第十三章向量分析 解:设A(a,0,0),B(a,0,h)为L的起点和终点用L表示由A到B 的有向线段,S表示由L和L围成的有向曲面 则由 Stokes公式得到 (x2-y)x+(y2-2x)+(=2-xy)b k ds =110dS=0 aa 于是 =(x2-y)+(y2-x)+(x2-xy)k =(-「x2-y)+(y2-2x)d+(=2-xy) =-j(x2-y)+(y2-x)+(2-xy)d e-xy:=='d:=fhn' 在二维情形设F(x,y)=X(x,y)+Y(x,y)j 则V×F=( ok 将平面区域D看成是空间的有向曲面 其单位法向量为k.对于向量场 F(x,y)=X(x,y)i+r(x, y)j 曲面D应用 Stokes公式得到 手+=』xF西-一点灿 这恰好是 Green公式 因此 Stokes公式是Gren公式在三维空间的推广 第十三章向量分析第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 解: 设 A(a,0,0),B(a,0,h) 为 L 的起点和终点.用 L1 表示由 A 到 B 的有向线段, S 表示由 L 和 L1 围成的有向曲面. 则由 Stokes 公式得到 0 0. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2  = = − − − = − + − + −    S S S dS dS x yz y zx z x y x y z i j k x yz dx y zx dy z x y dz         于是 . 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z x y dz z dz h L x yz dx y zx dy z x y dz x yz dx y zx dy z x y dz I x yz dx y zx dy z x y dz h L S L L       = − = = = − − + − + − = − − + − + − = − + − + −  在二维情形,设 F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) , 则 ( )k. y X x Y F        = − 将平面区域 D 看成是空间的有向曲面, 其单位法向量为 k  . 对于向量场 F x y X x y i Y x y j    ( , ) = ( , ) + ( , ) , 曲面 D 应用 Stokes 公式得到 ( )dxdy. y X x Y Xdx Ydy F dS D D D    + =   = −        这恰好是 Green 公式. 因此 Stokes 公式是 Green 公式在三维空间的推广