lim Sn(x)=lim.Sm(x) d 例1说明在点态收敛情况下,和函数(或极限函数)可能不可导,下面例题将 说明,即使和函数(或极限函数)可导,上述两等式也不一定成立 例2设S(x)=当m,则{SAx)}在(∞°,+∞)收敛,极限函数为x)=0 虽然极限函数Sx)处处可导,且导函数S(x)=0,但导函数序列{S(x)},S(x) n cos nx,并不收敛于S(x)(例如当x=0,SmO0)=√n→0)。 (c)设mn(x)或S(x)在闭区间[a,b]cD上 Riemann可积,∑un(x) Sx)(或 lim sn(x)=Sx),我们希望和函数(或极限函数)S(x)也在a,b]上 Riemann 可积,且积分值S(x)dx可以通过先对an(x)或Sx)求积分,再求和(再求极限) 得到。这一性质对函数项级数而言,就是求积分运算与无限求和运算可以交换次 序 C2u,(x)dx=2u,(x)dx 对于部分和函数序列而言,就是求积分运算与极限运算能够交换次序: lim Sm(x)dx limS,(x)dx 下面例题将说明在点态收敛情况下,和函数(或极限函数)可能 Riemann不可 积,且即使 Riemann可积,上述两等式也不一定成立 例3设 S=.当x为整数 当x为其 当x是无理数时,对一切n,SA(x)=0,因此S(x)= lim Sno(x)=0;当x是有理数9, P P∈N,q∈Z时,对于n≥p,SA(x)=1,因此S(x)=IimS(x)=1。于是{SA(x)}的极 限函数Sx)就是我们所熟知的 Dirichlet函数。显然,SA(x)在任何有限区间上都是 Riemann可积的,但极限函数S(x)却 Riemann不可积 例4设S(x)=nx(1-x)y,则{SA(x)在区间[0,1上收敛于极限函数Sx)= 显然对任意n,S(x)与Sx)都在[0,1上 Riemann可积,但是 「S.(xdx=mx-xydx=-2烏-xyd-x) 一/-→s(x)dx( 2(n+1)d x d n ∞→ lim Sn(x) = n ∞→ lim d x d Sn(x). 例 1 说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不可导，下面例题将 说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一定成立。 例 2 设Sn(x) = n sin nx ，则{Sn(x)}在(-∞，＋∞)收敛，极限函数为S(x) = 0。 虽然极限函数S(x)处处可导，且导函数S'(x) = 0，但导函数序列{S'(x)}，S'(x) = n cos nx，并不收敛于S'(x) (例如当x = 0，S'n(0) = n →0)。 （c）设un (x)(或Sn(x))在闭区间 [a，b] ⊂ D 上Riemann 可积，∑ = S(x)(或 S ∞ =1 )( n n xu n ∞→ lim n(x) = S(x))，我们希望和函数(或极限函数)S(x)也在[a，b]上Riemann 可积，且积分值 可以通过先对u ∫ b a d)( xxS n (x)(或Sn(x))求积分，再求和(再求极限) 得到。这一性质对函数项级数而言，就是求积分运算与无限求和运算可以交换次 序： ∫ ∑ = ∞ = b a n n d)( xxu 1 ∑∫ ∞ =1 d)( n b a n xxu 对于部分和函数序列而言，就是求积分运算与极限运算能够交换次序： ∫ ∞→ b a n lim Sn(x) dx = dx n ∞→ lim ∫ b a n xS )( 下面例题将说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能 Riemann 不可 积，且即使 Riemann 可积，上述两等式也不一定成立。 例 3 设 Sn(x) = ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ,0 . ,!,1 当 为其他值 当 为整数 x nx 当x是无理数时，对一切n，Sn(x) = 0，因此S(x) = S n ∞→ lim n(x) = 0；当x是有理数 p q ， p∈N，q∈Z时，对于n≥p，Sn(x) = 1，因此S(x) = S n ∞→ lim n(x) = 1。于是{Sn(x)}的极 限函数S(x)就是我们所熟知的Dirichlet函数。显然，Sn(x)在任何有限区间上都是 Riemann 可积的，但极限函数S(x)却Riemann 不可积。 例 4 设Sn(x) = nx(1 - x 2 ) n ，则{Sn(x)}在区间[0，1]上收敛于极限函数S(x) = 0。 显然对任意n，Sn(x)与S(x)都在[0，1]上Riemann 可积，但是 ∫ 1 0 d)( xxSn = = - ∫ − 1 0 2 d)1( xxnx n 2 n ∫ −− 1 0 2 2 xx )1d()1( n = n + )1(2 n ─/─→ ∫ (n→∞)。 1 0 d)( xxS