例如计算椭圆x+)=1(b>a>0)的周长时,利用椭圆的参数方程 x=acos,y= bsin t,记L为椭圆在第一象限的部分,则所求周长的四 分之一为 ds=[2va2sin2t+62cos2 tdt=[2a2sin2t+b(1-Sin?t)dt sin tdt=621-k tdi 这里k ∫-k2sm7ut就是含参变量k 的积分,称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是, 被积函数√1-k2sin2t的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分,通常只能采用数值计 算的方法。 图15.1.1例如计算椭圆 )0(1 2 2 2 2 ab >>=+ b y a x 的周长时，利用椭圆的参数方程 = = sin,cos tbytax ，记 L 为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四 分之一为 π π 2 2 22 2 2 22 2 2 0 0 π π 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 d sin cos d sin (1 sin )d 1 sin d 1 sin d , s a t b tt a t b t t b a b t t b k t t b = + = +− − =− =− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L 这里 b ab k 22 − = 。 2 2 2 0 1 sin d k tt π − ∫ 就是含参变量k 的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是， 被积函数 tk 22 − sin1 的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计 算的方法。 L x z O 图15.1.1