期末作业 Final Assignment 2023年5月28日 数学建模课程 May 28th,2023 此外，假定地面边界有形状s(红，)，可能具有一定的吸收与反射比例，将在之后边界条 件的部分进行详细讨论。 S4.2有限差分法 4.2.1基本介绍 为了求解上述偏微分方程，我们采用有限差分法进行数值模拟。具体地，我们将三维空 间离散化，得到一个网格状的空间，并在每个网格点上计算灰尘浓度，根据扩散方程进行更 新。 对偏微分方程的另一个常用的离散方法为控制容积法。由于选取一定的型线可以得到和 有限差分法相同的形式，且控制容积的写法不易于从数学上进行分析，我们采取较直接的差 分方式。 假设工，y,z的模拟范围分别是1，x,h,h,[a1,剑，选取的空间步长为九，时间步长 为，则问题变为，已知此刻的三维矩阵C经*XX,如何得到下一刻的矩阵C女x’其 中xs=2+1是x方向以h为步长离散出的格点数（含边界），其他方向同理。只要能 够正确迭代，通过取之=0即可得到每一刻的地表浓度分布。 接下来介绍两个常用的迭代求解方法，也是本文实现的做法。值得注意的是，本节中介 绍的方法均不考虑边界条件，也即迭代规律只对内部的点有效。 4.2.2FTCS格式 若Ck表示h:时刻(h,jh,kh)位置的浓度，=w(h,h:),Ck表示此点对a 求n阶导数的值，由泰勒展开可推得： r=f+f-+o 2h f=f+月-f@+O h g=+)+g-月-2@+0u 2 因此有 acC+o0h) h acA-c盛t-C达+o时 2h gC4-c出+C-2C+o的 h2 7 期末作业 2023 年 5 月 28 日 数学建模课程 Final Assignment May 28th, 2023 此外，假定地面边界有形状 s(x, y)，可能具有一定的吸收与反射比例，将在之后边界条 件的部分进行详细讨论。 §4.2 有限差分法 4.2.1 基本介绍 为了求解上述偏微分方程，我们采用有限差分法进行数值模拟。具体地，我们将三维空 间离散化，得到一个网格状的空间，并在每个网格点上计算灰尘浓度，根据扩散方程进行更 新。 对偏微分方程的另一个常用的离散方法为控制容积法。由于选取一定的型线可以得到和 有限差分法相同的形式，且控制容积的写法不易于从数学上进行分析，我们采取较直接的差 分方式。 假设 x, y, z 的模拟范围分别是 [x1, x2], [y1, y2], [z1, z2]，选取的空间步长为 h，时间步长 为 ht，则问题变为，已知此刻的三维矩阵 C i xs×ys×zs，如何得到下一刻的矩阵 C i+1 xs×ys×zs，其 中 xs = x2−x1 h + 1 是 x 方向以 h 为步长离散出的格点数（含边界），其他方向同理。只要能 够正确迭代，通过取 z = 0 即可得到每一刻的地表浓度分布。 接下来介绍两个常用的迭代求解方法，也是本文实现的做法。值得注意的是，本节中介 绍的方法均不考虑边界条件，也即迭代规律只对内部的点有效。 4.2.2 FTCS 格式 若 C l i,j,k 表示 lht 时刻 (ih, jh, kh) 位置的浓度，w l k = w(kh, lht)，∂ n a C l i,j,k 表示此点对 a 求 n 阶导数的值，由泰勒展开可推得： f ′ (x) = f(x + h) − f(x − h) 2h + O(h 2 ) f ′ (x) = f(x + h) − f(x) h + O(h) f ′′(x) = f(x + h) + f(x − h) − 2f(x) h 2 + O(h 2 ) 因此有 ∂tC l i,j,k = C l+1 i,j,k − C l i,j,k ht + O(ht) ∂xC l i,j,k = C l+1 i+1,j,k − C l i−1,j,k 2h + O(h 2 ) ∂ 2 xC l i,j,k = C l+1 i+1,j,k + C l i−1,j,k − 2C l i,j,k h 2 + O(h 2 ) 7