§4 Fourier变换和 Fourier积分 Fourier变换及其逆变换 前面关于 Fourier级数的论述都是对周期函数而言的,那么对于 非周期函数,又该如何处理呢? 在(-∞,+∞)上可积的非周期函数f(x)可以看成是周期函数的极限 情况,处理思路是这样的: (1)先取f(x)在-7,7上的部分(即把它视为仅定义在[-T,]上 的函数),再以2T为周期,将它延拓为(-∞+∞)上的周期函数f(x); (2)对得到的周期函数f(x)作 Fourier展开; (3)令T趋于无穷大
Fourier 变换及其逆变换 前面关于 Fourier 级数的论述都是对周期函数而言的，那么对于 非周期函数，又该如何处理呢？ 在 +∞−∞ ),( 上可积的非周期函数 f x( )可以看成是周期函数的极限 情况，处理思路是这样的： （1） 先取 f x( )在[ ,] −T T 上的部分（即把它视为仅定义在[ ,] −T T 上 的函数），再以2T 为周期，将它延拓为 +∞−∞ ),( 上的周期函数 f x T ( )； （2） 对得到的周期函数 f x T ( )作 Fourier 展开； （3） 令T 趋于无穷大。 §4 Fourier变换和Fourier积分
下面叙述处理过程(但省略具体细节)。将 Euler公式 16 e+e s e e sIn 代入周期为2T的函数∫(x)的 Fourier级数,记是圆频率(下面就简 称为频率),=m,得到 f(x (a, cos@,x+b, sin a ∑ a.+
下面叙述处理过程（但省略具体细节）。将 Euler 公式 i i e e cos 2 θ θ θ − + = ， i i ee i i i sin (e e ) 2i 2 θ θ θ θ θ − − − = =− − 代入周期为 2 T 的函数 f x T ( ) 的 Fourier 级数，记 π T 是圆频率（下面就简 称为频率）， π n n T ω = ，得到 f x T ( ) ∑ ∞ = + + 1 0 cos( )sin 2 ~ n n nnn xbxa a ω ω 0 i i 1 i i e e 22 2 n n nn nn x x n a ab ab ω ω ∞ − = ⎛ ⎞ − + = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑
fr(x)+2(a, cos O, x+b, sin @, x) +ib 记 ∫2(edr=an(n=12…) 则得到 C f1(x) +c. e 22 这称为 Fourier级数的复数形式
f x T ( ) ∑ ∞ = + + 1 0 cos( )sin 2 ~ n n nnn xbxa a ω ω 0 i i 1 i i e e 22 2 n n nn nn x x n a ab ab ω ω ∞ − = ⎛ ⎞ − + = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 。 记 00 = ac , i nn n ca b = − 1 i ( )e d n T t T T f t t T − ω − = ∫ = − c n （n = ,2,1 "）， 则得到 f x T ( )~ 0 i i 1 1 (e e ) 2 2 n n x x n n n c c c ω ω +∞ − − = + + ∑ 1 i e 2 n x n n c ω +∞=−∞ = ∑ , 这称为 Fourier 级数的复数形式
将c的表达式代入,即有 2T ∑|∫.0e-, dtel 记△O=On-0n1=,于是当7→+时△o→0,即得到 f(x)=Imf(x)im,∑∫f()e -1o.I dt e△O。 记n(o)= 2xJ0edy,则上式可写成 f(x) lim ∑9(o△O AO→0
将cn的表达式代入，即有 f x T ( )~ 1 i i ( )e d e 2 n n T t x T T n ft t T ω ω +∞ − − =−∞ ⎡ ⎤ ∑ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 。 记 1 π n n T Δωω ω =− = − ，于是当T → +∞ 时 ω →Δ 0，即得到 f x( ) = lim ( ) ~ T Tf x →+∞ i i 0 1 lim ( ) e d e 2π n n T t x T T n ft t ω ω ω ω +∞ − Δ → − =−∞ ⎡ ⎤ Δ ∑ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 。 记 1 i i ( ) ( )e d e 2π T t x T T T ft t ω ω ϕ ω − − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，则上式可写成 f x( )~ ∑ +∞ −∞= →Δ Δ n nT ωωϕ ω )(lim0
将c的表达式代入,即有 ∑|∫.0e I e 2T 记△O=On-0n1=,于是当r→+时△O→0,即得到 f(x)=lim f(x)lim ∑|,e -lo.I dt e△e A002n 记n(o)= 2xJ0edy,则上式可写成 f(x)~lim∑9(on)△O +∞ 由于当△o→0时,g2(o)将随之趋于o)2 f(te-o dt e 所以将上式右端看成(o)在(-∞,+∞)上的“积分”,于是(形式上)就 有 f(x) deion f(t) d 2
由于当 ω →Δ 0时，ϕ ω)( T 将随之趋于 1 i i ( ) ( )e d e 2π t x ft t ω ω ϕ ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ， 所以将上式右端看成 ．． ϕ ω)( 在 −∞ +∞),( 上的“积分”，于是（形式上 ．．． ）就 有 f x( )~ 1 i i ( )e d e d 2 t x ft t ω ω ω π +∞ + ∞ − −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 。 将cn的表达式代入，即有 f x T ( )~ 1 i i ( )e d e 2 n n T t x T T n ft t T ω ω +∞ − − =−∞ ⎡ ⎤ ∑ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 。 记 1 π n n T Δωω ω =− = − ，于是当T → +∞ 时 ω →Δ 0，即得到 f x( ) = lim ( ) ~ T Tf x →+∞ i i 0 1 lim ( ) e d e 2π n n T t x T T n ft t ω ω ω ω +∞ − Δ → − =−∞ ⎡ ⎤ Δ ∑ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 。 记 1 i i ( ) ( )e d e 2π T t x T T T ft t ω ω ϕ ω − − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，则上式可写成 f x( )~ ∑ +∞ −∞= →Δ Δ n nT ωωϕ ω )(lim0
方括号中的函数 f(0)=∫(xdx(∈(2+)) 称为f的 Fourier变换(或像函数),记为P门,即 FT/o)=(o)=」f(x)e 10x
方括号中的函数 ˆ i ( ) ( )e dx f fx x ω ω +∞ − −∞ = ∫ （ω ∈ −∞ +∞),( ） 称为 f 的 Fourier 变换（或像函数），记为 fF ][ ，即 ˆ i [ ]( ) ( ) ( ) e d , x F f f fx x ω ω ω +∞ − −∞ = = ∫
方括号中的函数 f(o)=∫(xe -1 x 0∈(-∞,+) 称为f的 Fourier变换(或像函数),记为P门,即 FIJ@)=f(0)=f(x)e ior 函数 f(o)e"do(x∈(-∞,+∞) 2π 称为∫的 Fourier逆变换(或像原函数),记为F[力,即 (oe do 2
方括号中的函数 ˆ i ( ) ( )e dx f fx x ω ω +∞ − −∞ = ∫ （ω ∈ −∞ +∞),( ） 称为 f 的 Fourier 变换（或像函数），记为 fF ][ ，即 ˆ i [ ]( ) ( ) ( ) e d , x F f f fx x ω ω ω +∞ − −∞ = = ∫ 函数 1 ˆ i ( )e d 2π x f ω ω ω +∞ ∫ −∞ （x −∞∈ +∞),( ） 称为 fˆ 的 Fourier 逆变换（或像原函数），记为 ]ˆ [1 fF − ，即 1 i 1 ˆ ˆ [ ]( ) ( ) e d 2π x F fx f ω ω ω +∞ − −∞ = ∫
方括号中的函数 f(o)=∫(xdx(O∈(2+∞)) 称为f的 Fourier变换(或像函数),记为/门,即 F[f(O)=f(0) xe 函数 f(o)e"do(x∈(-∞,+∞) 2π 称为∫的 Fourier逆变换(或像原函数),记为F[力,即 (oe do 2兀 函数 f(te o dt eoxda do f(te o(r-lda 一 称为f的 Fourier积分
函数 1 i i ( )e d e d 2π t x ft t ω ω ω +∞ + ∞ − −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ = 1 i( ) d ( )e d 2π x t f t t ω ω +∞ +∞ − ∫ ∫ −∞ −∞ 称为 f 的 Fourier 积分。 方括号中的函数 ˆ i ( ) ( )e dx f fx x ω ω +∞ − −∞ = ∫ （ω ∈ −∞ +∞),( ） 称为 f 的 Fourier 变换（或像函数），记为 fF ][ ，即 ˆ i [ ]( ) ( ) ( ) e d , x F f f fx x ω ω ω +∞ − −∞ = = ∫ 函数 1 ˆ i ( )e d 2π x f ω ω ω +∞ ∫ −∞ （x −∞∈ +∞),( ） 称为 fˆ 的 Fourier 逆变换（或像原函数），记为 ]ˆ [1 fF − ，即 1 i 1 ˆ ˆ [ ]( ) ( ) e d 2π x F fx f ω ω ω +∞ − −∞ = ∫
容易想到,在一定条件下,它应与f(x)相等,但研究这些条件 已超出本课程的要求,现在不加证明地给出以下充分条件 定理164.1设函数∫在(-0,+∞)上绝对可积,且在(-,+∞)中的 任何闭区间上分段可导。则∫的 Fourier积分满足:对于任意x∈(-0,+∞) 成立 do f(te'o(xr-ildt= f(x+)+∫(x 2
容易想到，在一定条件下，它应与 f x( )相等，但研究这些条件 已超出本课程的要求，现在不加证明地给出以下充分条件。 定理 16.4.1 设函数 f 在 − ∞ + ∞),( 上绝对可积，且在 − ∞ + ∞),( 中的 任何闭区间上分段可导。 则 f 的Fourier积分满足：对于任意 x ∈ − ∞ + ∞),( 成立 1 i( ) d ( )e d 2 π x t f t t ω ω +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ 2 + + xfxf −)()(
所谓在闭区间上分段可导是如下定义的: 定义16.4.1设函数∫在ab]上除有限个点 a=X<x x2 x,=6 外均可导,而在x,(i=0,12,…,N)处f的左右极限f(x2-)和f(x1+)都存 在(在x0=a只要求右极限存在,在x=b只要求左极限存在),并且 极限 lim f(x+h)-f(x, h 和 Im f(x1+h)-f(x1+) h 都存在(在x0=a只要求上述第二个极限存在,在xN=b只要求上述第 个极限存在),那么称∫在a,b]上分段可导
所谓在闭区间上分段可导是如下定义的： 定义 16.4.1 设函数 f 在 ba ],[ 上除有限个点 = < xxa 10 < x2 < bx " < N = 外均可导，而在 i x （i = " N),,2,1,0 处 f 的左右极限 −)( i xf 和 +)( i xf 都存 在（在 = ax0 只要求右极限存在，在 bxN = 只要求左极限存在），并且 极限 h xfhxf i i h )()( lim 0 + − − −→ 和 h xfhxf i i h )()( lim 0 + − + +→ 都存在（在 = ax0 只要求上述第二个极限存在，在 bxN = 只要求上述第 一个极限存在），那么称 f 在 ba ],[ 上分段可导