§4函数的幂级数展开 Taylor级数与余项公式 假设函数f(x)在x0的某个邻域O(x,r)可表示成幂级数 f(x)=∑an(x-x0)”,x∈O(x,r), 即∑an(x-x)在O(xo,r)上的和函数为f(x)。根据幂级数的逐项可导 性,f(x)必定在O(x,r)上任意阶可导,且对一切k∈N, f(x)=∑m(n-1)…(n-k+1)an(x-x)
Taylor 级数与余项公式 假设函数 xf )( 在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)可表示成幂级数 xf )( = ∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa ，x∈O( 0 x , r)， 即∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa 在 O( 0 x , r)上的和函数为 xf )( 。根据幂级数的逐项可导 性， xf )( 必定在 O( 0 x , r)上任意阶可导，且对一切k + ∈N ， )( = )( xf k ∑ ∞ = − −+−− kn kn n xxaknnn )()1()1( " 0 。 §4 函数的幂级数展开
令x=x0,得到 ,k=0,1,2 k! 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 xn的 Taylor系数
令 0 = xx ，得到 a k = ! )( 0 )( k xf k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛ an ｝由和函数 xf )( 唯一确定，我们称它们为 xf )( 在 0 x 的 Taylor 系数
令 x=x0, 得到 k=0.1 k! 也就是说,系数{an}由和函数f(x)唯一确定,我们称它们为f(x)在 xn的 Taylor系数。 反过来,设函数f(x)在x的某个邻域O(x,n)上任意阶可导,则 可以求出它在x的 Taylor系数an (n=02,…),并作出幂级 数 (X 这一幂级数称为f(x)在x0的 Taylor级数
反过来，设函数 xf )( 在 0 x 的某个邻域 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 可以求出它在 0 x 的 Taylor 系数 an = ! )( 0 )( n xf n （n = ,2,1,0 "），并作出幂级 数 ∑ ∞ = − 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf , 这一幂级数称为 xf )( 在 0 x 的 Taylor 级数。 令 0 = xx ，得到 ak = ! )( 0 )( k xf k , k = 0,1,2,…， 也就是说，系数｛an ｝由和函数 xf )( 唯一确定，我们称它们为 xf )( 在 0 x 的 Taylor 系数
(n) 问题:是否一定存在常数p(0<≤r),使得∑(x-x)在 n=0 n Ox,p)上收敛于f(x) 下面的例子告诉我们,答案并不是肯定的。 例10.4.1设 f( e X≠0 0,x=0, 当x≠0时, 46 e f(x)=Pk-le 其中P,()是关于l的n次多项式
问题：是否一定存在常数ρ（0 < ρ ≤ r ），使得∑ ∞ = − 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf 在 0 O x(,) ρ 上收敛于 xf )( ? 下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。 例 10.4.1 设 xf )( = ⎪⎩⎪⎨⎧ =≠ − ,0,0 ,0,e 21 xx x 当 x≠0 时， ′ xf )( = 2 1 3 e 2 x x − ， ′′ xf )( = 2 1 46 e 64 x xx − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − ， …… )( = )( xf k 2 1 3 e 1 x k x P − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ，…… 其中 uP )( n 是关于 u 的 n 次多项式
由此可以依次得到 f(0)=lim f(x)-f(0) im e x =o, x→ x x→0x f(0)=lim f∫"(x)-f(0 Im x→ (k-1) (X (k-1) f(0)=lim 0 因此f(x)在x=0的 Taylor级数为 0+0x+-x2+-x3+…+xn+ 2! n 它在(-∞,+∞)上收敛于和函数Sx)=0。显然,当x≠0时, Sx)≠f(x) 这说明,一个任意阶可导的函数的 Taylor级数并非一定能收敛于 函数本身
由此可以依次得到 f ′ )0( = 0 limx→ x − fxf )0()( = 0 lim x→ 2 1 e 1 x x − = 0， f ′′ )0( = 0 limx→ x ′ − fxf ′ )0()( = 0 lim x→ 2 1 4 e 2 x x − = 0， …… )0( = k )( f 0 limx→ x fxf k k )0()( − )1( − )1( − = 0 limx→ 21 23 e 1 x k x P − − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = 0， …… 因此 xf )( 在 x = 0 的 Taylor 级数为 " x n ++++++ " n xxx ! 0 !3 0 !2 0 00 2 3 ， 它在 −∞ +∞),( 上收敛于和函数 S(x) = 0。显然，当 x≠0 时， S(x) ≠ xf )( 。 这说明，一个任意阶可导的函数的 Taylor 级数并非一定能收敛于 函数本身
为了寻求函数的 Taylor级数收敛于它本身的条件,回忆在§53 中所得到的 Taylor公式:设f(x)在O(x,n)有n+1阶导数,则 (k) (x-x0)4+r;(x), k=0 k! 其中,(x)是n阶 Taylor公式的余项。现在假定讨论的函数f(x)在O(x0, r)上任意阶可导,也就是说,上面的 Taylor公式对一切正整数n成立, 于是我们可以断言: (X 在Ox,p)(0<psr)成立的充分必要条件是 lim r (x)=0 对一切x∈Ox,p)成立
为了寻求函数的 Taylor 级数收敛于它本身的条件，回忆在§5.3 中所得到的 Taylor 公式：设 xf )( 在 O( 0 x , r)有 n + 1 阶导数，则 f (x) = ∑ = − n k k k xx k xf 0 0 0 )( )( ! )( + xr )( n ， 其中 xr )( n 是 n 阶 Taylor公式的余项。现在假定讨论的函数 xf )( 在 O( 0 x , r)上任意阶可导，也就是说，上面的 Taylor 公式对一切正整数 n 成立， 于是我们可以断言： xf )( = ∑ ∞ = − 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf 在 0 O x(,) ρ （0 < ≤ ρ r ）成立的充分必要条件是： n ∞→ lim xr )( n = 0 对一切 0 x Ox ∈ (,) ρ 成立
这时,我们才称f(x)在O(x,p)可以展开成幂级数(或 Taylor级 数),或者称∑/(x ayor展升m/(x-x)是/(x)在0x)上的幂级数展开(或 在§53中,曾导出余项 n1(x+(x-x0) x)1,0<6<1, n r1(x)的这一形式称为 Lagrange余项。为了讨论各种函数的 Taylor展 开,我们还需要;(x)的另一形式,即积分形式:
这时，我们才称 f (x)在 0 O x(,) ρ 可以展开成幂级数（或 Taylor 级 数），或者称 ∑ ∞ = − 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf 是 f (x)在 0 O x(,) ρ 上的幂级数展开（或 Taylor 展开）。 在§5.3 中，曾导出余项 xr )( n = ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x xx x x n θ + + − + − + ，0 < θ < 1， xr )( n 的这一形式称为 Lagrange 余项。为了讨论各种函数的 Taylor 展 开，我们还需要 xr )( n 的另一形式，即积分形式：
定理10.41设f(x)在O(x,m)上任意阶可导,则 (k) (x)=∑ x-r k +rn(x),x∈O(x0,r) k! 其中 f(o(x-t)dt
定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 xf )( = ∑ = − n k k k xx k xf 0 0 0 )( )( ! )( + xr )( n ， x∈O( 0 x , r)， 其中 xr )( n = !1n ∫ − + xx n n ttxtf 0 d))(()1(
定理10.41设f(x)在O(x,m)上任意阶可导,则 (k) (x)=∑ (x-xo)+r (x), xOXo, r) k! 其中 f(o(x-t)dt 证由表达式r(x)=f(x)-∑ (x-x)4出发,逐次对等式 k! 两端进行求导运算,可依次得到 x)=f(x)-∑ (x k-1) (k) (x)=f(x)-∑10(x-x)2 )(x0)
证 由表达式 xr )( n = xf )( ∑ = − − n k k k xx k xf 0 0 0 )( )( ! )( 出发，逐次对等式 两端进行求导运算，可依次得到 xr )( n′ = ′ xf )( − ∑ = − − − n k k k xx k xf 1 1 0 0 )( )( !)1( )( ， xr )( n′′ = ′′ xf )( − ∑ = − − − n k k k xx k xf 2 2 0 0 )( )( !)2( )( ， …… )()( xr n n = )()( 0 )( )( xfxf n n − ， )()1( xr n n + = )()1( xf n+ 。 定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 xf )( = ∑ = − n k k k xx k xf 0 0 0 )( )( ! )( + xr )( n ， x∈O( 0 x , r)， 其中 xr )( n = !1n ∫ − + xx n n ttxtf 0 d))(()1(
令x=x,便有 rn(x0)=r(x0)=r(x)=…=r"(x)=0 逐次应用分部积分法,可得 r,(x)=r,(x)r()=rn(o)dt = r(t)d(t-x)=ri"(@(x-t)dt 21J7(d(-x) ∫7Xx-)d (1)(x-0)d f(t(x-t)dt
令 x = 0 x ，便有 )( 0 xrn = )( 0 xrn′ = )( 0 xrn′′ = " = )( 0 )( xr n n = 0。 逐次应用分部积分法，可得 xr )( n = xr )( n - )( 0 xrn = ∫ ′ xx n ttr0 d)( = ∫ ′ − xx n xttr0 )d()( = ∫ ′′ − xx n ttxtr0 d))(( = - !2 1 ∫ ′′ − xx n xttr0 2 )d()( = !21 0 2 ( )( ) d x n x rt x t t ′′′ − ∫ …… = ! 1 n ∫ − + xx n n n ttxtr0 d))(()1( = !1n ∫ − + xx n n ttxtf 0 d))(()1(