教案 函数项级数的一致收敛性 1.教学内容 通过讨论关于函数项级数(函数序列)的无限求和运算(极限运算)是否能 与极限运算,求导运算或积分运算交换次序的问题,提出函数项级数(函数 序列)的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件 2.指导思想 (1)数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算(微分与积分的实质 也是极限运算),极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由于有限求 和运算可以与极限运算,求导运算或积分运算交换次序,所以讨论级数与 极限运算,求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基 本问题。 (2)函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一个难点,也是学生最 难掌握的内容之一。以往的教材往往直接引进函数项级数的一致收敛概念, 然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算,求导运算或积分运算 交换次序,学生往往只能死记硬背概念,不能真正理解它的实质意义,过 后很快容易忘记。我们则在教学中反其道而行之,先讨论一系列具体的函 数项级数例子,指出在点态收敛的情况下,函数项级数不一定可以与极限 运算,求导运算或积分运算交换次序,从而理解为了保证运算的交换,有 必要引进更强的收敛概念,然后再讲解函数项级数的一致收敛概念。 (3)在数学分析课程中,一致收敛概念不仅出现于函数项级数部分,还出现于 含参变量积分部分(它保证了积分运算与其他运算的可交换性),可以说, 致收敛性是数学分析,乃至整个分析学中最重要的概念之一,是学好如 泛函分析,偏微分方程等后继课程的必备基础。因此在函数项级数部分第 次出现一致收敛概念时,必须将问题的背景,引人一致收敛概念的意义 讲清楚,使学生从本质上理解它,做到终身不忘。 3.教学安排 (1)函数项级数与函数序列收敛性的等价性 给定函数项级数∑t1(x)(收敛域为集合D),设它的部分和函数序列为Sx) Sx)=∑u4(x),x∈E, k=1 则函数序列{S(x)的收敛域也是集合D,且极限函数就是∑un(x)的和函数S(x) S(x)=limS(x),x∈D。 反过来,给定一个函数序列{S(x)},只要令u(x)=S1(x),lm+1(x)=Sm+(x) Sx)(n=1,2,…),就可得到函数项级数∑un(x),它的部分和函数序列就教案 函数项级数的一致收敛性 1． 教学内容 通过讨论关于函数项级数（函数序列）的无限求和运算（极限运算）是否能 与极限运算，求导运算或积分运算交换次序的问题，提出函数项级数（函数 序列）的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件。 2． 指导思想 （1）数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算（微分与积分的实质 也是极限运算），极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由于有限求 和运算可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，所以讨论级数与 极限运算，求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基 本问题。 （2）函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一个难点，也是学生最 难掌握的内容之一。以往的教材往往直接引进函数项级数的一致收敛概念， 然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算，求导运算或积分运算 交换次序，学生往往只能死记硬背概念，不能真正理解它的实质意义，过 后很快容易忘记。我们则在教学中反其道而行之，先讨论一系列具体的函 数项级数例子，指出在点态收敛的情况下，函数项级数不一定可以与极限 运算，求导运算或积分运算交换次序，从而理解为了保证运算的交换，有 必要引进更强的收敛概念，然后再讲解函数项级数的一致收敛概念。 （3）在数学分析课程中，一致收敛概念不仅出现于函数项级数部分，还出现于 含参变量积分部分（它保证了积分运算与其他运算的可交换性），可以说， 一致收敛性是数学分析，乃至整个分析学中最重要的概念之一，是学好如 泛函分析，偏微分方程等后继课程的必备基础。因此在函数项级数部分第 一次出现一致收敛概念时，必须将问题的背景，引人一致收敛概念的意义 讲清楚，使学生从本质上理解它，做到终身不忘。 3． 教学安排 （1）函数项级数与函数序列收敛性的等价性： 给定函数项级数∑ （收敛域为集合D），设它的部分和函数序列为S ∞ =1 )( n n xu n(x)： Sn(x) = ∑ ， x∈E， = n k k xu 1 )( 则函数序列{Sn(x)}的收敛域也是集合D，且极限函数就是 的和函数 ∑ S(x)： ∞ =1 )( n n xu S(x) = S n ∞→ lim n(x)， x∈D 。 反过来，给定一个函数序列 {Sn(x)}，只要令 u1(x) = S1(x)， un + 1(x) = Sn+ 1(x) - Sn(x) (n = 1，2，...)，就可得到函数项级数∑ ，它的部分和函数序列就 ∞ =1 )( n n xu