·1542· 工程科学学报，第40卷，第12期 进行求解，进而探究口环密封对转子系统的双向耦 合振动的影响. 1转子横向-轴向双向耦合动力学模型 对应的广义力，=[x,0]'和=[y,-0]T为广 义坐标向量 1.1刚体叶轮运动方程 1.2轴系横向和轴向运动方程 在多级离心泵转子系统的动力学求解中，由于 本文采用有限元方法创建多级离心泵转子轴系 内部流体对叶轮作用导致的变形与转子系统的空间 的微分运动方程，图2所示为多级离心泵轴段.在 振动变形相比较小，同时叶轮的变形对整个转子系 承受轴向力P情况下，节点j-1和j之间长度为l 统的动力学振动特性影响有限，因此叶轮常近似被 轴段的动能与势能分别为： 看做刚体进行建模，而不考虑其变形势能.在转子 实际旋转过程中，叶轮仅存在平动和转动两种同步 [T.=)(Ma+M))(Ma+ 运动，其空间旋转状态如图1所示 M)G+a(G)西+o .=(ui)'K+()'K店+ (u)'Kp4+(u)'Kp] (4) 式中，Mr=∫NNds,Mm=∫NrV'd,J.= j.N"N'ds.K.=EINN'ds.K.=P.N"N'ds, 山°为轴系单位长度质量，后和分别为轴段的直 径转动惯量和极转动惯量，P为轴向力，E为轴系 弹性模量，I为轴系截面惯性矩，N为插值函数，此 图1叶轮坐标变换图 外，上标'和”分别表示一阶和二阶导数，两个广义 Fig.1 Coordinate transformation of the impeller 坐标向量G=[-1,8-1,,9],4=[y-1,- 图中坐标系0。-x'y'z与叶轮质心固结，经过空 -1,-0]. 间欧拉角变换，叶轮坐标系变换为0。-xy一坐标 系，下标数字n表示进行第n次旋转.对于横向振 轴承 轴承 油系 动的叶轮，略去高阶项，刚体叶轮动能可近似简化成 下式8] T=m,(2+)+(+)+w- 11. 2Jw08,] (1) 式中，m为叶轮质量，J和J分别为叶轮的直径转 动惯量和极转动惯量，x和y分别表示各方向位移， 轴 日和日，分别为绕x轴和y轴转角，ω为角速度 将上式带人下式非保守系统的Lagrange方程 d (aT) 图2多级离心泵轴段单元图 dt \au aT-=9:(i=1,2,3,…）(2） ou; Fig.2 Shaft element of a multi-stage pump 式中，u为广义坐标，9：为广义力，T和V分别为动能 将上面式(4)代入式(2)的Lagrange方程，即可 和势能，t为时间 得到轴段的横向运动微分方程)： 刚体叶轮微分运动方程可表示成[1】 (Mii+ωJi+(K.+Kp)=qi (Mi+ωWaig=qd (5) (3) Mi5-wJi+（K。+Kp)u=q Mauz -wJaui =q2 其中：q和q:为各轴段对应的广义力.工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 进行求解,进而探究口环密封对转子系统的双向耦 合振动的影响. 1 转子横向鄄鄄轴向双向耦合动力学模型 1郾 1 刚体叶轮运动方程 在多级离心泵转子系统的动力学求解中,由于 内部流体对叶轮作用导致的变形与转子系统的空间 振动变形相比较小,同时叶轮的变形对整个转子系 统的动力学振动特性影响有限,因此叶轮常近似被 看做刚体进行建模,而不考虑其变形势能. 在转子 实际旋转过程中,叶轮仅存在平动和转动两种同步 运动,其空间旋转状态如图 1 所示. 图 1 叶轮坐标变换图 Fig. 1 Coordinate transformation of the impeller 图中坐标系 oc 鄄鄄 x忆y忆z忆与叶轮质心固结,经过空 间欧拉角变换,叶轮坐标系变换为 oc 鄄鄄 x3 y3 z3 坐标 系,下标数字 n 表示进行第 n 次旋转. 对于横向振 动的叶轮,略去高阶项,刚体叶轮动能可近似简化成 下式[18] Td = 1 2 md ( x ·2 + y ·2 ) + 1 2 [J d d ( 兹 ·2 x + 兹 ·2 y) + J d p棕 2 - 2J d p棕兹x 兹 · y] (1) 式中,md为叶轮质量,J d d 和 J d p 分别为叶轮的直径转 动惯量和极转动惯量,x 和 y 分别表示各方向位移, 兹x和 兹y分别为绕 x 轴和 y 轴转角,棕 为角速度. 将上式带入下式非保守系统的 Lagrange 方程 d d ( t 鄣T 鄣u · ) i - 鄣(T - V) 鄣ui = qi (i = 1,2,3,…) (2) 式中,ui为广义坐标,qi为广义力,T 和 V 分别为动能 和势能,t 为时间. 刚体叶轮微分运动方程可表示成[19] Mdu ·d 1 + 棕Jdu ·d 2 = q d 1 Mdu ·d 2 - 棕Jdu ·d 1 = q { d 2 (3) 式中,Md = md 0 0 J é ë ê ê ù û ú d ú d ,Jd = 0 0 0 J é ë ê ê ù û ú d ú p ,q d 1 和 q d 2 为叶轮 对应的广义力,u d 1 = [x,兹y] T 和 u d 2 = [y, - 兹x] T 为广 义坐标向量. 1郾 2 轴系横向和轴向运动方程 本文采用有限元方法创建多级离心泵转子轴系 的微分运动方程,图 2 所示为多级离心泵轴段. 在 承受轴向力 Pz情况下,节点 j - 1 和 j 之间长度为 l 轴段的动能与势能分别为: Te = 1 2 (u ·e 1 ) T (MeT + MeR)u ·e 1 + 1 2 (u ·e 2 ) T (MeT + MeR)u ·e 2 + 棕 (u ·e 1 ) T Jeu ·e 2 + 1 2 j e p l棕 2 Ve = 1 2 [(u e 1 ) TKeu e 1 + (u e 2 ) TKeu e 2 + (u e 1 ) TKepu e 1 + (u e 2 ) TKepu e 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ] (4) 式中, MeT = 乙 l 0 滋 eN TNds, MeR = 乙 l 0 j e dN忆 TN忆ds, Je = 乙 l 0 j e pN忆 TN忆ds,Ke = EI 乙 l 0 N义 TN义ds,Kep = Pz 乙 l 0 N忆 TN忆ds, 滋 e 为轴系单位长度质量,j e d 和 j e p 分别为轴段的直 径转动惯量和极转动惯量,Pz为轴向力,E 为轴系 弹性模量,I 为轴系截面惯性矩,N 为插值函数,此 外,上标忆和义分别表示一阶和二阶导数,两个广义 坐标向量 u e 1 = [ xj - 1 ,兹y,j - 1 ,xj,兹y,j] T ,u e 2 = [ yj - 1 , - 兹x,j - 1 ,yj, - 兹x,j] T . 图 2 多级离心泵轴段单元图 Fig. 2 Shaft element of a multi鄄stage pump 将上面式(4)代入式(2)的 Lagrange 方程,即可 得到轴段的横向运动微分方程[18] : Meu ··e 1 + 棕Jeu ·e 2 + (Ke + Kep )u e 1 = q e 1 Meu ··e 2 - 棕Jeu ·e 1 + (Ke + Kep )u e 2 = q { e 2 (5) 其中:q e 1 和 q e 2 为各轴段对应的广义力. ·1542·