是给定的{S(x)},而它的收敛性与{S(x)}的收敛性是相同的 由于上述函数项级数∑un(x)与函数序列{Sx)的收敛性在本质上是完全相 同的,在研究函数项级数的性质时,可以先讨论函数序列的性质,而所得到的结 论对相应的函数项级数也是自然成立的。 (2)函数项级数(或函数序列)的基本问题 如果函数ln(x)或S(x)具有某种分析性质(例如连续性,可导性或 Riemann 可积性),那末其和函数(或极限函数是否也保持同样的分析性质?具体地说,对 于有限个连续,可导或可积函数之和,和函数仍然连续,可导或可积,并且和函 数的极限,导数或积分,可以通过每个函数求极限,导数或积分后再求和来得到 但是若将这有限个函数之和换成函数项级数,是否仍然可以如上面所述的那样对 和函数进行求极限,求导数或求积分的运算? (a)设n(x)(或S(x)在D连续,∑un(x)=Sx)(或imSx)=S(x),我们希望 和函数(或极限函数S(x)也在D连续,即对于任意x0∈D,成立 lim S(x)=S(xo)。这 x→x0 一性质对于函数项级数而言,就是极限运算与无限求和运算能够交换次序: ln(x)=∑mun(x) 对于部分和函数序列而言,就是两种极限运算能交换序列 lim lim S,(x)= lim lim Sn(x) 下面例题说明上述两等式在点态收敛的情况下不一定成立。 例1设S(x)=x,则{S(x)在区间(-1,1收敛,极限函数为 0,-1<x<1 S(x)=lim Sn(x)= 虽然对一切n,S(x)在(-1,1连续(也是可导的),但极限函数Sx)在x=1不连续( 然更谈不上x=1可导)。 (b)设n(x)或SAx)在D可导,∑un(x)=S(x)或lmS(x)=(x),我们希望和 函数(或极限函数)Sx)也在D可导,且导函数S(x)可以通过先对ln(x)(或S(x) 求导,再求和(或求极限)得到。这一性质对于函数项级数而言,就是求导运算与 无限求和运算能够交换次序 l2(x) l2(x); 对于部分和函数序列而言,就是求导运算与极限运算交换次序是给定的{Sn(x)}，而它的收敛性与 {Sn(x)}的收敛性是相同的。 由于上述函数项级数∑ 与函数序列{S ∞ =1 )( n n xu n(x)}的收敛性在本质上是完全相 同的，在研究函数项级数的性质时，可以先讨论函数序列的性质，而所得到的结 论对相应的函数项级数也是自然成立的。 （2） 函数项级数(或函数序列)的基本问题： 如果函数un (x)(或Sn(x))具有某种分析性质(例如连续性，可导性或Riemann 可积性)，那末其和函数(或极限函数)是否也保持同样的分析性质?具体地说，对 于有限个连续，可导或可积函数之和，和函数仍然连续，可导或可积，并且和函 数的极限，导数或积分，可以通过每个函数求极限，导数或积分后再求和来得到。 但是若将这有限个函数之和换成函数项级数，是否仍然可以如上面所述的那样对 和函数进行求极限，求导数或求积分的运算? (a)设un (x)(或Sn(x))在D连续，∑ = S(x) (或 S ∞ =1 )( n n xu n ∞→ lim n(x) = S(x))，我们希望 和函数(或极限函数)S(x)也在D连续，即对于任意x0∈D，成立 S(x) = S(x 0 lim →xx 0)。这 一性质对于函数项级数而言，就是极限运算与无限求和运算能够交换次序： = ； 0 lim →xx ∑ ∞ =1 )( n n xu ∑ ∞ = → 1 )(lim0 n n xx xu 对于部分和函数序列而言，就是两种极限运算能交换序列： 0 lim →xx n ∞→ lim Sn(x) = S n ∞→ lim 0 lim →xx n(x). 下面例题说明上述两等式在点态收敛的情况下不一定成立。 例 1 设Sn(x) = x n ，则{Sn(x)}在区间(-1，1]收敛，极限函数为 S(x) = S n ∞→ lim n(x) = . ⎩ ⎨ ⎧ = <<− .1,1 ,11,0 x x 虽然对一切n，Sn(x)在(-1，1]连续(也是可导的)，但极限函数S(x)在x = 1 不连续 (当 然更谈不上x = 1 可导)。 （b）设un (x)(或Sn(x)在D可导，∑ = S(x)(或 S ∞ =1 )( n n xu n ∞→ lim n(x) = S(x))，我们希望和 函数(或极限函数)S(x)也在D可导，且导函数 d x d S(x)可以通过先对un (x)(或Sn(x)) 求导，再求和(或求极限)得到。这一性质对于函数项级数而言，就是求导运算与 无限求和运算能够交换次序： d x d ∑ ∞ =1 )( n n xu = ∑ ∞ =1 )( d d n n xu x ； 对于部分和函数序列而言，就是求导运算与极限运算交换次序