第十五章含参变量积分 §1含参变量的常义积分 含参变量常义积分的定义 设f(x,y)是定义在闭矩形{a,b×c,d上的连续函数,对于任意固 定的y∈c,d],f(x,y)是[a,b上关于x的一元连续函数,因此它在[a,b 上的积分存在,且积分值∫f(x,yA由y唯一确定。也就是说, (y)=f(x,y)dx,y∈cd 确定了一个关于y的一元函数。由于式中的y可以看成一个参变量, 所以称它为含参变量y的积分。同理可定义含参变量x的积分 J(x)=Jfxy)dy,x∈ab。它们统称含参变量常义积分,一般就称 为含参变量积分
含参变量常义积分的定义 设 yxf ),( 是定义在闭矩形 × dcba ],[],[ 上的连续函数，对于任意固 定的 ∈ dcy ],[ ， yxf ),( 是 ba ],[ 上关于 x的一元连续函数，因此它在 ba ],[ 上的积分存在，且积分值 ( , )d b a f xy x ∫ 由 y 唯一确定。也就是说， ( ) ( , )d , [ , ] b a I y f xy x y cd = ∈ ∫ 确定了一个关于 y 的一元函数。由于式中的 y 可以看成一个参变量， 所以称它为含参变量 y 的积分。同理可定义含参变量 x 的积 分 ( ) ( , )d d c J x f xy y = ∫ ， ∈ bax ],[ 。它们统称含参变量常义积分，一般就 称 为含参变量积分 。 第十五章 含参变量积分 §1 含参变量的常义积分
例如计算椭圆x+)=1(b>a>0)的周长时,利用椭圆的参数方程 x=acos,y= bsin t,记L为椭圆在第一象限的部分,则所求周长的四 分之一为 ds=[2va2sin2t+62cos2 tdt=[2a2sin2t+b(1-Sin?t)dt sin tdt=621-k tdi 这里k ∫-k2sm7ut就是含参变量k 的积分,称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是, 被积函数√1-k2sin2t的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分,通常只能采用数值计 算的方法。 图15.1.1
例如计算椭圆 )0(1 2 2 2 2 ab >>=+ b y a x 的周长时，利用椭圆的参数方程 = = sin,cos tbytax ，记 L 为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四 分之一为 π π 2 2 22 2 2 22 2 2 0 0 π π 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 d sin cos d sin (1 sin )d 1 sin d 1 sin d , s a t b tt a t b t t b a b t t b k t t b = + = +− − =− =− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L 这里 b ab k 22 − = 。 2 2 2 0 1 sin d k tt π − ∫ 就是含参变量k 的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是， 被积函数 tk 22 − sin1 的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计 算的方法。 L x z O 图15.1.1
含参变量常义积分的分析性质 定理15.1.1(连续性定理)设f(x,y)在闲矩形D=[a,b]×[c,4]上连 续,则函数 1(y)= f(x, y)dx 在[c,团上连续
含参变量常义积分的分析性质 定理 15.1.1（连续性定理） 设 yxf ),( 在闭矩形 D = × dcba ],[],[ 上连 续，则函数 ( ) ( , )d b a Iy f xy x = ∫ 在 dc ],[ 上连续
含参变量常义积分的分析性质 定理15.1.1(连续性定理)设f(x,y)在闲矩形D=[a,b]×[c,4]上连 续,则函数 (y)= f(x, y )dx 在[c,团上连续。 证因为f(x,y)在闭矩形D上连续,所以一致连续。因此对于任意 给定的E>0,存在δ>0,使得对于任意两点x,y1),(x2,y2)∈D,当 (1-x2)2+(y1-y2)2<6时,成立 f(x,yu)-f(x2,y2)ka 对任意定点y∈[c,d,只要|y-ykδ,就有 (xy)-(x) ∫m(xy)-/(x)dx<(b a 8 这说明1(y)在c,上连续
证 因为 yxf ),( 在闭矩形D上连续，所以一致连续。因此对于任意 给定的ε > 0，存在δ > 0，使得对于任意两点 ),,( 11 yx yx 22 ),( ∈ D，当 <−+− δ 2 21 2 21 yyxx )()( 时，成立 − |),(),(| < ε 11 22 yxfyxf 。 对任意定点 ],[ 0 ∈ dcy ，只要 − yy 0 || < δ ，就有 0 0 0 | ( ) ( ) | [ ( , ) ( , )]d | ( , ) ( , )|d ( ) . b a b a Iy Iy f xy f xy x f xy f xy x b a ε −= − ≤ − <− ∫ ∫ 这说明 yI )( 在 dc ],[ 上连续。 含参变量常义积分的分析性质 定理 15.1.1（连续性定理）设 yxf ),( 在闭矩形 D = × dcba ],[],[ 上连 续，则函数 ( ) ( , )d b a Iy f xy x = ∫ 在 dc ],[ 上连续
由这个结论可知 lim f(x, y)dx=lim f(x, y)dx, yo e[c,d] y→>y ay→y 即极限运算与积分号可以交换
由这个结论可知 0 0 lim ( , )d lim ( , )d b b y y a a y y f x y x f x y x → → = ∫ ∫ ， ],[ 0 ∈ dcy 。 即极限运算与积分号可以交换
由这个结论可知 lim f(r, y)dx f(x,y)dx,yo∈[c, y→>y ay→y 即极限运算与积分号可以交换。 例15.11求m1+na 解由于函数 1+x cos ax 在闭矩形[0, 上连续,因此由定理151.1 dx lin lim a-50J01+x2 coax Joa-0 1+x cos ax Jo1tx
例 15.1.1 求 1 2 0 0 d lim 1 cos x α→ + x αx ∫ 。 解 由于函数 x x xf α α cos1 1 ),( 2 + = 在闭矩形 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡−× 21, 21 ]1,0[ 上连续，因此由定理 15.1.1， 11 1 2 22 0 0 00 0 d d1 π lim lim d 1 cos 1 cos 1 4 x x x α α → → xx xx x α α = = = + ++ ∫∫ ∫ 。 由这个结论可知 0 0 lim ( , )d lim ( , )d b b y y a a y y f x y x f x y x → → = ∫ ∫ ， ],[ 0 ∈ dcy 。 即极限运算与积分号可以交换
定理15.1.2(积分次序交换定理)设f(x,y)在闭矩形[abx[c,d 上连续,则 dyl f(x, y)dx= dxf(x,y)dy 证由于f(x,y)在[ab×,4]上连续,因此由二重积分的计算公式 可知 ∫∫f(x,ykx=∫f(xyd-JdJ(xyy
定理 15.1.2（积分次序交换定理） 设 yxf ),( 在闭矩形 × dcba ],[],[ 上连续，则 d ( , )d d ( , )d d b b d c a a c y f x y x x = f x y y ∫∫ ∫∫ 。 证 由于 yxf ),( 在 × dcba ],[],[ 上连续，因此由二重积分的计算公 式 可知 [ , ][ , ] d ( , )d ( , )d d d ( , )d d b b d c a a c ab cd y f xy x f xy xy x f xy y × = = ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
例15.1.2计算=dx,其中b>a>0 解由于 x ay In x 因此 x ay 由于f(x,y)=x在闭矩形0,xab]上连续,所以积分次序可以交换, 1+b dy= In a l+y 1+a
例 15.1.2 计算 1 0 d ln b a x x I x x − = ∫ ，其中 ab >> 0。 解 由于 d ln b a b y a x x x y x − = ∫ ， 因此 1 0 d d b y a I x xy = ∫ ∫ 。 由于 y ),( = xyxf 在闭矩形 × ba ],[]1,0[ 上连续，所以积分次序可以交换， 即 1 1 0 0 1 1 d d d d d ln 1 1 bb b y y aa a b I x xy y xx y y a + = = == + + ∫∫ ∫∫ ∫
定理15.1.3(积分号下求导定理)设f(x,y),f,(x,y)都在闭矩形 a,b]×{e,d上连续,则1(y)在[c4]上可导,并且在[c,上成立 dI(y 证对任意y∈[d,当y+Δy∈[c,d时,利用微分中值定理 I(y+Ay-1(y) bf(r, y+Ay)-f(x, y) △ dx=lf, (x, y+0y)dx(0<0<1) 由定理151.1,即有 d/(y) (y+△y)-/(y) =im Ay→+0 lim. /,(,y+0Ay)dr mf(xy+的Ay)dx引f(x,y)d
定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设 yxfyxf ),(),,( y 都在闭矩 形 × dcba ],[],[ 上连续，则 yI )( 在 dc ],[ 上可导，并且在 dc ],[ 上成立 d( ) ( , )d d b y a I y f xy x y = ∫ 。 证 对任意 ∈ dcy ],[ ，当 + Δ ∈ dcyy ],[ 时，利用微分中值定理， ( ) () (, ) (, ) d ( , )d b b y a a Iy y Iy f xy y f xy x f xy y x y y θ + Δ − +Δ − = = + Δ Δ Δ ∫ ∫ ( < θ < 10 ) 。 由定理 15.1.1，即有 0 0 0 d( ) ( ) ( ) lim lim ( , )d d lim ( , )d ( , )d . b y y y a b b y y a a y Iy Iy y Iy f xy y x y y f xy y x f xy x θ θ Δ → Δ → Δ → + Δ − = =+ Δ Δ = + Δ = ∫ ∫ ∫
定理15.1.3(积分号下求导定理)设f(x,y),f,(x,y)都在闭矩形 a,b]×{e,d上连续,则1(y)在[c4]上可导,并且在[c,团上成立 d/(y) d 证对任意y∈[d,当y+Δy∈[c,d时,利用微分中值定理 4+4)40=(xy+=(xy+y(00) y 由定理151.1,即有 d/(y) (y+△y)-/(y) =im Ay→+0 lim. /,(,y+0Ay)dr J lim (x,y+ 4y)dx=/,(x,y)dx 这个定理的结论也可写为 d f(x, y)dx 这说明求导运算与积分号可以交换
这个定理的结论也可写为 d ( , )d ( , )d d b b a a f x y x f x y x y y ∂ = ∂ ∫ ∫ 。 这说明求导运算与积分号可以交换。 定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设 yxfyxf ),(),,( y 都在闭矩 形 × dcba ],[],[ 上连续，则 yI )( 在 dc ],[ 上可导，并且在 dc ],[ 上成立 d( ) ( , )d d b y a I y f xy x y = ∫ 。 证 对任意 ∈ dcy ],[ ，当 + Δ ∈ dcyy ],[ 时，利用微分中值定理， ( ) () (, ) (, ) d ( , )d b b y a a Iy y Iy f xy y f xy x f xy y x y y θ + Δ − +Δ − = = + Δ Δ Δ ∫ ∫ ( < θ < 10 ) 。 由定理 15.1.1，即有 0 0 0 d( ) ( ) ( ) lim lim ( , )d d lim ( , )d ( , )d . b y y y a b b y y a a y Iy Iy y Iy f xy y x y y f xy y x f xy x θ θ Δ → Δ → Δ → + Δ − = =+ Δ Δ = + Δ = ∫ ∫ ∫