智能系统：广播信号下非一致多智能体系统的能控性

第9卷第4期 智能系统学报 Vol.9 No.4 2014年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Agu.2014 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201401011 网络出版t地址：http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-4785.201401011.html 广播信号下非一致多智能体系统的能控性 王晓晓，纪志坚 (青岛大学自动化工程学院，山东青岛266071) 摘要：能控性是多智能体系统研究的核心问题，而与实际工程的动态网络更为接近的非一致的多智能体系统的能 控性问题更是重中之重，为此，采用图论和矩阵论的方法研究了在广播控制信号下，存在邻域信息交互的非一致的 非定向多智能体系统的能控性问题，得出了使其能控的充分必要条件，并在非一致动态下研究了路径和完备图的能 控性。非一致情形在广播信号下，路和完备图的能控性发生变化。所得结果表明，多智能体系统的拓扑结构和非一 致动态决定了系统的能控性，非一致动态使得多智能体系统的能控性出现了新的特点，使问题更加复杂。指出了无 向图下改善非一致多智能体系统能控性的方法。 关键词：多智能体系统：能控性：非一致动态：邻域信息交互：广播控制信号：图论：矩阵论：路径：完备图 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2014)04-401-06 中文引用格式：王晓晓，纪志坚.广播信号下非一致多智能体系统的能控性[J].智能系统学报，2014,9(4)：401-406. 英文引用格式：WANG Xiaoxiao,JI Zhijian.Controllability of non-identical multi-agent systems under a broadcasting control signal J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9(4):401-406. Controllability of non-identical multi-agent systems under a broadcasting control signal WANG Xiaoxiao,JI Zhijian College of Automation Engineering,Qingdao University,Qingdao 266071,China) Abstract:Controllability is a key issue in the study of multi-agent systems,and the controllability of a multi-agent system with non-identical node dynamics which is closer to the actual engineering dynamic network is paramount.So as a result in this paper,the controllability of a multi-agent system is studied by using both the graph theory and the matrix theory,where agents interconnect via the neighbor-based rule and the undirected dynamical system consists of non-identical agents receiving a common exogenous control signal,which is called a broadcasting control signal. A necessary and sufficient condition is derived for a non-identical node dynamics system to be controllable.The controllability of the path and the complete graph is studied under the non-identical node dynamics.It is shown that the controllability of the path and the complete graph changes when the non-identical agents receive a broadcasting control signal.In particular,it is shown that the controllability of a multi-agent system is determined by the topology structure of the interconnection graph and the non-identical dynamics of the agents.Compared with the identical dy- namics,the controllability of multi-agent systems exhibits new features and becomes more complicated when the dy- namics of the agents is non-identical.Some methods for improving the controllability of a non-identical node dynam- ics system are also pointed out at the end of the paper. Keywords:multi-agent system;controllability;non-identical dynamics;neighbor-based rule;broadcasting control signal;graph theory;matrix theory;path;complete graph 收稿日期：2014-01-06.网络出版日期：2014-06-21. 多智能体系统的能控性问题已引起学术界的高 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61374062). 通信作者：纪志坚.E-mail:jizhijian(@pku.og.cn. 度重视。对该问题的研究源于自然界中普遍存在的

第 怨 卷第 源 期摇摇摇摇摇 摇摇摇 摇摇摇 摇摇摇 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 灾燥造援怨 翼援源 圆园员源 年 愿 月摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 粤早怎援 圆园员源 阅韵陨院员园援猿怨远怨 辕 躁援蚤泽泽灶援员远苑猿鄄源苑愿缘援圆园员源园员园员员 网络出版地址院澡贼贼责院 辕 辕 憎憎憎援糟灶噪蚤援灶藻贼 辕 噪糟皂泽 辕 凿燥蚤 辕 员园援猿怨远怨 辕 躁援蚤泽泽灶援员远苑猿鄄源苑愿缘援圆园员源园员园员员援澡贼皂造 广播信号下非一致多智能体系统的能控性 王晓晓袁纪志坚 渊青岛大学 自动化工程学院袁山东 青岛 圆远远园苑员冤 摘 要院能控性是多智能体系统研究的核心问题袁而与实际工程的动态网络更为接近的非一致的多智能体系统的能 控性问题更是重中之重袁为此袁采用图论和矩阵论的方法研究了在广播控制信号下袁存在邻域信息交互的非一致的 非定向多智能体系统的能控性问题袁得出了使其能控的充分必要条件袁并在非一致动态下研究了路径和完备图的能 控性遥 非一致情形在广播信号下袁路和完备图的能控性发生变化遥 所得结果表明袁多智能体系统的拓扑结构和非一 致动态决定了系统的能控性袁非一致动态使得多智能体系统的能控性出现了新的特点袁使问题更加复杂遥 指出了无 向图下改善非一致多智能体系统能控性的方法遥 关键词院多智能体系统曰能控性曰非一致动态曰邻域信息交互曰广播控制信号曰图论曰矩阵论曰路径曰完备图 中图分类号院栽孕圆苑猿摇 文献标志码院粤摇 文章编号院员远苑猿鄄源苑愿缘渊圆园员源冤园源鄄源园员鄄园远 中文引用格式院王晓晓袁纪志坚援 广播信号下非一致多智能体系统的能控性咱允暂援 智能系统学报袁 圆园员源袁 怨渊源冤 院 源园员鄄源园远援 英文引用格式院宰粤晕郧 载蚤葬燥曾蚤葬燥袁 允陨 在澡蚤躁蚤葬灶援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽 怎灶凿藻则 葬 遭则燥葬凿糟葬泽贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造 咱允暂援 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽袁 圆园员源袁 怨渊源冤 院 源园员鄄源园远援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽 怎灶凿藻则 葬 遭则燥葬凿糟葬泽贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造 宰粤晕郧 载蚤葬燥曾蚤葬燥袁 允陨 在澡蚤躁蚤葬灶 渊悦燥造造藻早藻 燥枣 粤怎贼燥皂葬贼蚤燥灶 耘灶早蚤灶藻藻则蚤灶早袁 匝蚤灶早凿葬燥 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 匝蚤灶早凿葬燥 圆远远园苑员袁 悦澡蚤灶葬冤 粤遭泽贼则葬糟贼院悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 蚤泽 葬 噪藻赠 蚤泽泽怎藻 蚤灶 贼澡藻 泽贼怎凿赠 燥枣 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽袁 葬灶凿 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 葬 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂 憎蚤贼澡 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 灶燥凿藻 凿赠灶葬皂蚤糟泽 憎澡蚤糟澡 蚤泽 糟造燥泽藻则 贼燥 贼澡藻 葬糟贼怎葬造 藻灶早蚤灶藻藻则蚤灶早 凿赠灶葬皂蚤糟 灶藻贼憎燥则噪 蚤泽 责葬则葬皂燥怎灶贼援 杂燥 葬泽 葬 则藻泽怎造贼 蚤灶 贼澡蚤泽 责葬责藻则袁 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 葬 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂 蚤泽 泽贼怎凿蚤藻凿 遭赠 怎泽蚤灶早 遭燥贼澡 贼澡藻 早则葬责澡 贼澡藻燥则赠 葬灶凿 贼澡藻 皂葬贼则蚤曾 贼澡藻燥则赠袁 憎澡藻则藻 葬早藻灶贼泽 蚤灶贼藻则糟燥灶灶藻糟贼 增蚤葬 贼澡藻 灶藻蚤早澡遭燥则鄄遭葬泽藻凿 则怎造藻 葬灶凿 贼澡藻 怎灶凿蚤则藻糟贼藻凿 凿赠灶葬皂蚤糟葬造 泽赠泽贼藻皂 糟燥灶泽蚤泽贼泽 燥枣 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 葬早藻灶贼泽 则藻糟藻蚤增蚤灶早 葬 糟燥皂皂燥灶 藻曾燥早藻灶燥怎泽 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造袁 憎澡蚤糟澡 蚤泽 糟葬造造藻凿 葬 遭则燥葬凿糟葬泽贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造援 粤 灶藻糟藻泽泽葬则赠 葬灶凿 泽怎枣枣蚤糟蚤藻灶贼 糟燥灶凿蚤贼蚤燥灶 蚤泽 凿藻则蚤增藻凿 枣燥则 葬 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 灶燥凿藻 凿赠灶葬皂蚤糟泽 泽赠泽贼藻皂 贼燥 遭藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭造藻援 栽澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 贼澡藻 责葬贼澡 葬灶凿 贼澡藻 糟燥皂责造藻贼藻 早则葬责澡 蚤泽 泽贼怎凿蚤藻凿 怎灶凿藻则 贼澡藻 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 灶燥凿藻 凿赠灶葬皂蚤糟泽援 陨贼 蚤泽 泽澡燥憎灶 贼澡葬贼 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 贼澡藻 责葬贼澡 葬灶凿 贼澡藻 糟燥皂责造藻贼藻 早则葬责澡 糟澡葬灶早藻泽 憎澡藻灶 贼澡藻 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 葬早藻灶贼泽 则藻糟藻蚤增藻 葬 遭则燥葬凿糟葬泽贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造援 陨灶 责葬则贼蚤糟怎造葬则袁 蚤贼 蚤泽 泽澡燥憎灶 贼澡葬贼 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 葬 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂 蚤泽 凿藻贼藻则皂蚤灶藻凿 遭赠 贼澡藻 贼燥责燥造燥早赠 泽贼则怎糟贼怎则藻 燥枣 贼澡藻 蚤灶贼藻则糟燥灶灶藻糟贼蚤燥灶 早则葬责澡 葬灶凿 贼澡藻 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 凿赠灶葬皂蚤糟泽 燥枣 贼澡藻 葬早藻灶贼泽援 悦燥皂责葬则藻凿 憎蚤贼澡 贼澡藻 蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 凿赠鄄 灶葬皂蚤糟泽袁 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽 藻曾澡蚤遭蚤贼泽 灶藻憎 枣藻葬贼怎则藻泽 葬灶凿 遭藻糟燥皂藻泽 皂燥则藻 糟燥皂责造蚤糟葬贼藻凿 憎澡藻灶 贼澡藻 凿赠鄄 灶葬皂蚤糟泽 燥枣 贼澡藻 葬早藻灶贼泽 蚤泽 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造援 杂燥皂藻 皂藻贼澡燥凿泽 枣燥则 蚤皂责则燥增蚤灶早 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 葬 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 灶燥凿藻 凿赠灶葬皂鄄 蚤糟泽 泽赠泽贼藻皂 葬则藻 葬造泽燥 责燥蚤灶贼藻凿 燥怎贼 葬贼 贼澡藻 藻灶凿 燥枣 贼澡藻 责葬责藻则援 运藻赠憎燥则凿泽院皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂曰 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠曰 灶燥灶鄄蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 凿赠灶葬皂蚤糟泽曰 灶藻蚤早澡遭燥则鄄遭葬泽藻凿 则怎造藻曰 遭则燥葬凿糟葬泽贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造曰 早则葬责澡 贼澡藻燥则赠曰 皂葬贼则蚤曾 贼澡藻燥则赠曰 责葬贼澡曰 糟燥皂责造藻贼藻 早则葬责澡 收稿日期院圆园员源鄄园员鄄园远援 摇 网络出版日期院圆园员源鄄园远鄄圆员援 基金项目院国家自然科学基金资助项目渊远员猿苑源园远圆冤援 通信作者院纪志坚援 耘鄄皂葬蚤造院躁蚤扎澡蚤躁蚤葬灶岳 责噪怎援燥则早援糟灶援 摇 摇 多智能体系统的能控性问题已引起学术界的高 度重视遥 对该问题的研究源于自然界中普遍存在的

·402 智能系统学报 第9卷 群体行为，例如生物界昆虫、鸟和鱼群等协作捕食， 度数是指其相邻节点的个数。简单图是指不含圈和 共同抵御入侵者等行为。自然界中的群体行为使得 重边的图。在本文中，主要考虑简单图。 它们能很好地生存繁衍下去，同时也给人类以很大 任何无向图都可以由它的邻接矩阵A(G)来表 的启发：与单个智能体相比，多智能体系统的合作可 示，邻接矩阵能充分表达图上顶点相邻的关系，是一 以大大提高系统的性能，完成更复杂的任务。H.G 个只含有元素0和1的对称矩阵。如果i和j是相 Tannert最早提出了领导者-跟随者结构下多智能 邻的，则ag是1，否则为0。度数矩阵D(G)是一个 体系统的能控性问题。然后Rahmani等)介绍了 对角矩阵，其中a:是节点：的度数。拉普拉斯矩阵 多智能体能控的代数和图论的条件。随后，许多人 L(G)=D(G)-A(G),也是一个对称矩阵。拉普 开始从图论的角度[3]研究多智能体系统的能控 拉斯矩阵与节点的互联拓扑有关。 性，并在连续时间6和离散时间门2种情形下，对多 1.2 模型 智能体系统的能控性问题分别进行了讨论。多智能 考虑如下多智能体系统： 体系统的能控性问题具有重要的现实意义，可以通 x=c,x:+∑Lg(x-x)+Bu,i=1,2,…,n 过它研究多智能体网络的编队控制问题[)，即通过 调节领航者的行动来驱动跟随者到达理想的位置， (1) 从而实现系统的能控性。随着在领导者-跟随者结 式中：x:∈R"是第i个智能体的状态，4：∈R”是控 构下多智能体系统的不断发展，渐渐地有人开始尝 制输入信号。因为每个节点都接受，所以称为广 试在新的结构下研究多智能体系统的能控性问题。 播控制信号。B∈Rm即是该系统的控制输入矩阵。 目前，越来越多的人开始在广播信号结构[0下研 c,x,(c:∈R,c:≠0)描述了系统中非一致的节态。 究系统的能控性。然而，到目前为止，这方面的研究 T∈Rmxm为表示节点分量之间内部耦合关系的常 成果还不多。广播信号结构与领导者-跟随者结构 数矩阵。L,T(x:-x)指的是相邻节点之间的信息 相比有以下优势：1)在现实生活中已得到广泛应 交流，即所谓的邻域信息交互，其中L,是拉普拉斯 用，例如电台和电视台等：2)硬件上的优势，不需要 矩阵L(G)的元素。 提供用于领导者和跟随者进行信息交流的设备等。 为了更好地分析系统能控性，可以将系统转换成 多智能体的能控性问题已取得了长足的进展，但都 紧凑的矩阵形式。令x=[x,TxT…x门T∈ 是在网络中的智能体都是相同（即一致动态）的假 Rm,u=[u,Tu,T…unT]T∈Rm,系统(1) 设下进行的，采用这种假设可以更容易地分析网络， 可以改写成： 特别是对网络的同步问题和能控性问题。然而，大 x=[(C-L)☒]x+(In☒B)u(2) 多数实际工程中的动态网络具有不同的节点动态， 例如一个动力系统具有不同的物理参数，其发电机 式中：C=diag(c1,c2,…,cn）o 定义1对具有如(1)动态的多智能体系统，如 和负载等结构通过运输线相互连接，共同构成一个 果对任意的初始状态，都存在一个控制输入信号使 非一致的动态网络。因此，研究具有非一致动 态[⑧，]的多智能体网络的能控性问题，无论从理论 得系统在有限的时间内从该初始状态到达任意期望 的状态，那么就称多智能体系统是能控的。 角度还是从实践角度来说，都具有极其重要的意义 和价值。本文致力于研究在广播控制信号下，具有 命题1对于系统x=Ax+Bu,下列陈述是等 非一致动态的非定向的多智能体网络的能控性问 价的： 题，而非定向的多智能体网络是指在无向图下研究 1)系统是能控的。 多智能体系统。 2)系统能控性矩阵[BABA2BA-B] 满秩。 1 图论准备知识和模型 3)对于所有的入∈R,矩阵[AI-AB]满秩， 1.1图论准备知识 即如果vA=入vT,则vB≠0T,其中v是A对应于 本文的信息交换图均为无向图，关于无向图更 特征值入的非零左特征向量(PBH判据)。 全面的结论可参看文献[14]。一个无向图G包含 命题2矩阵的Kronecker积有以下性质[6]： 一个顶点集V(G)和一个边集E(G)。无向图中的 (A+B)☒C=A☒C+B☒C: 边可以用(i,)表示。如果(i,j)∈E(G),那么i (A☒B)(C☒D)=(AC)☒(BD): 和j是相邻关系，可以用i~j表示。令N,表示，的 (A☒B)T=AT☒B 邻集，则N=川：~；j≠。路径ioi1…i是一 4)设A∈Cmx的全体特征值为入1，入2，…，入m, 个i-1~4(k=1,2,…,L)的有限序列。完备图是 其相应的特征向量&1，a,“,an,B∈Cx“的全体 指图中的任意2个节点都是相邻关系。一个节点的 特征值为u1“2,…“。,其相应的特征向量是B

群体行为袁例如生物界昆虫尧鸟和鱼群等协作捕食袁 共同抵御入侵者等行为遥 自然界中的群体行为使得 它们能很好地生存繁衍下去袁同时也给人类以很大 的启发院与单个智能体相比袁多智能体系统的合作可 以大大提高系统的性能袁完成更复杂的任务遥 匀援郧援 栽葬灶灶藻则咱员暂最早提出了领导者原跟随者结构下多智能 体系统的能控性问题遥 然后 砸葬澡皂葬灶蚤 等咱圆暂 介绍了 多智能体能控的代数和图论的条件遥 随后袁许多人 开始从图论的角度咱猿鄄缘暂 研究多智能体系统的能控 性袁并在连续时间咱远暂和离散时间咱苑暂 圆 种情形下袁对多 智能体系统的能控性问题分别进行了讨论遥 多智能 体系统的能控性问题具有重要的现实意义袁可以通 过它研究多智能体网络的编队控制问题咱怨暂 袁即通过 调节领航者的行动来驱动跟随者到达理想的位置袁 从而实现系统的能控性遥 随着在领导者原跟随者结 构下多智能体系统的不断发展袁渐渐地有人开始尝 试在新的结构下研究多智能体系统的能控性问题遥 目前袁越来越多的人开始在广播信号结构咱员园鄄员员暂 下研 究系统的能控性遥 然而袁到目前为止袁这方面的研究 成果还不多遥 广播信号结构与领导者原跟随者结构 相比有以下优势院员冤 在现实生活中已得到广泛应 用袁例如电台和电视台等曰圆冤硬件上的优势袁不需要 提供用于领导者和跟随者进行信息交流的设备等遥 多智能体的能控性问题已取得了长足的进展袁但都 是在网络中的智能体都是相同渊即一致动态冤 的假 设下进行的袁采用这种假设可以更容易地分析网络袁 特别是对网络的同步问题和能控性问题遥 然而袁大 多数实际工程中的动态网络具有不同的节点动态袁 例如一个动力系统具有不同的物理参数袁其发电机 和负载等结构通过运输线相互连接袁共同构成一个 非一致的动态网络遥 因 此袁 研究具有非一致动 态咱愿袁员圆暂的多智能体网络的能控性问题袁无论从理论 角度还是从实践角度来说袁都具有极其重要的意义 和价值遥 本文致力于研究在广播控制信号下袁具有 非一致动态的非定向的多智能体网络的能控性问 题袁而非定向的多智能体网络是指在无向图下研究 多智能体系统遥 员摇 图论准备知识和模型 员援员摇 图论准备知识 摇 摇 本文的信息交换图均为无向图袁关于无向图更 全面的结论可参看文献咱 员源暂 遥 一个无向图 郧 包含 一个顶点集 灾渊郧冤 和一个边集 耘渊郧冤 遥 无向图中的 边可以用 渊蚤袁躁冤 表示遥 如果 渊蚤袁躁冤 沂 耘渊郧冤 袁 那么 蚤 和 躁 是相邻关系袁可以用 蚤 耀 躁 表示遥 令 晕蚤表示 增蚤的 邻集袁则 晕蚤 越 躁 增蚤 耀 增   躁 曰躁 屹 蚤 遥 路径 蚤园 蚤员噎蚤蕴 是一 个 蚤噪原员 耀 蚤噪渊噪 越 员袁圆袁噎袁蕴冤 的有限序列遥 完备图是 指图中的任意 圆 个节点都是相邻关系遥 一个节点的 度数是指其相邻节点的个数遥 简单图是指不含圈和 重边的图遥 在本文中袁主要考虑简单图遥 任何无向图都可以由它的邻接矩阵 粤渊郧冤 来表 示袁邻接矩阵能充分表达图上顶点相邻的关系袁是一 个只含有元素 园 和 员 的对称矩阵遥 如果 蚤 和 躁 是相 邻的袁则 葬蚤躁 是 员袁否则为 园遥 度数矩阵 阅渊郧冤 是一个 对角矩阵袁其中 葬蚤蚤 是节点 增蚤 的度数遥 拉普拉斯矩阵 蕴渊郧冤 越 阅渊郧冤 原 粤渊郧冤 袁 也是一个对称矩阵遥 拉普 拉斯矩阵与节点的互联拓扑有关遥 员援圆 摇 模型 考虑如下多智能体系统院 曾 窑 蚤 越 糟蚤祝曾蚤 垣 移 躁沂晕蚤 蕴蚤躁祝渊曾蚤 原 曾躁 冤 垣 月怎蚤袁蚤 越 员袁圆袁噎袁灶 渊员冤 式中院 曾蚤 沂 砸皂 是第 蚤 个智能体的状态袁 怎蚤 沂 砸责 是控 制输入信号遥 因为每个节点都接受 怎蚤袁 所以称为广 播控制信号遥 月 沂 砸皂伊责 是该系统的控制输入矩阵遥 糟蚤祝曾蚤 渊糟蚤 沂 砸袁糟蚤 屹 园冤 描述了系统中非一致的节态遥 祝沂 砸皂伊皂 为表示节点分量之间内部耦合关系的常 数矩阵遥 蕴蚤躁祝渊曾蚤 原 曾躁冤 指的是相邻节点之间的信息 交流袁即所谓的邻域信息交互袁其中 蕴蚤躁 是拉普拉斯 矩阵 蕴渊郧冤 的元素遥 为了更好地分析系统能控性袁可以将系统转换成 紧凑的矩阵形式遥 令 曾 越 曾员 栽 曾圆 栽 摇 噎摇 曾灶 栽   栽 沂 砸皂伊灶 袁 怎 越 怎员 栽 怎圆 栽 摇 噎摇 怎灶 栽   栽 沂 砸责伊灶 袁 系统渊员冤 可以改写成院 曾 窑 越 咱 渊悦 原 蕴冤 茚 祝暂曾 垣 渊陨灶 茚 月冤怎 渊圆冤 式中院 悦 越 凿蚤葬早渊糟员 袁糟圆 袁噎袁糟灶 冤 遥 定义 员摇 对具有如渊员冤动态的多智能体系统袁如 果对任意的初始状态袁都存在一个控制输入信号使 得系统在有限的时间内从该初始状态到达任意期望 的状态袁那么就称多智能体系统是能控的遥 命题 员摇 对于系统 曾 窑 越 粤曾 垣 月怎袁 下列陈述是等 价的咱员缘暂 院 员冤系统是能控的遥 圆冤系统能控性矩阵 咱月 粤月 粤圆 月摇 噎粤灶原员 月暂 满秩遥 猿冤对于所有的 姿 沂砸袁 矩阵 咱姿陨 原 粤 月暂 满秩袁 即如果 增栽 粤 越 姿增栽 袁 则 增栽 月 屹 栽 袁 其中 增 是 粤 对应于 特征值 姿 的非零左特征向量渊孕月匀 判据冤 遥 命题 圆 摇 矩阵的 运则燥灶藻糟噪藻则 积有以下性质咱员远暂 院 渊粤 垣 月冤 茚 悦 越 粤 茚 悦 垣 月 茚 悦 曰 渊粤 茚 月冤 渊悦 茚 阅冤 越 渊粤悦冤茚渊月阅冤 曰 渊粤 茚 月冤 栽 越 粤栽 茚 月栽 源冤设 粤 沂 悦皂伊皂 的全体特征值为 姿员 袁姿圆 袁噎袁姿 皂袁 其相应的特征向量 琢员 袁琢圆 袁噎袁琢皂 袁 月 沂 悦灶伊灶 的全体 特征值为 滋员 袁滋圆 袁噎袁滋灶 袁 其相应的特征向量是 茁员 袁 窑源园圆窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 怨 卷

第4期 王晓晓，等：广播信号下非一致多智能体系统的能控性 ·403· B2,…,Bn,那么，a:☒B,是A☒B对应于特征值 式中：a,b,>0。在这里，只介绍下文用到的雅可 入的特征向量(i=1,2,…,m:=1,2,…,n)。 比矩阵的一个性质：雅可比矩阵的特征值各不相同。 定义2如果当1i-j川≤1时，J,>0,而当 1i-j1≥2时，J=0,称J是雅可比矩阵)，表示 2能控性分析 成矩阵形式为 2.1主要结果 b 0 0 0 定理1设T是对称的，则具有如式(1)动态的多 bi a2 b2 0 0 智能体系统能控当且仅当下面的2个条件同时成立： 0 0 0 1)[T,B]是能控矩阵对； a3 J= 0 2)(C-L)☒T的特征值各不相同。 0 0 0 证明系统的能控性矩阵为 an-1 ba-1 0 00 ba-1 [(Ln☒B)[(C-L)⑧(Ln☒B).[(C-L)⑧ma-(Ln☒B)] 因为C是对角矩阵，拉普拉斯L是对称矩阵， 因为特征向量的定义是非零向量，所以这个条件在 所以C一L是对称矩阵。在T是对称矩阵的条件 任何情况下均成立，所以可以不考虑该条件。 下，(C-L)②T也是对称的，且根据文献[16]可以 2)y2B≠0T,即没有一个T的特征向量正交 表示为(C-L)②T=PAP,其中A是对角矩阵， 于B,根据命题1的陈述(3)，[TB]是一个控制 其主对角线元素为(C-L)⑧T的特征值，而相似 矩阵对。 变换矩阵P的列向量是对应于(C-L)⑧T的特征 由于A是一个对角非奇异矩阵，故A乘以一个 值的正交特征向量。那么，能控性矩阵可以改写成 矩阵只会使该矩阵的各个元素得到相同比例的缩 [(In☒B)PAP(In☒B)…(PAPr)-1(In☒B)] 放。然而，矩阵A对角线上的元素不能出现相同的 简化为 元素，否则，能控性矩阵会出现线性相关的行，则控 [(Ln☒B)PAP'(Ln☒B)…PAm-p(Ln☒B)] 制矩阵也不能行满秩。因为矩阵A是一个对角矩 将P提出，能控性矩阵可以写成： 阵，且其主对角线元素为(C-L)☒T的特征值，所 P[Pr(Ln☒B)P(Ln☒B)…Mm-Pr(In☒B)] 以要求(C-L)⑧T的特征值各不相同。 因为P非奇异，所以P不影响能控性矩阵的 综上所述：当「是对称的，欲使系统(2)能控， 秩。因此，仅研究下述矩阵的秩即可。 当且仅当下面的2个条件同时成立： [P'(Ln☒B)P'(Ln☒B)…Mmm-p'(Ln☒B)] 1)[TB]是能控矩阵对； 要使该矩阵行满秩，P'(L.⑧B)应没有非零行 2)(C-L)⑧T的特征值各不相同。 向量，这要求不存在P的列向量与(I⑧B)的所有 根据定理1，广播信号下非一致多智能体系统 列向量正交。否则，该矩阵就会出现一整行均是零 的能控性问题可以分解成2个独立的小问题：1)子 的情况，在这一情形下，该矩阵就不是行满秩的，从 系统x=x+Bu的能控性：2)(C-L)⑧T的特征 而系统的能控性矩阵也不是行满秩的。因为相似变 值各不相同问题。如果控制矩阵B选择合适，使得 换矩阵P的列向量是对应于(C-L)☒T的特征值 子系统x=Tx+Bu能控，那么广播信号下非一致的 的正交特征向量，所以要求P的列向量不能正交于 多智能体系统的能控性问题就可以简化为对(C一 (In☒B),也就是说，要求(C-L)⑧T的特征向量 L)⑧T的特征值分析。下面进一步探讨这一问题。 不正交于(In☒B)。通过命题2的陈述(4)得知： 2.2[TB]的能控性 对于(C-L)②T的任一特征向量，均存在(C-L) 首先，研究定理1的条件1)，即子系统 和T的2个非零特征向量，分别记其为”1和”2，使 x=Ix +Bu (3) 得该特征向量可以写成"，②"2。前面的讨论要求 的能控性。其中T∈Rmxm,B∈Rm的定义同(I)。 "1⑧2不与(1.⑧B)的所有列向量正交，即 定理2T是对称的（同定理1），则系统(3)能 (1T⑧2)(In☒B)≠0T,所以要求 控当且仅当下述2个条件同时成立： (1n)☒(2B)≠0 1)T的特征值各不相同： 因此，系统能控，当且仅当： 2)T的特征向量不正交于B。 1)y'L。≠0T,即没有一个C-L的特征向量 证明：系统(3)的能控性矩阵是 正交于1.，也就是说，C-L的特征向量不为0。。 Q=[BTBB…Dm-B]

茁圆 袁噎袁茁灶 袁 那么袁 琢蚤 茚 茁躁 是 粤 茚 月 对应于特征值 姿蚤滋躁 的特征向量 渊蚤 越 员袁圆袁噎袁皂曰躁 越 员袁圆袁噎袁灶冤 遥 定义 圆摇 如果当 渣 蚤 原 躁 渣 臆 员 时袁 允 蚤躁 跃 园袁 而当 渣 蚤 原 躁 渣 逸圆 时袁 允蚤躁 越 园袁 称 允 是雅可比矩阵咱员猿暂 袁表示 成矩阵形式为 允 越 葬员 遭员 园噎 园 园 遭员 葬圆 遭圆 噎园 园 园 遭圆 葬猿 噎园 园 左左左摇 左 园 园 园 园噎 葬灶原员 遭灶原员 园 园 园噎 遭灶原员 葬灶                     式中院 葬蚤袁遭蚤 跃 园遥 在这里袁只介绍下文用到的雅可 比矩阵的一个性质院雅可比矩阵的特征值各不相同遥 圆摇 能控性分析 圆援员摇 主要结果 定理 员摇 设 祝是对称的袁则具有如式渊员冤动态的多 智能体系统能控当且仅当下面的 圆 个条件同时成立院 员冤 咱祝袁月暂 是能控矩阵对曰 圆冤 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同遥 证明 系统的能控性矩阵为 咱 渊陨灶 茚 月冤摇 咱渊悦 原 蕴冤 茚 祝暂 渊陨灶 茚 月冤摇 噎 咱渊悦 原 蕴冤 茚 祝暂 皂灶原员 渊陨灶 茚 月冤 暂 摇 摇 因为 悦 是对角矩阵袁拉普拉斯 蕴 是对称矩阵袁 所以 悦 原 蕴 是对称矩阵遥 在 祝 是对称矩阵的条件 下袁 渊悦 原 蕴冤 茚祝也是对称的袁且根据文献咱员远暂可以 表示为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝 越 孕撰孕栽 袁 其中 撰 是对角矩阵袁 其主对角线元素为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值袁而相似 变换矩阵 孕 的列向量是对应于 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征 值的正交特征向量遥 那么袁能控性矩阵可以改写成 咱 渊陨灶 茚 月冤孕撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎 渊孕撰孕栽 冤 皂灶原员 渊陨灶 茚 月冤 暂 摇 摇 简化为 咱 渊陨灶 茚 月冤孕撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎孕撰皂灶原员 孕栽 渊陨灶 茚 月冤 暂 摇 摇 将 孕 提出袁能控性矩阵可以写成院 孕 孕栽 渊陨灶 茚 月冤撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎撰皂灶原员 孕栽 渊陨   灶 茚 月冤 摇 摇 因为 孕 非奇异袁所以 孕 不影响能控性矩阵的 秩遥 因此袁仅研究下述矩阵的秩即可遥 孕栽 渊陨灶 茚 月冤撰孕栽 渊陨灶 茚 月冤噎撰皂灶原员 孕栽 渊陨   灶 茚 月冤 摇 摇 要使该矩阵行满秩袁 孕栽 渊陨灶 茚 月冤 应没有非零行 向量袁这要求不存在 孕 的列向量与 渊陨灶 茚 月冤 的所有 列向量正交遥 否则袁该矩阵就会出现一整行均是零 的情况袁在这一情形下袁该矩阵就不是行满秩的袁从 而系统的能控性矩阵也不是行满秩的遥 因为相似变 换矩阵 孕 的列向量是对应于 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值 的正交特征向量袁所以要求 孕 的列向量不能正交于 渊陨灶 茚月冤 袁 也就是说袁要求 渊悦 原 蕴冤 茚祝的特征向量 不正交于 渊陨灶 茚 月冤 遥 通过命题 圆 的陈述渊源冤得知院 对于 渊悦 原 蕴冤 茚祝的任一特征向量袁均存在 渊悦 原 蕴冤 和 祝的 圆 个非零特征向量袁分别记其为 增员 和 增圆 袁 使 得该特征向量可以写成 增员 茚 增圆 遥 前面的讨论要求 增员 茚 增圆 不与 渊陨灶 茚 月冤 的所有列向量正交袁 即 渊增员 栽 茚增圆 栽 冤 渊陨灶 茚 月冤 屹 栽 袁 所以要求 渊增员 栽 陨灶 冤茚渊增圆 栽 月冤 屹 栽 摇 摇 因此袁系统能控袁当且仅当院 员冤 增员 栽 陨灶 屹 栽 袁 即没有一个 悦 原 蕴 的特征向量 正交于 陨灶 袁 也就是说袁 悦 原 蕴 的特征向量不为 灶 遥 因为特征向量的定义是非零向量袁所以这个条件在 任何情况下均成立袁所以可以不考虑该条件遥 圆冤 增圆 栽 月 屹 栽 袁 即没有一个 祝 的特征向量正交 于 月袁 根据命题 员 的陈述渊猿冤袁 咱祝 月暂 是一个控制 矩阵对遥 由于 撰 是一个对角非奇异矩阵袁故 撰 乘以一个 矩阵只会使该矩阵的各个元素得到相同比例的缩 放遥 然而袁矩阵 撰 对角线上的元素不能出现相同的 元素袁否则袁能控性矩阵会出现线性相关的行袁则控 制矩阵也不能行满秩遥 因为矩阵 撰 是一个对角矩 阵袁且其主对角线元素为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值袁所 以要求 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同遥 综上所述院当 祝 是对称的袁欲使系统渊圆冤能控袁 当且仅当下面的 圆 个条件同时成立院 员冤 咱祝 月暂 是能控矩阵对曰 圆冤 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同遥 根据定理 员袁广播信号下非一致多智能体系统 的能控性问题可以分解成 圆 个独立的小问题院员冤子 系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 的能控性曰圆冤 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征 值各不相同问题遥 如果控制矩阵 月 选择合适袁使得 子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 能控袁那么广播信号下非一致的 多智能体系统的能控性问题就可以简化为对 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值分析遥 下面进一步探讨这一问题遥 圆援圆摇 咱祝 月暂 的能控性 首先袁研究定理 员 的条件 员冤袁即子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 渊猿冤 的能控性遥 其中 祝沂 砸皂伊皂袁 月 沂 砸皂伊责 的定义同渊员冤遥 定理 圆摇 祝是对称的渊同定理 员冤袁则系统渊猿冤能 控当且仅当下述 圆 个条件同时成立院 员冤 祝的特征值各不相同曰 圆冤 祝的特征向量不正交于 月 遥 证明院 系统渊猿冤的能控性矩阵是 匝 越 咱月 祝月 祝圆 月噎祝皂原员 月暂 第 源 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 王晓晓袁等院广播信号下非一致多智能体系统的能控性 窑源园猿窑

·404 智能系统学报 第9卷 因为T对称，所以它可以表达为T=UDU,其 那么，具有非一致动态路径的拉普拉斯矩阵为 中D是一个对角矩阵，其主对角线元素为T的特征 c1-1 1 0 0 值，而相似变换矩阵的列向量是对应于T的特征 1 93-2 0 0 值的正交特征向量16。那么，矩阵Q可以改写成： 0 1 0 0 Q=[B UDUB (UDU)'B ..(UDU)-B] C-L= 0 可以简化为 0 0 ca-12 1 Q=[B UDUB UD2UB ..UD"-UB] 0 0 1 c-1 将U提出，矩阵Q可以转换成： 根据定义2可知，矩阵C-L是一个雅可比矩 Q=U[U'B DUB D'UB·Dm-UB] 阵，而雅可比矩阵的特征值各不相同的。那么，在子 因为矩阵U非奇异，所以U不影响Q的秩。因 此，主要研究式(4)矩阵的秩即可。 系统x=Tx+Bu能控的情况下，定理2表明T的特 [UB DUB DUB ..D-UB](4) 征值各不相同。综合以上分析和命题2可得：(C- 欲使Q行满秩，UB的行向量应是非零的，也 L)⑧T的特征值不能保证各不相同，存在以下几种 就是说，不存在U的列向量，其与B的所有列向量 情况使其特征值相同：1)C-L或T的特征值中存 正交。否则将会出现式(4)矩阵的一整行元素均是 在0：2)C-L的特征值中至少存在2个相同的特征 零的情况，那么式(4)就不是行满秩的，即Q不是行 值。所以，对非一致多智能体系统，若其信息交换拓 满秩的。因为相似变换矩阵U的列向量是对应于T 扑为路径，系统既可能可控，也可能不可控。 的特征值的正交特征向量，所以U的列向量不能正 例1图1是一个简单的三节点的路径，特殊 交于B,也就是说，T的特征向量不正交于B。由 的是各节点的状态不同（即非一致动态），且每个节 于D是一个对角非奇异矩阵，故D乘以一个矩阵只 点都接受控制输入信号（即广播信号）。 会使该矩阵的各个元素得到相同比例的缩放。然 而，D对角线上的元素不能出现相同的元素，否则， Q会出现线性相关的行，则控制矩阵Q也不能行满 图1三节点的路径 秩。因为D是一个对角矩阵，其主对角线元素为T Fig.I The path of three nodes 的特征值，所以要求T的特征值各不相同。 综上所述：当T是对称的，系统(3)可控，当且 该例子是在子系统x=x+Bu能控的条件下 仅当下述2个条件同时成立： 进行的，主要是对(C-L)⑧T的特征值进行分析。 1)T的特征值各不相同： [1237 2)T的特征向量不正交于B。 1)设T= 2 2 则T的特征值为入，= 2.3路和完备图的能控性 33 6 为了更全面理解系统能控性，本小节针对多智 -0.6699,入2=0.4877，入3=9.1822。各不相同。 能体系统信息交换拓扑中的2类特殊构形路和完备 无向图1中含有3个节点的路的拉普拉斯矩阵为 「1 图讨论(C-L)☒T的特征值，进而发现非一致多 -1 07 「200 智能体系统能控性更多的特点。 L= -1 -1 设C= 040 那么， 0 对具一致动态的多智能体系统而言，当信息交 -1 1 002 换拓扑结构为路P、时，系统可控1，)。下面的研 具有非一致动态的含3个节点的路的拉普拉斯矩阵 究表明，对非一致的多智能体系统，情况发生变化， 「110 为C-L=121 路既可能可控，也可能不可控。原因如下： 则C-L的特征值分别为 无向图路的拉普拉斯矩阵为 011 「1 -10 0 0 41=0,42=1,3=3。根据命题2可得：入u1= -1 入“1=入“1。因为(C-L)⑧T的特征值存在相同 2 -1 … 0 0 的特征值，所以该路径不能控。 0 -1 2 0 0 L= 2001 「1107 0 2)设C=030,C-L=111 0 0 。则 0 2 -1 004 013 0 0 0 -1 1 C-L的特征值分别为-0.1701,1.6889,3.4812

摇 摇 因为 祝对称袁所以它可以表达为 祝 越 哉阅哉栽 袁 其 中 阅 是一个对角矩阵袁其主对角线元素为 祝 的特征 值袁而相似变换矩阵 哉 的列向量是对应于 祝 的特征 值的正交特征向量咱员远暂 遥 那么袁矩阵 匝 可以改写成院 匝 越 咱月 哉阅哉栽 月摇 渊哉阅哉栽 冤圆 月摇 噎摇 渊哉阅哉栽 冤皂原员 月暂 摇 摇 可以简化为 匝 越 咱月 哉阅哉栽 月 哉阅圆 哉栽 月摇 噎摇 哉阅皂原员 哉栽 月暂 摇 摇 将 哉 提出袁矩阵 匝 可以转换成院 匝 越 哉 哉栽 月 阅哉栽 月 阅圆 哉栽 月摇 噎摇 阅皂原员 哉栽   月 摇 摇 因为矩阵 哉 非奇异袁所以 哉 不影响 匝 的秩遥 因 此袁主要研究式渊源冤矩阵的秩即可遥 哉栽 月 阅哉栽 月 阅圆 哉栽 月摇 噎摇 阅皂原员 哉栽   月 渊源冤 摇 摇 欲使 匝 行满秩袁 哉栽 月 的行向量应是非零的袁也 就是说袁不存在 哉 的列向量袁其与 月 的所有列向量 正交遥 否则将会出现式渊源冤矩阵的一整行元素均是 零的情况袁那么式渊源冤就不是行满秩的袁即 匝 不是行 满秩的遥 因为相似变换矩阵 哉 的列向量是对应于 祝 的特征值的正交特征向量袁所以 哉 的列向量不能正 交于 月袁 也就是说袁 祝 的特征向量不正交于 月 遥 由 于 阅 是一个对角非奇异矩阵袁故 阅 乘以一个矩阵只 会使该矩阵的各个元素得到相同比例的缩放遥 然 而袁 阅 对角线上的元素不能出现相同的元素袁否则袁 匝 会出现线性相关的行袁则控制矩阵 匝 也不能行满 秩遥 因为 阅 是一个对角矩阵袁其主对角线元素为 祝 的特征值袁所以要求 祝的特征值各不相同遥 综上所述院当 祝 是对称的袁系统渊猿冤可控袁当且 仅当下述 圆 个条件同时成立院 员冤 祝的特征值各不相同曰 圆冤 祝的特征向量不正交于 月 遥 圆援猿摇 路和完备图的能控性 为了更全面理解系统能控性袁本小节针对多智 能体系统信息交换拓扑中的 圆 类特殊构形路和完备 图讨论 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值袁进而发现非一致多 智能体系统能控性更多的特点遥 对具一致动态的多智能体系统而言袁当信息交 换拓扑结构为路 孕晕 时袁系统可控咱员袁猿袁愿暂 遥 下面的研 究表明袁对非一致的多智能体系统袁情况发生变化袁 路既可能可控袁也可能不可控遥 原因如下院 无向图路的拉普拉斯矩阵为 蕴 越 员 原 员园噎园 园 原 员 圆 原 员噎 园 园 园 原 员圆噎园 园 左 左 左摇 左 园 园 园 园噎圆 原 员 园 园 园噎 原 员 员                     那么袁具有非一致动态路径的拉普拉斯矩阵为 悦 原 蕴 越 糟员 原 员员噎 园 园 员 糟圆 原 圆噎 园 园 园 员噎 园 园 左 左摇 左 园 园 园噎 糟灶原员 原 圆 员 园 园噎 员 糟灶 原 员                     摇 摇 根据定义 圆 可知袁矩阵 悦 原 蕴 是一个雅可比矩 阵袁而雅可比矩阵的特征值各不相同的遥 那么袁在子 系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 能控的情况下袁定理 圆 表明 祝的特 征值各不相同遥 综合以上分析和命题 圆 可得院 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值不能保证各不相同袁存在以下几种 情况使其特征值相同院员冤 悦 原 蕴 或 祝 的特征值中存 在 园曰圆冤 悦 原 蕴 的特征值中至少存在 圆 个相同的特征 值遥 所以袁对非一致多智能体系统袁若其信息交换拓 扑为路径袁系统既可能可控袁也可能不可控遥 例 员摇 图 员 是一个简单的三节点的路径袁特殊 的是各节点的状态不同渊即非一致动态冤 袁且每个节 点都接受控制输入信号渊即广播信号冤 遥 图 员摇 三节点的路径 云蚤早援员摇 栽澡藻 责葬贼澡 燥枣 贼澡则藻藻 灶燥凿藻泽 该例子是在子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 能控的条件下 进行的袁主要是对 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值进行分析遥 员冤设 祝 越 员圆猿 圆圆猿 猿猿远           袁 则 祝 的特征值为 姿员 越 原 园援远远怨 怨袁姿圆 越 园援源愿苑 苑袁姿猿 越 怨援员愿圆 圆遥 各不相同遥 无向图 员 中含有 猿 个节点的路的拉普拉斯矩阵为 蕴 越 员 原 员 园 原 员 圆 原 员 园 原 员 员           袁 设 悦 越 圆园园 园源园 园园圆           袁 那么袁 具有非一致动态的含 猿 个节点的路的拉普拉斯矩阵 为 悦 原蕴 越 员员园 员圆员 园员员           袁 则 悦 原 蕴 的特征值分别为 滋员 越园袁滋圆 越 员袁滋猿 越 猿遥 根据命题 圆 可得院 姿员滋员 越 姿圆滋员 越姿猿滋员 遥 因为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值存在相同 的特征值袁所以该路径不能控遥 圆冤设 悦 越 圆园园 园猿园 园园源           袁 悦 原 蕴 越 员员园 员员员 园员猿           遥 则 悦 原 蕴 的特征值分别为原园援员苑园 员袁 员援远愿愿 怨袁 猿援源愿员 圆遥 窑源园源窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 怨 卷

第4期 王晓晓，等：广播信号下非一致多智能体系统的能控性 ·405· 根据命题2直接计算可得：(C-L)⑧T的特征值 1,2,3,4)。因为(C-L)☒T的特征值存在相同 分别为-2.3321，-1.5618，-1.1314，-0.0830,0. 的特征值，所以该完备图不能控。 1139,0.8237,1.6978,15.5078,31.9651。因为 「50001 (C-L)☒T的特征值各不相同，所以该路径能控。 0400 2)设C= 综合1)、2)可得：非一致多智能体系统中，若其 0060 那么C-L= 信息交换图为路，系统既可能可控，也可能不可控。 L0003 已有结果表明，对具一致动态的多智能体系统 「21117 来说，完备图K、不可控1，)。由例2知，当多智能 1 210 则C-L的特征值为0.0870， 体系统的动态是非一致时，完备图既可能可控，也可 1131 能不可控。 1011 例2图2是一个四节点的完备图，特殊的是 1.4245,1.6769,4.8116。根据命题2直接计算可 各节点的状态不同（即非一致动态），且每个节点都 得：(C-L)☒T的特征值为-0.0619，-1.0137， 接受控制输入信号（即广播信号）。 -1.1933,-3.4238,0.0422等16个各不相同的值。 该例子是在子系统x=x+Bu能控的条件下 因为(C-L)⑧T的特征值各不相同，所以该完备 进行的，通过对(C-L)☒T的特征值进行分析，得 图能控。 到上述观察。 综合(1)、(2)可得：非一致的多智能体系统中 的完备图，既可能可控，也可能不可控。 上述讨论表明，具非一致动态的多智能体系统 其能控性比一致动态的多智能体系统更加复杂，其 特殊构形的能控性结论通常发生改变。 2.4改善方法 根据定理1，(C-L)☒T和[TB]决定了非 一致多智能体系统的能控性。T表示的是节点分量 图2四节点的完备图 之间内部耦合关系的常数矩阵，B是控制输入矩 Fig.2 The complete graph of four nodes 阵，可以通过选择合适的控制输入矩阵B使子系统 「12317 x=x+Bu能控，通过此种方式，C和L可决定非 1)令对称阵T= 223 2 则T的特征值 一致多智能体系统的能控性。因为C代表了节点 3363 的非一致动态，L代表多智能体系统的拓扑结构， L1239 所以非一致多智能体系统的能控性的改善方法为： 为入1=-0.7116，入2=0.4855，入3=5.4277，入4=12 1)改变节点的非一致动态，即各节点参数c:。 7984。该完备图的拉普拉斯矩阵： 例如：例1、例2的(1)、(2)，通过改变节点参数使得 3 -1 -1 路和完备图由不能控变为能控。 -1 0 L= 2 2)改变多智能体系统的拓扑结构。例如：可以 -1-13 通过增加或去掉节点间的联系，将不能控的拓扑结 -1 0 -1 构转换成接近的能控的拓扑结构。 「6000 0400 3结束语 设C= 那么，具有非一致动态 0060 本文在广播信号下，对非一致的多智能体系统的 0004 能控性进行了研究，得到了使其能控的充分必要条 「311 17 件，并进一步分析证明了该充分必要条件。为了得到 121 0 完备图的拉普拉斯矩阵为C-L= 更深入的理解，在非一致动态下还研究了路径和完备 1131 图的能控性，研究结果表明，与一致动态的多智能体 1012 系统相比，非一致情形在广播信号下，路和完备图的 则C-L的特征值分别为u1=0.7639,2=2,3= 能控性发生变化，并指出节点的非一致动态使多智能 2,u4=5.2361。根据命题2可得：入2=入(m= 体系统的能控性问题更加复杂。此外，还提出了改善

根据命题 圆 直接计算可得院 渊悦 原 蕴冤 茚 祝 的特征值 分别为原圆援猿猿圆 员袁 原员援缘远员 愿袁 原员援员猿员 源袁 原园援园愿猿 园袁 园援 员员猿 怨袁 园援愿圆猿 苑袁 员援远怨苑 愿袁 员缘援缘园苑 愿袁 猿员援怨远缘 员遥 因为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同袁所以该路径能控遥 综合 员冤 尧圆冤可得院非一致多智能体系统中袁若其 信息交换图为路袁系统既可能可控袁也可能不可控遥 已有结果表明袁对具一致动态的多智能体系统 来说袁完备图 运晕 不可控咱员袁猿袁愿暂 遥 由例 圆 知袁当多智能 体系统的动态是非一致时袁完备图既可能可控袁也可 能不可控遥 例 圆摇 图 圆 是一个四节点的完备图袁特殊的是 各节点的状态不同渊即非一致动态冤 袁且每个节点都 接受控制输入信号渊即广播信号冤 遥 该例子是在子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 能控的条件下 进行的袁通过对 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值进行分析袁得 到上述观察遥 图 圆摇 四节点的完备图 云蚤早援圆摇 栽澡藻 糟燥皂责造藻贼藻 早则葬责澡 燥枣 枣燥怎则 灶燥凿藻泽 员冤令对称阵 祝越 员圆猿员 圆圆猿圆 猿猿远猿 员圆猿怨               袁 则 祝的特征值 为 姿员 越 原 园援苑员员 远袁姿圆 越 园援源愿缘 缘袁姿猿 越 缘援源圆苑 苑袁姿源 越员圆援 苑怨愿 源遥 该完备图的拉普拉斯矩阵院 摇摇摇 蕴 越 猿 原 员 原 员 原 员 原 员 圆 原 员 园 原 员 原 员 猿 原 员 原 员 园 原 员 圆               摇摇摇 设 悦 越 远园园园 园源园园 园园远园 园园园源               袁 那么袁具有非一致动态 完备图的拉普拉斯矩阵为 悦 原 蕴 越 猿员员员 员圆员园 员员猿员 员园员圆               袁 则 悦 原 蕴 的特征值分别为 滋员 越 园援苑远猿 怨袁滋圆 越 圆袁滋猿 越 圆袁滋源 越 缘援圆猿远 员遥 根据命题 圆 可得院 姿 皂 滋圆 越 姿 皂 滋猿渊皂 越 员袁圆袁猿袁源冤 遥 因为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝 的特征值存在相同 的特征值袁所以该完备图不能控遥 圆冤 设 悦 越 缘园园园 园源园园 园园远园 园园园猿               袁 那 么 悦 原 蕴 越 圆员员员 员圆员园 员员猿员 员园员员               袁 则 悦 原 蕴 的特征值为 园援 园愿苑 园袁 员援源圆源 缘袁员援远苑远 怨袁源援 愿员员 远遥 根据命题 圆 直接计算可 得院 渊悦 原 蕴冤 茚 祝 的特征值为原 园援 园远员怨袁 原 员援 园员猿苑袁 原员援员怨猿猿袁原 猿援 源圆猿愿袁园援 园源圆圆 等 员远 个各不相同的值遥 因为 渊悦 原 蕴冤 茚 祝的特征值各不相同袁所以该完备 图能控遥 综合渊员冤尧渊圆冤可得院非一致的多智能体系统中 的完备图袁既可能可控袁也可能不可控遥 上述讨论表明袁具非一致动态的多智能体系统 其能控性比一致动态的多智能体系统更加复杂袁其 特殊构形的能控性结论通常发生改变遥 圆援源摇 改善方法 根据定理 员袁 渊悦 原 蕴冤 茚祝和 咱祝 月暂 决定了非 一致多智能体系统的能控性遥 祝 表示的是节点分量 之间内部耦合关系的常数矩阵袁 月 是控制输入矩 阵袁可以通过选择合适的控制输入矩阵 月 使子系统 曾 窑 越 祝曾 垣 月怎 能控袁通过此种方式袁 悦 和 蕴 可决定非 一致多智能体系统的能控性遥 因为 悦 代表了节点 的非一致动态袁 蕴 代表多智能体系统的拓扑结构袁 所以非一致多智能体系统的能控性的改善方法为院 员冤 改变节点的非一致动态袁即各节点参数 糟蚤 遥 例如院例 员尧例 圆 的渊员冤尧渊圆冤袁通过改变节点参数使得 路和完备图由不能控变为能控遥 圆冤 改变多智能体系统的拓扑结构遥 例如院可以 通过增加或去掉节点间的联系袁将不能控的拓扑结 构转换成接近的能控的拓扑结构遥 猿摇 结束语 本文在广播信号下袁对非一致的多智能体系统的 能控性进行了研究袁得到了使其能控的充分必要条 件袁并进一步分析证明了该充分必要条件遥 为了得到 更深入的理解袁在非一致动态下还研究了路径和完备 图的能控性袁研究结果表明袁与一致动态的多智能体 系统相比袁非一致情形在广播信号下袁路和完备图的 能控性发生变化袁并指出节点的非一致动态使多智能 体系统的能控性问题更加复杂遥 此外袁还提出了改善 第 源 期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 王晓晓袁等院广播信号下非一致多智能体系统的能控性 窑源园缘窑

·406 智能系统学报 第9卷 非一致多智能体系统能控性的方法。与领导者-跟随 [9]JIZ J,WANG Z D,LIN H,et al.Interconnection topolo- 者结构相比，广播信号结构在现实生活中（如电台和 gies for multi-agent coordination under leader-follower 电视台)更为普遍，本文研究的非一致动态与实际工 framework[].Automatica,2009,45(12):2857-2863. 程中的动态网络更为接近，无论从理论还是实践角 [10]AZUMA S,YOSHIMURA R,SUGIE T.Broadeast control 度，本文的研究都有其自身的价值和意义。 of multi-agent systems[J].Automatica,2013,49(8): 2307-2316. 参考文献： [11]YOON M G,ROWLINSON P,CVETKOVIC D,et al. Controllability of multi-agent dynamical systems with a [1]TANNER H G.On the controllability of nearest neighbor in- broadcasting control signal[J.Asian Journal of Control, terconnections[C]//Proceedings of the 43rd IEEE Confer- 2014.16(4)：1-7 ence on Decision and Control.Atlantis Paradise Island,Ba- [12]COWAN N J,CHASTAIN E J.VILHENA D A.et al. hamas,2004:2467-2472. Nodal dynamics,not degree distributions,determine the [2]RAHMANI A,MESBAHI M.On the controlled agreement structural controllability of complex networks J].PLoS problem[C]//Proceedings of the IEEE American Control 0NE.2012,7(6):e38398. Conference.Minneapolis,USA,2006:1376-1381. [13]BLOEMENDAL A.Jacobi matrices EB/OL].2012-05- [3]RAHMANI A,JI Meng,MESBAHI M,et al.Controllability 30].http://www.math.harvard.edu/-alexb/rm/Jacobi. of multi-agent systems from a graph-theoretic perspective pdf. [J].SIAM Journal on Control and Optimization,2009,48 [14]GODSIL C.ROYLE G.Algebraic Graph Theory[M].New (1):162-186. York:Springer,2001:1-2,163-171,279-295. [4]JI Meng,EGERSTEDT M.A graph-theoretic characteriza- [15]CHEN C T.Linear system theory and design M].New tion of controllability for multi-agent systems[C]//Pro- York:Oxford University,1999:144-153. ceedings of the IEEE American Control Conference.New- [16]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].北京：科 York,USA.2007:4588-4593. 学出版社，2001：5-6,160-164 [5]QI Xiao.On controllability of linear systems from a graph- 作者简介： theoretic perspective[C]//Proceedings of the 31st Chinese 王晓晓，女，1989年生，硕士研究 Control Conference.Hefei,China,2012:152-154. 生，主要研究方向为多智能体系统。 [6]LIU Bo,XIE Guangming,CHU T,et al.Controllability of interconnected systems via switching networks with a leader [C]//IEEE International Conference on Systems,Man and Cyberetics.Taipei,China,2006:3912-3916. [7]LIU Bo,CHU T,WANG L,et al.Controllability of a lead- er-follower dynamic network with switching topology [J]. 纪志坚，男，1973年生，教授，博士 IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(4): 生导师，博士，主要研究方向为群体系 1009-1013. 统动力学与协调控制、复杂网络、切换 [8]XIANG L Y,ZHU J H,CHEN Fei,et al.Controllability of 动力系统的分析与控制、系统生物以及 weighted and directed networks with nonidentical node dy- 基于网络的控制系统等。先后主持国 namics[OL/EB ][2014-01-20 ]http://www.hindawi. 家自然科学基金3项，参与国家自然科学基金及“973”和 com/journals/mpe/2013/405034/. “863"等项目多。项发表学术论文50余篇，其中被SCI检 索18篇，EI检索30余篇

非一致多智能体系统能控性的方法遥 与领导者原跟随 者结构相比袁广播信号结构在现实生活中渊如电台和 电视台冤更为普遍袁本文研究的非一致动态与实际工 程中的动态网络更为接近袁无论从理论还是实践角 度袁本文的研究都有其自身的价值和意义遥 参考文献院 咱员暂栽粤晕晕耘砸 匀 郧援 韵灶 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 灶藻葬则藻泽贼 灶藻蚤早澡遭燥则 蚤灶鄄 贼藻则糟燥灶灶藻糟贼蚤燥灶泽咱悦暂 辕 辕 孕则燥糟藻藻凿蚤灶早泽 燥枣 贼澡藻 源猿则凿 陨耘耘耘 悦燥灶枣藻则鄄 藻灶糟藻 燥灶 阅藻糟蚤泽蚤燥灶 葬灶凿 悦燥灶贼则燥造援 粤贼造葬灶贼蚤泽 孕葬则葬凿蚤泽藻 陨泽造葬灶凿袁 月葬鄄 澡葬皂葬泽袁 圆园园源院 圆源远苑鄄圆源苑圆援 咱圆暂 砸粤匀酝粤晕陨 粤袁 酝耘杂月粤匀陨 酝援 韵灶 贼澡藻 糟燥灶贼则燥造造藻凿 葬早则藻藻皂藻灶贼 责则燥遭造藻皂 咱 悦暂 辕 辕 孕则燥糟藻藻凿蚤灶早泽 燥枣 贼澡藻 陨耘耘耘 粤皂藻则蚤糟葬灶 悦燥灶贼则燥造 悦燥灶枣藻则藻灶糟藻援 酝蚤灶灶藻葬责燥造蚤泽袁 哉杂粤袁 圆园园远院 员猿苑远鄄员猿愿员援 咱猿暂砸粤匀酝粤晕陨 粤袁 允陨 酝藻灶早袁 酝耘杂月粤匀陨 酝袁 藻贼 葬造援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽 枣则燥皂 葬 早则葬责澡鄄贼澡藻燥则藻贼蚤糟 责藻则泽责藻糟贼蚤增藻 咱 允暂援 杂陨粤酝 允燥怎则灶葬造 燥灶 悦燥灶贼则燥造 葬灶凿 韵责贼蚤皂蚤扎葬贼蚤燥灶袁 圆园园怨袁 源愿 渊员冤 院 员远圆鄄员愿远援 咱源暂 允陨 酝藻灶早袁 耘郧耘砸杂栽耘阅栽 酝援 粤 早则葬责澡鄄贼澡藻燥则藻贼蚤糟 糟澡葬则葬糟贼藻则蚤扎葬鄄 贼蚤燥灶 燥枣 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 枣燥则 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽 咱 悦 暂 辕 辕 孕则燥鄄 糟藻藻凿蚤灶早泽 燥枣 贼澡藻 陨耘耘耘 粤皂藻则蚤糟葬灶 悦燥灶贼则燥造 悦燥灶枣藻则藻灶糟藻援 晕藻憎鄄 再燥则噪袁 哉杂粤袁 圆园园苑院 源缘愿愿鄄源缘怨猿援 咱缘暂 匝陨 载蚤葬燥援 韵灶 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 造蚤灶藻葬则 泽赠泽贼藻皂泽 枣则燥皂 葬 早则葬责澡鄄 贼澡藻燥则藻贼蚤糟 责藻则泽责藻糟贼蚤增藻咱 悦暂 辕 辕 孕则燥糟藻藻凿蚤灶早泽 燥枣 贼澡藻 猿员泽贼 悦澡蚤灶藻泽藻 悦燥灶贼则燥造 悦燥灶枣藻则藻灶糟藻援 匀藻枣藻蚤袁 悦澡蚤灶葬袁 圆园员圆院 员缘圆鄄员缘源援 咱远暂蕴陨哉 月燥袁 载陨耘 郧怎葬灶早皂蚤灶早袁 悦匀哉 栽袁 藻贼 葬造援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 蚤灶贼藻则糟燥灶灶藻糟贼藻凿 泽赠泽贼藻皂泽 增蚤葬 泽憎蚤贼糟澡蚤灶早 灶藻贼憎燥则噪泽 憎蚤贼澡 葬 造藻葬凿藻则 咱悦暂 辕 辕 陨耘耘耘 陨灶贼藻则灶葬贼蚤燥灶葬造 悦燥灶枣藻则藻灶糟藻 燥灶 杂赠泽贼藻皂泽袁 酝葬灶 葬灶凿 悦赠遭藻则灶藻贼蚤糟泽援 栽葬蚤责藻蚤袁 悦澡蚤灶葬袁 圆园园远院 猿怨员圆鄄猿怨员远援 咱苑暂蕴陨哉 月燥袁 悦匀哉 栽袁 宰粤晕郧 蕴袁 藻贼 葬造援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 葬 造藻葬凿鄄 藻则鄄枣燥造造燥憎藻则 凿赠灶葬皂蚤糟 灶藻贼憎燥则噪 憎蚤贼澡 泽憎蚤贼糟澡蚤灶早 贼燥责燥造燥早赠 咱 允 暂援 陨耘耘耘 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 粤怎贼燥皂葬贼蚤糟 悦燥灶贼则燥造袁 圆园园愿袁 缘猿 渊 源 冤 院 员园园怨鄄员园员猿援 咱愿暂载陨粤晕郧 蕴 再袁 在匀哉 允 匀袁 悦匀耘晕 云藻蚤袁 藻贼 葬造援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 憎藻蚤早澡贼藻凿 葬灶凿 凿蚤则藻糟贼藻凿 灶藻贼憎燥则噪泽 憎蚤贼澡 灶燥灶蚤凿藻灶贼蚤糟葬造 灶燥凿藻 凿赠鄄 灶葬皂蚤糟泽 咱 韵蕴 辕 耘月 暂援 咱 圆园员源鄄园员鄄圆园 暂援 澡贼贼责院 辕 辕 憎憎憎援 澡蚤灶凿葬憎蚤援 糟燥皂 辕 躁燥怎则灶葬造泽 辕 皂责藻 辕 圆园员猿 辕 源园缘园猿源 辕 援 咱怨暂 允陨 在 允袁 宰粤晕郧 在 阅袁 蕴陨晕 匀袁 藻贼 葬造援 陨灶贼藻则糟燥灶灶藻糟贼蚤燥灶 贼燥责燥造燥鄄 早蚤藻泽 枣燥则 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 糟燥燥则凿蚤灶葬贼蚤燥灶 怎灶凿藻则 造藻葬凿藻则鄄枣燥造造燥憎藻则 枣则葬皂藻憎燥则噪咱 允暂援粤怎贼燥皂葬贼蚤糟葬袁 圆园园怨袁 源缘渊员圆冤 院 圆愿缘苑鄄圆愿远猿援 咱员园暂粤在哉酝粤 杂袁 再韵杂匀陨酝哉砸粤 砸袁 杂哉郧陨耘 栽援 月则燥葬凿糟葬泽贼 糟燥灶贼则燥造 燥枣 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 泽赠泽贼藻皂泽 咱 允暂援 粤怎贼燥皂葬贼蚤糟葬袁 圆园员猿袁 源怨 渊 愿冤 院 圆猿园苑鄄圆猿员远援 咱员员暂 再韵韵晕 酝 郧袁 砸韵宰蕴陨晕杂韵晕 孕袁 悦灾耘栽运韵灾陨悦 阅袁 藻贼 葬造援 悦燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 皂怎造贼蚤鄄葬早藻灶贼 凿赠灶葬皂蚤糟葬造 泽赠泽贼藻皂泽 憎蚤贼澡 葬 遭则燥葬凿糟葬泽贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 泽蚤早灶葬造咱 允暂援 粤泽蚤葬灶 允燥怎则灶葬造 燥枣 悦燥灶贼则燥造袁 圆园员源袁 员远渊源冤 院 员鄄苑援 咱员圆暂 悦韵宰粤晕 晕 允袁 悦匀粤杂栽粤陨晕 耘 允袁 灾陨蕴匀耘晕粤 阅 粤袁 藻贼 葬造援 晕燥凿葬造 凿赠灶葬皂蚤糟泽袁 灶燥贼 凿藻早则藻藻 凿蚤泽贼则蚤遭怎贼蚤燥灶泽袁 凿藻贼藻则皂蚤灶藻 贼澡藻 泽贼则怎糟贼怎则葬造 糟燥灶贼则燥造造葬遭蚤造蚤贼赠 燥枣 糟燥皂责造藻曾 灶藻贼憎燥则噪泽 咱 允 暂援 孕蕴燥杂 韵晕耘袁 圆园员圆袁 苑渊远冤 院 藻猿愿猿怨愿援 咱员猿暂 月蕴韵耘酝耘晕阅粤蕴 粤援 允葬糟燥遭蚤 皂葬贼则蚤糟藻泽 咱 耘月 辕 韵蕴暂援 咱 圆园员圆鄄园缘鄄 猿园暂援 澡贼贼责院 辕 辕 憎憎憎援 皂葬贼澡援 澡葬则增葬则凿援 藻凿怎 辕 耀 葬造藻曾遭 辕 则皂 辕 允葬糟燥遭蚤援 责凿枣援 咱员源暂郧韵阅杂陨蕴 悦袁 砸韵再蕴耘 郧援 粤造早藻遭则葬蚤糟 郧则葬责澡 栽澡藻燥则赠咱酝暂援 晕藻憎 再燥则噪院 杂责则蚤灶早藻则袁 圆园园员院 员鄄圆袁 员远猿鄄员苑员袁 圆苑怨鄄圆怨缘援 咱员缘暂 悦匀耘晕 悦 栽援 蕴蚤灶藻葬则 泽赠泽贼藻皂 贼澡藻燥则赠 葬灶凿 凿藻泽蚤早灶 咱 酝暂援 晕藻憎 再燥则噪院 韵曾枣燥则凿 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠袁 员怨怨怨院 员源源鄄员缘猿援 咱员远暂徐仲袁张凯院袁陆全袁等援 矩阵论简明教程咱酝暂援 北京院科 学出版社袁 圆园园员院 缘鄄远袁 员远园鄄员远源援 作者简介院 王晓晓袁女袁 员怨愿怨 年生袁硕士研究 生袁主要研究方向为多智能体系统遥 纪志坚袁男袁员怨苑猿 年生袁教授袁博士 生导师袁博士袁主要研究方向为群体系 统动力学与协调控制尧复杂网络尧切换 动力系统的分析与控制尧系统生物以及 基于网络的控制系统等遥 先后主持国 家自然科学基金 猿 项袁参与国家自然科学基金及野 怨苑猿 冶 和 野愿远猿 冶等项目多遥 项发表学术论文 缘园 余篇袁其中被 杂悦陨 检 索 员愿 篇袁耘陨 检索 猿园 余篇遥 窑源园远窑 智 能 系 统 学 报摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 第 怨 卷