第十三章向量分析 =「(-Rsnt·tRsn=-[R2sn2td= 同样可以得到∫F:=F=、P 于是有∮F 例5:计算积分=(-=)+(-x)+(x-y在其中 L是柱面x2+y2=R2与平面x+三 abN1(a>0,b>0)的交线 其正向从O二轴向下看去为逆时针方向 解:曲线L是平面a+b=1上的一个椭圆周 设S是L围成的椭圆,上侧为正,则由 Stokes公式得到 于(y-)+(=-x0+(x-y=2/+j+k, -2(cos a+cos B+cosy)llds 其中a,By是平面的法向量与三个坐标轴的夹角 它们的余玄分别等于 COS B=U cOS y= a2+b2 √a+b 平面上的面积微元是 dS=11+()+(2)dd bady 1a2+b-dxdy=Na +b-zr2 b 由以上结果便得到 R 例6:计算积分/=「(x2-y)d+(y2-x)+(x2-xy)t x=acos e 其中L为:{y=asnO,(0≤≤2) 二=h6/2 曲线的正向与参数增加方向一致 第十三章向量分析第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 = ( ) 4 sin sin sin 2 2 0 2 2 2 0 R R t t R t dt R t dt    −  = − = −   同样可以得到 . 4 2 2 2 R F dl F dl L L   =  = −       于是有 ( )    = − =   S S F dl R F dS     2 4 3   例 5:计算积分 ( ) ( ) ( ) .  = − + − + − L I y z dx z x dy x y dz 其中 L 是柱面 2 2 2 x + y = R 与平面 + = 1 b z a x (a  0,b  0) 的交线. 其正向从 oz 轴向下看去为逆时针方向. 解: 曲线 L 是平面 + = 1 b z a x 上的一个椭圆周. 设 S 是 L 围成的椭圆,上侧为正, 则由 Stokes 公式得到    = − + + − + − + − = − + +  S L S dS y z dx z x dy x y dz i j k dS 2(cos cos cos ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )        其中 ,, 是平面的法向量与三个坐标轴的夹角, 它们的余玄分别等于 cos = ,cos ,cos . + = = + b a b a a b 2 2 2 2 0 平面上的面积微元是 dS z x z y dxdy a = 1+ + = a +b dxdy 1 2 2 2 2 ( ) ( ) .     于是 . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 R a a b a b dxdy a dS S x y R  + = + =   +  由以上结果便得到 I a b a = − R + 2 2  . 例 6:计算积分 ( ) ( ) ( ) . 2 2 2  = − + − + − L I x yz dx y zx dy z x y dz 其中 L 为 : , (0 2 ) 2 sin cos              = = = z h y a x a 曲线的正向与参数增加方向一致