第九章欧几里得空间 §1定义与基本性质 、向量的内积 定义1设是实数域R上一个向量空间在V上定义了一个二元实函数,称 为内积记作(a,B),它具有以下性质 2)(ka,B)=k(a,B); 3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y); 4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时,(a,a)=0 这里a,B,y是V任意的向量k是任意实数这样的线性空间V称为欧几里得空间 例1在线性空间R中对于向量 a=(a1,a2,…,an),B=(b,b2,…bn), 定义内积 (a,B)=a,6+a262+.+a,b 则内积(1)适合定义中的条件,这样R就成为一个欧几里得空间仍用来表示这个 欧几里得空间 在n=3时,(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达 式 例2在R"里,对于向量 a=(a1,a2,…,an),β=(b,b2…,bn), 定义内积 (a,B)=a,b,+2a,62+.+na, b 则内积(1适合定义中的条件,这样R"就也成为一个欧几里得空间仍用来表 示这个欧几里得空间
第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一个二元实函数，称 为内积,记作 (, ),它具有以下性质: 1) (, ) = (,) ; 2) (k, ) = k(, ) ; 3) ( + , ) = (, ) + (, ) ; 4) (,) 0,当且仅当 = 0 时, (,) = 0 这里 , , 是 V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得空间. 例 1 在线性空间 n R 中,对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) . = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个 欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达 式. 例 2 在 n R 里, 对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) 2 . = a1 b1 + a2 b2 ++ nan bn 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表 示这个欧几里得空间
对同一个线性空间可以引入不同的内积使得它作成欧几里得空间 例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数 f(x),g(x)定义内积 (f(x),g(x)= f(x)g(x)dx 对于内积(2),C(a,b)构成一个欧几里得空间 同样地,线性空间RxFx],对于内积(2)也构成欧几里得空间 例4令H是一切平方和收敛的实数列 5=(x1,x2…,xn)∑x2<+∞ 所成的集合则H是一个欧几里得空间通常称为希尔伯特( Hilbert)空间 二、欧几里得空间的基本性质 1)定义中条件1)表明内积是对称的 2)(a, kB)=(k, a)=k(a, B)=k(B, a) 3)(a,B+y)=(B+y,a)=(B,a)+(y,a)=(a,B)+(a,y) 定义2非负实数√a,a)称为向量a的长度,记为 显然,向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合 熟知的性质: ka=kila 这里k∈R,a∈V 长度为1的向量叫做单位向量如果,a≠0由(3)式,向量 就是一个单位向量用向量a的长度去除向量a,得到一个与a成比例的单位向 量,通常称为把a单位化 柯西布涅柯夫斯基不等式:即对于任意的向量a,B有 a,B)≤plf
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b) 中,对于函数 f (x), g(x) 定义内积 = b a ( f (x), g(x)) f (x)g(x)dx . (2) 对于内积(2)，C(a,b) 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间 n R[x], R[x] 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列 = + =1 2 1 2 ( , , , ), n n n x x x x 所成的集合,则 H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件 1）表明内积是对称的. 2) (, k ) = (k,) = k(, ) = k(,). 3) (, + ) = ( + ,) = (,) + ( ,) = (, ) + (, ) 定义 2 非负实数 (,) 称为向量 的长度，记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合 熟知的性质： k =| k | (3) 这里 k R, V . 长度为 1 的向量叫做单位向量.如果, 0 由(3)式，向量 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例的单位向 量，通常称为把 单位化. 柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量 , 有 (,) (5)
当且仅当a,线性相关时,等式才成立 对于例1的空间R”,(5)式就是 ab+ab2+…+a≤a+a+…+可V团+6+…+b2 对于例2的空间C(a,b),(5)式就是 f(xg(x f(x) g(x)dx 定义3非零向量a,B的夹角规定为 a,B>=a0cn,0(1)≤x 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式,有三角形不等式 a+川sl+风 定义4如果向量α,B的内积为零,即 那么a,B称为正交或互相垂直,记为a⊥B 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为z 只有零向量才与自己正交 勾股定理:当a,B正交时, a+B=a+B 推广:如果向量两∝1,a2,…,an两两正交,那么 a+a2+…+an|2=|a1+a2|+…+kam 设V是一个n维欧几里得空间,在V中取一组基1,E2…En,对于V中任意 两个向量 a=x1E1+x2E2+…+xnEn,B=yE1+y2E2+…+ynEn, 由内积的性质得
当且仅当 , 线性相关时，等式才成立. 对于例 1 的空间 n R ，(5)式就是 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a1b1 + a2b2 ++ anbn a1 + a ++ an b + b ++ bn 对于例 2 的空间 C(a,b)，(5)式就是 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 定义 3 非零向量 , 的夹角 , 规定为 = , 0 , ( , ) , arccos 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式 + + . 定义 4 如果向量 , 的内积为零，即 (, ) = 0 那么 , 称为正交或互相垂直，记为 ⊥ . 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 2 . 只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当 , 正交时， . 2 2 2 + = + 推广：如果向量两 m , , , 1 2 两两正交，那么 2 2 2 2 1 2 1 + 2 ++ m = + ++ m . 设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一组基 n , , , 1 2 ，对于 V 中任意 两个向量 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 , n n = y + y ++ y 1 1 2 2 , 由内积的性质得
(a,B)=(x11+x252+…+x,FnH1+y252+…+ynEn (,5,)xy 令 显然 于是 a,B)= 利用矩阵,(a,B)还可以写成 (a,B)=XAr 其中 y2 分别是a,B的坐标,而矩阵 称为基E1E2…,En的度量矩阵上面的讨论表明,在知道了一组基的度量矩阵之 后,任意两个向量的内积就可以通过坐标按(9)或(10)来计算,因而度量矩 阵完全确定了内积 设n,n2,…7n是空间V的另外一组基,而由E1,E2,…,En到71,n2…,n的过渡 矩阵为C,即 (1,n2…n)=(E1,E2…,En)C 于是不难算出,基m,n2…mn的度量矩阵 7,7
= = = = + + + + + + n i n j i j i j n n n n x y x x x y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , 令 a ( , ) (i, j 1, 2 , ,n) ij = i j = (8) 显然 . aij = a ji 于是 = = = n i n j ij i j a x y 1 1 (, ) (9) 利用矩阵， (, ) 还可以写成 (, ) = X AY , (10) 其中 = = n n y y y Y x x x X 2 1 2 1 , 分别是 , 的坐标，而矩阵 A aij nn = ( ) 称为基 n , , , 1 2 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之 后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩 阵完全确定了内积. 设 n , , , 1 2 是空间 V 的另外一组基，而由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡 矩阵为 C ，即 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )C 于是不难算出，基 n , , , 1 2 的度量矩阵 B = (bij) = (i , j) = CAC . (11)
这就是说,不同基的度量矩阵是合同的 根据条件(4),对于非零向量a,即 00:0 有 (a,a)=XX>0 因此,度量矩阵是正定的 反之,给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间v的一组基s,E2,…,En 可以规定V上内积,使它成为欧几里得空间,并且基的ε1,52…,E度量矩阵是A 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 欧几里得空间以下简称为欧氏空间
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件(4)，对于非零向量 ，即 0 0 0 X 有 (,) = X AX 0 因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线性空间 V 的一组基 n , , , 1 2 . 可以规定 V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的 n , , , 1 2 度量矩阵是 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间