期末作业 Final assignment 2023年5月28日 数学建模课程 May 28th,2023 表1：符号说明 符号 说明 单位 h 烟囱（排放点）高度 m Q 单位时间内排放的灰尘质量 kg/s U 风速 m/s 刀 扩散系数 m2/s (红，)地表位置坐标，烟肉为原点(0,0)，西风吹向为x正方向 (m,m） 垂直地表高度 m t 扩散时间 C(A,t) 灰尘浓度，表示空间点A,时间为t时的灰尘浓度 kg/(m3.s) s(r,y) 地面高度，表示(x,)处地面的之坐标 m 四、模型建立 S4.1对流-扩散方程 由流体力学，扩散作用项的表达是D△C,其中 22 △=+亦+0 是拉普拉斯算子。 而由空气运动所产生的对流项的表达是1VC,其中u(红，，云，)为流速， -(品”) 为Nabla算子。 由于x方向风速恒定，其余只有之方向速度，可化简为得到以下偏微分方程： 架=架++p(祭+器+9)+6 (4.1) 式(4.1)是一个对流扩散方程，对其有多种不同的数值求解策略同。 根据流体力学推导，扩散系数D可以表示为红，其中k是玻尔兹曼常数，T是温度， 是空气粘度，r是灰尘粒子半径，这里可不妨设其为己知常数。 U与m的系数为正，意味着均指向对应轴的负方向。U指向x轴的负方向是为方便之 后作图，而心由于主要代表重力作用，也应指向之轴负方向。 这里Co表示新生成的浓度，由单位时间生成浓度为Q,C%应满足∫Codz dydz=Q, 无量纲化后可任意指定Q为方便计算的值。由于已经假定了每个时刻排出烟尘的一致，C 与t无关。 6期末作业 2023 年 5 月 28 日 数学建模课程 Final Assignment May 28th, 2023 表 1: 符号说明 符号 说明 单位 h 烟囱 (排放点) 高度 m Q 单位时间内排放的灰尘质量 kg/s U 风速 m/s D 扩散系数 m2/s (x, y) 地表位置坐标，烟囱为原点 (0, 0), 西风吹向为 x 正方向 (m,m) z 垂直地表高度 m t 扩散时间 s C(A, t) 灰尘浓度，表示空间点 A，时间为 t 时的灰尘浓度 kg/(m3 · s) s(x, y) 地面高度，表示 (x, y) 处地面的 z 坐标 m 四、 模型建立 §4.1 对流-扩散方程 由流体力学，扩散作用项的表达是 D∆C，其中 ∆ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 是拉普拉斯算子。 而由空气运动所产生的对流项的表达是 u · ∇C，其中 u(x, y, z, t) 为流速， ∇ = ( ∂ ∂x, ∂ ∂y , ∂ ∂z) 为 Nabla 算子。 由于 x 方向风速恒定，其余只有 z 方向速度，可化简为得到以下偏微分方程： ∂C ∂t = U ∂C ∂x + w(z, t) ∂C ∂z + D ( ∂ 2C ∂x2 + ∂ 2C ∂y2 + ∂ 2C ∂z2 ) + C0(x, y, z) (4.1) 式 (4.1) 是一个对流-扩散方程，对其有多种不同的数值求解策略 [6]。 根据流体力学推导，扩散系数 D 可以表示为 kT 6πηr，其中 k 是玻尔兹曼常数，T 是温度， η 是空气粘度，r 是灰尘粒子半径，这里可不妨设其为已知常数。 U 与 w 的系数为正，意味着均指向对应轴的负方向。U 指向 x 轴的负方向是为方便之 后作图，而 w 由于主要代表重力作用，也应指向 z 轴负方向。 这里 C0 表示新生成的浓度，由单位时间生成浓度为 Q，C0 应满足 ∫∫∫ C0 dx dy dz = Q， 无量纲化后可任意指定 Q 为方便计算的值。由于已经假定了每个时刻排出烟尘的一致，C0 与 t 无关。 6