第十四章曲线积分、曲面积分与场论 §1第一类曲线积分与第一类曲面积分 第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线L上任一点(x,y,2)处的线密度为 p(x,y2)。将L分成n个小曲线段L(=12,…,n),并在L上任取一点 (5,n,),那么当每个L的长度Δs都很小时,L的质量就近似地等于 p(5,n)As,于是整条L的质量就近似地等于 ∑(51,n,5)As, 当对L的分割越来越细时,这个近似值的极限就是L的质量
第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线 L 上任一点 (, ,) x y z 处的线密度为 ρ (, ,) x y z 。将 L 分成 n 个小曲线段 Li = ",,2,1( ni ），并在 Li 上任取一点 ),,(ξ η ζ iii ，那么当每个Li的长度Δ si 都很小时，Li的质量就近似地等于 iiii ρ ξ η ζ ),,( Δs ，于是整条L的质量就近似地等于 ∑ = Δ n i iiii s 1 ζηξρ ),,( 。 当对L的分割越来越细时，这个近似值的极限就是L的质量。 §1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义14.1.1设L是空间R3上一条可求长的连续曲线,其端点 为A和B,函数f(x,y)在L上有界。令A=P,B=P1。在L上从A到B顺 序地插入分点P,P2…,P1,再分别在每个小弧段P1P上任取一点 (5,n),并记第个小弧段PP的长度为△S(i=12,…,n),作和式 ∑f(51,n,)△s 如果当所有小弧段的最大长度九趋于零时,这个和式的极限存在,且 极限值与分点{P}的取法及弧段PP上的点(,)的取法无关,则称 这个极限值为f(x,y,)在曲线L上的第一类曲线积分,记为 ∫/(x,yd或/(PAs。 「f(x,yd=1imC/(,n)A 其中f(x,y,)称为被积函数,L称为积分路径
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义 14.1.1 设 L是空间 3 R 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A 和 B ，函数 f xyz (, ,) 在 L上有界 。 令 = = PBPA n , 0 。 在 L上从 A 到 B 顺 序地插入分点 21 1 ,,, " PPP n − ，再分别在每个小弧段 −1PP ii 上任取一点 ),,(ξ η ζ iii ,并记第i 个小弧段 −1PP ii 的长度为 Δ si（ = ",,2,1 ni ），作和式 ∑= Δ n i iiii f s 1 ζηξ ),,( 。 如果当所有小弧段的最大长度 λ 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点 }{Pi 的取法及弧段 −1PP ii 上的点 ),,(ξ η ζ iii 的取法无关，则称 这个极限值为 f xyz (, ,)在曲线 L上的第一类曲线积分，记为 ( , , )d L f xyz s ∫ 或 ( )d L f P s ∫ 。 即 0 1 ( , , )d lim ( , , ) n iii i L i f x y z s f s λ ξηζ → = = ∑ Δ ∫ 。 其中 f xyz (, ,)称为被积函数，L称为积分路径
这样,本节一开始所要求的曲线L质量就可表为 M=p(x,y, z)d 在平面情形下,函数f(x,y)在平面曲线L上的第一类曲线积分记 为∫(xyds
这样，本节一开始所要求的曲线 L质量就可表为 ( , , )d L M = ρ xyz s ∫ 。 在平面情形下，函数 yxf ),( 在平面曲线 L上的第一类曲线积分 记 为 ( , )d L f xy s ∫
第一类曲线积分具有以下性质 性质1(线性性)如果函数f,g在L上的第一类曲线积分存在 则对于任何常数a,B,af+Bg在L上的第一类曲线积分也存在,且成 ∫(af+Bg)d=a」/s+」gds 性质2(路径可加性)设曲线L分成了两段L1,L2。如果函数f在 L上的第一类曲线积分存在,则它在L和L2上的第一类曲线积分也存 在。反之,如果函数∫在L和L2上的第一类曲线积分存在,则它在L上 的第一类曲线积分也存在。并成立 fGs=「fds+「fs L2
第一类曲线积分具有以下性质： 性质 1 （线性性 ）如果函数 f g, 在 L上的第一类曲线积分存在， 则对于任何常数 α, β ，α + β gf 在 L上的第一类曲线积分也存在，且成 立 ( )d d d L L L αβ α β f +=+ g s fs gs ∫ ∫ ∫ 。 性质 2 （路径可加性 ）设曲线 L分成了两段 1 2 L L , 。如果函数 f 在 L上的第一类曲线积分存在，则它在 L1和 L 2上的第一类曲线 积分也存 在。反之，如果函数 f 在 L1和 L 2上的第一类曲线积分存在，则它在 L 上 的第一类曲线积分也存在。并成立 1 2 ddd LLL fs fs fs = + ∫ ∫ ∫
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(),y=y(1)2z=x(1),a≤t≤B 其中x(1,y(1,-()具有连续导数,且x(,y(),z()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 x2(t)+y2()+z"(t)d
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L的方程为 x xt y yt z zt t = ( ), ( ), ( ), = = α ≤ ≤ β ， 其中 tztytx )(),(),( 具有连续导数， 且 ′ ′ ′ tztytx )(),(),( 不同时为零（即 L为光 滑曲线），那么 L是可求长的，且曲线的弧长为 2 22 s xt( ) ( ) ( )d y t ztt β α = ++ ′′′ ∫
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(),y=y(1)2z=x(1),a≤t≤B 其中x(,y(1,-()具有连续导数,且x(,y(),z()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 x2(t)+y2()+z"(t)d 定理14.1.1设L为光滑曲线,函数f(x,y,x)在L上连续。则f(xy,) 在L上的第一类曲线积分存在,且 ∫f(xy,A=m(x(00)x=(+y2(0+=(0
定理 14.1.1 设L为光滑曲线，函数 f xyz (,,)在L上连续。则 f xyz (,,) 在L上的第一类曲线积分存在，且 2 22 ( , , )d ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d L f xyz s f xt yt zt x t y t z t t β α = + ′′′ + ∫ ∫ 。 现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x xt y yt z zt t = ( ), ( ), ( ), = = α ≤ ≤ β ， 其中 tztytx )(),(),( 具有连续导数，且 ′ ′ ′ tztytx )(),(),( 不同时为零（即L为光 滑曲线），那么L是可求长的，且曲线的弧长为 2 22 s xt( ) ( ) ( )d y t ztt β α = ++ ′′′ ∫
证记 f(x(1),y(t)2(1)yx2(t)+y2(1)+z(t)d 作区间[a,B的划分P:a=tn<<12<…<n=B,在L上顺次插入分 点P(x(),y(1)=(1)(i=1,2…,n-1),并设P=(x(a)y(al),a) Pn=(x(B),y(B,=(B)。记小弧段PP的长度为△s,那么它的弧长为 △=√x()+y(0+=(0ud。令 =∑f(x(5,y(5),(5)△s 其中(x(5),y(),x(5)为弧段P1P上任意一点。那么 ∑f(x)y(5)=(5)△-f(x)(:0)x()+y(0+=(0ud ∑∫[(x(5)(5)5)-f(x(y.x)yx2(+y(+=(d
证 记 2 22 I f ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d x t y t zt x t y t ztt β α = + ′′′ + ∫ 。 作区间[, ] α β 的划分 012 P ttt :α = <<<" < tn = β ，在 L 上顺次插入分 点 = nitztytxP − )1,,2,1())(),(),(( iiii " ，并设 ))(),(),(( 0 = α α zyxP α ， β β zyxP β ))(),(),(( n = 。记小弧段 −1PP ii 的长度为 i Δs ，那么它的弧长为 2 22 1 ( ) ( ) ( )d ti i ti s xt y t ztt − Δ= + + ′′′ ∫ 。令 ∑ = = Δ n i iiii szyxf 1 σ ξξξ ))(),(),(( ， 其中 ))(),(),(( iii ξ ξ zyx ξ 为弧段 −1PP ii 上任意一点。那么 [ ] 2 22 1 2 22 1 1 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d n i i ii i n ti i ii ti i I f x y z s f xt yt zt x t y t z t t f x y z f xt yt zt x t y t z t t β α σ ξξξ ξξξ = = − − = Δ − ′′′ + + = −+ ′′′ + ∑ ∫ ∑∫
设L的弧长为s。由于f(x,y,)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数g,当x=max(△s,)充分小时,f(x,y,2)在每个 弧段尸P上的振幅均小于于是成立 1∑1(x(4)y(.(5)-fx(y(2()yx2(o)+y2()+=2(0 sJ。x2(t)+y2()+="()dt=s=6 S 从而得到 f(r, y, z)ds= limo →
设L的弧长为s 。由于 f xyz (,,)在紧集L上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数ε ，当λ = max ( i Δs )充分小时， zyxf ),,( 在每个 弧段 −1PP ii 上的振幅均小于 s ε 。于是成立 2 22 1 1 2 22 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n ti i ii ti i I f x y z f xt yt zt x t y t z t t xt yt ztt s s s β α σ ξ ξ ξ ε ε ε = − − ≤ − ′′′ + + < + + == ′′′ ∑∫ ∫ 。 从而得到 ( , , )d L f xyz s = ∫ limλ σ → = 0 I
设L的弧长为s。由于f(x,y)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数,当x=max(△s)充分小时,f(x,y,=)在每个 孤段PP上的振幅均小于。于是成立 ∑∫”(x5y)5)-f(x(y.)x(0)+y2()+:( 8 rB (1)+y2(t)+z(tdt 从而得到 f(x, y, =)ds= limo=/ 1→ 特别地,如果平面光滑曲线L的方程为 (x),a≤x≤b, f(x,yds= f(x, y(x))v1+y'2(x)dx
特别地，如果平面光滑曲线 L的方程为 y yx a x b = ( ), ≤ ≤ ， 则 2 ( , )d ( , ( )) 1 ( )d b a L f xy s f xyx y x x = + ′ ∫ ∫ 。 设 L的弧长为 s 。由于 f xyz (,,)在紧集 L上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数 ε ，当 λ = max ( i Δ s )充分小时， zyxf ),,( 在每个 弧段 −1PP ii 上的振幅均小于 s ε 。于是成立 2 22 1 1 2 22 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i ii t i i I f x y z f xt yt zt x t y t z t t xt yt ztt s s s β α σ ξ ξ ξ ε ε ε = − − ≤ − ′′′ + + < + + == ′′′ ∑ ∫ ∫ 。 从而得到 ( , , )d L f xyz s = ∫ limλ σ → = 0 I
例1411计算/=∫eds,其中L为圆周x2+y2=a,直线y=x 及x轴在第一象限所围图形的边界。 B 图141.2
A O B x y a 图14.1.2 例 14.1.1 计算 2 2 e d x y L I s + = ∫ ，其中L为圆周xya 22 2 + = ，直线 y = x 及 x轴在第一象限所围图形的边界