和 皂 越 圆援猿 时未得到最优分类袁得到的是次优分类遥 表 源摇 数据集芋 耘责渊哉曰糟冤的值 栽葬遭造藻 源摇 灾葬造怎藻泽 燥枣 耘责渊哉曰糟冤 枣燥则 凿葬贼葬 芋 糟 皂 员援远 圆援园 圆援源 圆 缘员员 远怨园 苑远远 猿 缘员源 苑怨园 怨猿源 源 源圆园 苑愿园 怨愿园 缘 缘苑员 怨圆怨 员员园圆 远 远缘愿 员 园圆园 员 员愿园 苑 苑圆园 员 园愿圆 员 圆猿源 愿 苑苑愿 员 员圆愿 员 圆苑源 怨 愿员远 员 员远缘 员 猿园苑 摇 摇 可以知道数据集芋真正的最优分类数是 源袁由 此可见袁此时 耘责渊哉曰糟冤在 皂 越 员援远 时有效袁在 皂 越 圆援园 和 皂 越 圆援源 时未得到最优分类袁得到的是次优分类遥 源 摇 结束语 基于序关系定义了数据集模糊划分的模糊熵并 将其作为模糊聚类有效性函数遥 从 猿 个实验数据集 的模糊聚类有效性验证来看袁耘责渊哉曰糟冤中的参数取 责 越员 辕 灶 袁也总存在合适的参数 皂渊对数据据集 玉袁 皂 越 员援缘曰对数据集 域袁 皂 越 员援苑曰 对数据集 芋袁皂 越 员援远冤 使得模糊划分的模糊熵 耘责渊哉曰糟冤 作为聚类有 效性函数是有效尧可行的遥 下一步袁将考虑参数 责 与 皂 的最优组合问题遥 参考文献院 咱员暂范九伦援 模糊聚类新算法与聚类有效性问题研究咱阅暂援 西安院西安电子科技大学袁 员怨怨愿院 缘圆鄄苑苑援 云粤晕 允蚤怎造怎灶援 栽澡藻 泽贼怎凿蚤藻泽 燥灶 泽燥皂藻 灶藻憎 葬造早燥则蚤贼澡皂泽 燥枣 枣怎扎扎赠 第 员 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 卿铭袁等院一种新的聚类有效性函数院模糊划分的模糊熵 窑苑怨窑
·80· 智能系统学报 第10卷 clustering and clustering validity [D].Xian:Xidian Univer- ZHU Wenjie,WU Nan,HU Xuegang.Improved cluster sity,1998:1-165. validity index for fuzzy clustering [J].Computer Engineer- [2]范九伦，吴成茂.可能性划分系数和模糊变差相结合的聚 ing and Applications,2011,45(5):206-209. 类有效性函数[J].电子与信息学报，2002,24(8)： [15]胡春春，孟令奎，谢文君，等.空间数据模糊聚类的有效 1017-1021. 性评价[J].武汉大学学报，2007,32(8)：740-743. FAN Jiulun,WU Chengmao.Clustering validity function HU Chunchun,MENG Lingkui,XIE Wenjun,et al.Va- based on possibilistic partition coefficient combined with lidity measure on fuzzy clustering for spatial data [J]. fuzzy variation [Journal of Electronics and Information Journal of Wuhan University,2007,32(8):740-743. Technology,2002,24(8):1017-1021. [16]郑弘亮，徐本强，赵晓慧，等.新的模糊聚类有效性指标 [3]范九伦，吴成茂.基于模糊熵的聚类有效性函数[J].模 [J].计算机应用，2014,34(8)：2166-2169. 式识别与人工智能.2001,14(4)：390-394. ZHENG Hongliang,XU Benqiang,ZHAO Xiaohui,et al. FAN Jiulun,WU Chengmao.Clustering validity function Novel validity index for fuzzy clustering [J].Journal of based on fuzzy entropy [J].Pattern Recongnition and Artifi- Computer Applications,2014,34(8):2166-2169. cial Intelligence,2001,14(4):390-394. [17]王丽娜，马晓晓.一种改进的模糊聚类有效性指标[J刀 [4]DUN J C.Some recent investigations of a new fuzzy parti- 微电子学与计算机，2014,31(4)：68-74. tions algorithm and its application to classification problems WANG Lina,MA Xiaoxiao.An improved validity index for [J].J Cybernet,1974(4):1-15. clustering[J].Microelectronics and Computer,2014,31 [5]DAVE R N.Validating fuzzy partition obtained through c- (4):68-74. shells clustering [J].Pattern Recognition Letters,1996( [18]张宇献，刘通，董晓，等.基于改进划分系数的模糊聚类 17):613-623. 有效性函数[J].沈阳工业大学学报.2014,36(4)： [6]ROBUBENS M.Pattern classification problems and fuzzy 431-435. sets [J].Fuzzy Sets Systems,1978,1:239-253. ZHANG Yuxian,LIU Tong,DONG Xiao,et al.Validity [7]BEZDEK J C,HARRIS J.Fuzzy partitions and relations- function for fuzzy clustering based on improved partition co- an axiomatic basis for clustering[].Fuzzy Sets and Sys- efficient []]Journal of Shenyang University of Technolo- tems,1978(1):111-126. 鄂，2014,36(4)：431-435. [8]BEZDEK J C.Pattern recognition with fuzzy objective func- [19]普运伟，金炜东，朱明，等.核模糊C均值算法的聚类有 tion algorithms M].New York:Plenum Press,1981:105- 效性研究[J].计算机科学，2007,34(2)：207-210. 133. PU Yunwei,JIN Weidong,ZHU Ming,et al.On cluster [9]PAL N R,BEZDEK J C.On cluster validity for fuzzy C- validity for kernelized fuzzy C-means algorithm [J].Com- means model J].IEEE Trans Fuzzy Systems,1995(3): puter Science,2007,34(2):207-210. 370-379. [20]姚晓红，任珂珂，赵花妮，等.一种新的模糊聚类有效性 [10]ZHANG Huangxiang,LU Jin.Creating ensembles of classi- 指标的验证[J].洛阳理工学院学报，2012,22(3)：76- fiers via fuzzy clustering and deflection [J].Fuzzy Sets 79. and Systems,2010(160):1790-1802. YAO Xiaohong,REN Keke,ZHAO Huani,et al.The ver- [11]YU Jian,YANG Minshen,LEE E S.Sample-weighted ification of a new fuzzy clustering validity index[].Jour- clustering methods [J].Computers and Mathematics with nal of Luoyang Institute of Science and Technology,2012. Applications,2011(62):2200-2208. 22(3):76-79 [12]岳士弘，黄堤，王鹏龙.基于矩阵特征值分析的模糊聚 作者简介： 类有效性指标[J].天津大学学报，2014,47(8)：689 卿铭，男，1971年生，副教授，主要 696. 研究方向为智能信息处理、系统可信性 YUE Shihong,HUANG Ti,WANG Penglong.Matrix ei- 分析，发表学术论文20余篇。 genvalue analysis-based clustering validity index [J].Jour- nal of Tianjin University,2014,47(8):689-696. [13]张大庆，徐再花.一种新的模糊聚类有效性指标[J].沈 阳农业大学学报，2012,14(5)：636-639 ZHANG Daging,XU Zaihua.A new validity index for fuzz- 孙晓梅，女，1962年生，副教授，主 y clustering [J].Journal of Shenyang Agricultural Univer- 要研究方向为组合最优化。 sity,2012,14(5):636-639. [14]朱文婕，吴楠，胡学钢.一个改进的模糊聚类有效性指 标[J].计算机工程与应用，2011,45(5)：206-209
糟造怎泽贼藻则蚤灶早 葬灶凿 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 增葬造蚤凿蚤贼赠 咱阅暂援 载蚤葬灶院 载蚤凿蚤葬灶 哉灶蚤增藻则鄄 泽蚤贼赠袁 员怨怨愿院 员鄄员远缘援 咱圆暂范九伦袁吴成茂援可能性划分系数和模糊变差相结合的聚 类有效性函数 咱允暂援 电子与信息学报袁 圆园园圆袁 圆源 渊 愿 冤 院 员园员苑鄄员园圆员援 云粤晕 允蚤怎造怎灶袁 宰哉 悦澡藻灶早皂葬燥援 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 增葬造蚤凿蚤贼赠 枣怎灶糟贼蚤燥灶 遭葬泽藻凿 燥灶 责燥泽泽蚤遭蚤造蚤泽贼蚤糟 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 糟燥藻枣枣蚤糟蚤藻灶贼 糟燥皂遭蚤灶藻凿 憎蚤贼澡 枣怎扎扎赠 增葬则蚤葬贼蚤燥灶 咱 允暂援 允燥怎则灶葬造 燥枣 耘造藻糟贼则燥灶蚤糟泽 葬灶凿 陨灶枣燥则皂葬贼蚤燥灶 栽藻糟澡灶燥造燥早赠袁 圆园园圆袁 圆源渊愿冤 院 员园员苑鄄员园圆员援 咱猿暂范九伦袁吴成茂援基于模糊熵的聚类有效性函数咱允暂援 模 式识别与人工智能袁圆园园员袁员源渊源冤 院 猿怨园鄄猿怨源援 云粤晕 允蚤怎造怎灶袁 宰哉 悦澡藻灶早皂葬燥援 悦造怎泽贼藻则蚤灶早 增葬造蚤凿蚤贼赠 枣怎灶糟贼蚤燥灶 遭葬泽藻凿 燥灶 枣怎扎扎赠 藻灶贼则燥责赠 咱 允暂援 孕葬贼贼藻则灶 砸藻糟燥灶早灶蚤贼蚤燥灶 葬灶凿 粤则贼蚤枣蚤鄄 糟蚤葬造 陨灶贼藻造造蚤早藻灶糟藻袁 圆园园员袁员源渊源冤 院 猿怨园鄄猿怨源援 咱源暂阅哉晕 允 悦援 杂燥皂藻 则藻糟藻灶贼 蚤灶增藻泽贼蚤早葬贼蚤燥灶泽 燥枣 葬 灶藻憎 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤鄄 贼蚤燥灶泽 葬造早燥则蚤贼澡皂 葬灶凿 蚤贼泽 葬责责造蚤糟葬贼蚤燥灶 贼燥 糟造葬泽泽蚤枣蚤糟葬贼蚤燥灶 责则燥遭造藻皂泽 咱 允暂援 允 悦赠遭藻则灶藻贼袁 员怨苑源渊源冤 院 员鄄员缘援 咱缘暂 阅粤灾耘 砸 晕援 灾葬造蚤凿葬贼蚤灶早 枣怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 燥遭贼葬蚤灶藻凿 贼澡则燥怎早澡 糟鄄 泽澡藻造造泽 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 咱 允暂援 孕葬贼贼藻则灶 砸藻糟燥早灶蚤贼蚤燥灶 蕴藻贼贼藻则泽袁 员怨怨远 渊 员苑冤 院 远员猿鄄远圆猿援 咱远暂 砸韵月哉月耘晕杂 酝援 孕葬贼贼藻则灶 糟造葬泽泽蚤枣蚤糟葬贼蚤燥灶 责则燥遭造藻皂泽 葬灶凿 枣怎扎扎赠 泽藻贼泽 咱 允暂援 云怎扎扎赠 杂藻贼泽 杂赠泽贼藻皂泽袁 员怨苑愿袁 员院 圆猿怨鄄圆缘猿援 咱苑暂月耘在阅耘运 允 悦袁 匀粤砸砸陨杂 允援 云怎扎扎赠 责葬则贼蚤贼蚤燥灶泽 葬灶凿 则藻造葬贼蚤燥灶泽要 葬灶 葬曾蚤燥皂葬贼蚤糟 遭葬泽蚤泽 枣燥则 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 咱 允暂援 云怎扎扎赠 杂藻贼泽 葬灶凿 杂赠泽鄄 贼藻皂泽袁 员怨苑愿渊员冤 院 员员员鄄员圆远援 咱愿暂月耘在阅耘运 允 悦援 孕葬贼贼藻则灶 则藻糟燥早灶蚤贼蚤燥灶 憎蚤贼澡 枣怎扎扎赠 燥遭躁藻糟贼蚤增藻 枣怎灶糟鄄 贼蚤燥灶 葬造早燥则蚤贼澡皂泽 咱酝暂援 晕藻憎 再燥则噪院孕造藻灶怎皂 孕则藻泽泽袁 员怨愿员院 员园缘鄄 员猿猿援 咱怨暂 孕粤蕴 晕 砸袁 月耘在阅耘运 允 悦援 韵灶 糟造怎泽贼藻则 增葬造蚤凿蚤贼赠 枣燥则 枣怎扎扎赠 悦 鄄 皂藻葬灶泽 皂燥凿藻造 咱 允暂援 陨耘耘耘 栽则葬灶泽 云怎扎扎赠 杂赠泽贼藻皂泽袁 员怨怨缘渊 猿冤 院 猿苑园鄄猿苑怨援 咱员园暂在匀粤晕郧 匀怎葬灶早曾蚤葬灶早袁 蕴哉 允蚤灶援 悦则藻葬贼蚤灶早 藻灶泽藻皂遭造藻泽 燥枣 糟造葬泽泽蚤鄄 枣蚤藻则泽 增蚤葬 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 葬灶凿 凿藻枣造藻糟贼蚤燥灶 咱 允暂援 云怎扎扎赠 杂藻贼泽 葬灶凿 杂赠泽贼藻皂泽袁 圆园员园渊员远园冤 院 员苑怨园鄄员愿园圆援 咱员员暂 再哉 允蚤葬灶袁 再粤晕郧 酝蚤灶泽澡藻灶袁 蕴耘耘 耘 杂援 杂葬皂责造藻鄄憎藻蚤早澡贼藻凿 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 皂藻贼澡燥凿泽 咱 允暂援 悦燥皂责怎贼藻则泽 葬灶凿 酝葬贼澡藻皂葬贼蚤糟泽 憎蚤贼澡 粤责责造蚤糟葬贼蚤燥灶泽袁 圆园员员渊远圆冤院 圆圆园园鄄圆圆园愿援 咱员圆暂岳士弘袁黄媞袁王鹏龙援 基于矩阵特征值分析的模糊聚 类有效性指标咱允暂援 天津大学学报袁圆园员源袁 源苑渊 愿冤 院 远愿怨鄄 远怨远援 再哉耘 杂澡蚤澡燥灶早袁 匀哉粤晕郧 栽蚤袁 宰粤晕郧 孕藻灶早造燥灶早援 酝葬贼则蚤曾 藻蚤鄄 早藻灶增葬造怎藻 葬灶葬造赠泽蚤泽鄄遭葬泽藻凿 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 增葬造蚤凿蚤贼赠 蚤灶凿藻曾 咱 允暂援 允燥怎则鄄 灶葬造 燥枣 栽蚤葬灶躁蚤灶 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 圆园员源袁 源苑渊愿冤 院 远愿怨鄄远怨远援 咱员猿暂张大庆袁徐再花援 一种新的模糊聚类有效性指标咱允暂援 沈 阳农业大学学报袁 圆园员圆袁 员源渊缘冤 院 远猿远鄄远猿怨援 在匀粤晕郧 阅葬择蚤灶早袁 载哉 在葬蚤澡怎葬援 粤 灶藻憎 增葬造蚤凿蚤贼赠 蚤灶凿藻曾 枣燥则 枣怎扎扎鄄 赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 咱 允暂援 允燥怎则灶葬造 燥枣 杂澡藻灶赠葬灶早 粤早则蚤糟怎造贼怎则葬造 哉灶蚤增藻则鄄 泽蚤贼赠袁 圆园员圆袁 员源渊缘冤 院 远猿远鄄远猿怨援 咱员源暂朱文婕袁吴楠袁胡学钢援 一个改进的模糊聚类有效性指 标咱允暂援 计算机工程与应用袁 圆园员员袁 源缘渊缘冤院 圆园远鄄圆园怨援 在匀哉 宰藻灶躁蚤藻袁 宰哉 晕葬灶袁 匀哉 载怎藻早葬灶早援 陨皂责则燥增藻凿 糟造怎泽贼藻则 增葬造蚤凿蚤贼赠 蚤灶凿藻曾 枣燥则 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 咱 允暂援 悦燥皂责怎贼藻则 耘灶早蚤灶藻藻则鄄 蚤灶早 葬灶凿 粤责责造蚤糟葬贼蚤燥灶泽袁 圆园员员袁 源缘渊缘冤 院 圆园远鄄圆园怨援 咱员缘暂胡春春袁孟令奎袁谢文君袁等援 空间数据模糊聚类的有效 性评价咱允暂援武汉大学学报袁 圆园园苑袁 猿圆渊愿冤 院 苑源园鄄苑源猿援 匀哉 悦澡怎灶糟澡怎灶袁 酝耘晕郧 蕴蚤灶早噪怎蚤袁 载陨耘 宰藻灶躁怎灶袁 藻贼 葬造援 灾葬鄄 造蚤凿蚤贼赠 皂藻葬泽怎则藻 燥灶 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 枣燥则 泽责葬贼蚤葬造 凿葬贼葬 咱 允 暂援 允燥怎则灶葬造 燥枣 宰怎澡葬灶 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 圆园园苑袁 猿圆渊愿冤 院 苑源园鄄苑源猿援 咱员远暂郑弘亮袁徐本强袁赵晓慧袁等援 新的模糊聚类有效性指标 咱允暂援 计算机应用袁 圆园员源袁 猿源渊愿冤 院 圆员远远鄄圆员远怨援 在匀耘晕郧 匀燥灶早造蚤葬灶早袁 载哉 月藻灶择蚤葬灶早袁 在匀粤韵 载蚤葬燥澡怎蚤袁 藻贼 葬造援 晕燥增藻造 增葬造蚤凿蚤贼赠 蚤灶凿藻曾 枣燥则 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 咱 允暂援 允燥怎则灶葬造 燥枣 悦燥皂责怎贼藻则 粤责责造蚤糟葬贼蚤燥灶泽袁 圆园员源袁 猿源渊愿冤 院 圆员远远鄄圆员远怨援 咱员苑暂王丽娜袁马晓晓援 一种改进的模糊聚类有效性指标咱允暂援 微电子学与计算机袁 圆园员源袁 猿员渊源冤 院 远愿鄄苑源援 宰粤晕郧 蕴蚤灶葬袁 酝粤 载蚤葬燥曾蚤葬燥援 粤灶 蚤皂责则燥增藻凿 增葬造蚤凿蚤贼赠 蚤灶凿藻曾 枣燥则 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 咱 允暂援 酝蚤糟则燥藻造藻糟贼则燥灶蚤糟泽 葬灶凿 悦燥皂责怎贼藻则袁 圆园员源袁 猿员 渊源冤 院 远愿鄄苑源援 咱员愿暂张宇献袁刘通袁董晓袁等援 基于改进划分系数的模糊聚类 有效性函数咱允暂援 沈阳工业大学学报袁 圆园员源袁 猿远 渊 源冤 院 源猿员鄄源猿缘援 在匀粤晕郧 再怎曾蚤葬灶袁 蕴陨哉 栽燥灶早袁 阅韵晕郧 载蚤葬燥袁 藻贼 葬造援 灾葬造蚤凿蚤贼赠 枣怎灶糟贼蚤燥灶 枣燥则 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 遭葬泽藻凿 燥灶 蚤皂责则燥增藻凿 责葬则贼蚤贼蚤燥灶 糟燥鄄 藻枣枣蚤糟蚤藻灶贼 咱 允暂援 允燥怎则灶葬造 燥枣 杂澡藻灶赠葬灶早 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠 燥枣 栽藻糟澡灶燥造燥鄄 早赠袁 圆园员源袁 猿远渊源冤 院 源猿员鄄源猿缘援 咱员怨暂普运伟袁金炜东袁朱明袁等援 核模糊 悦 均值算法的聚类有 效性研究咱允暂援 计算机科学袁圆园园苑袁 猿源渊圆冤 院 圆园苑鄄圆员园援 孕哉 再怎灶憎藻蚤袁 允陨晕 宰藻蚤凿燥灶早袁 在匀哉 酝蚤灶早袁 藻贼 葬造援 韵灶 糟造怎泽贼藻则 增葬造蚤凿蚤贼赠 枣燥则 噪藻则灶藻造蚤扎藻凿 枣怎扎扎赠 悦 鄄皂藻葬灶泽 葬造早燥则蚤贼澡皂 咱 允暂援 悦燥皂鄄 责怎贼藻则 杂糟蚤藻灶糟藻袁 圆园园苑袁 猿源渊圆冤 院 圆园苑鄄圆员园援 咱圆园暂姚晓红袁任珂珂袁赵花妮袁等援 一种新的模糊聚类有效性 指标的验证咱允暂援 洛阳理工学院学报袁 圆园员圆袁 圆圆渊猿冤 院 苑远鄄 苑怨援 再粤韵 载蚤葬燥澡燥灶早袁 砸耘晕 运藻噪藻袁 在匀粤韵 匀怎葬灶蚤袁 藻贼 葬造援 栽澡藻 增藻则鄄 蚤枣蚤糟葬贼蚤燥灶 燥枣 葬 灶藻憎 枣怎扎扎赠 糟造怎泽贼藻则蚤灶早 增葬造蚤凿蚤贼赠 蚤灶凿藻曾 咱 允暂援 允燥怎则鄄 灶葬造 燥枣 蕴怎燥赠葬灶早 陨灶泽贼蚤贼怎贼藻 燥枣 杂糟蚤藻灶糟藻 葬灶凿 栽藻糟澡灶燥造燥早赠袁 圆园员圆袁 圆圆渊猿冤 院 苑远鄄苑怨援 作者简介院 摇 摇 卿铭袁男袁员怨苑员 年生袁副教授袁主要 研究方向为智能信息处理尧系统可信性 分析袁发表学术论文 圆园 余篇遥 孙晓梅袁女袁员怨远圆 年生袁副教授袁主 要研究方向为组合最优化遥 窑愿园窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 员园 卷