北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第七章 线性变换（7.1）线性变换的定义

第七章线性变换 §1线性变换的定义 线性变换的定义 线性空间V到自身的映射称为V的一个变换 定义1线性空间的一个变换星称为线性变换,如果对于V中任意的元 素a,B和数域P中任意数k,都有 A(a+B)=A(a)+(B); 用(ka)=k(a) (1) 般用花体拉丁字母星,s,…表示V的线性变换,A(a减或Aa代表元素a在变 换下的像 定义中等式(1)所表示的性质,有时也说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法 例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间把平面围绕坐标原点按反 时钟方向旋转θ角,就是一个线性变换,用。表示如果平面上一个向量a在直 角坐标系下的坐标是(x,y),那么像9。(a)的坐标,即a旋转b角之后的坐标 (x',y)是按照公式 0 -sin 6 sin 6 cose 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换 例2设a是几何空间中一固定非零向量,把每个向量变到它在a上的内射 影的变换也是一个线性变换,以∏表示它用公式表示就是 ∏2() (a,5 aa 这里(a,5,(a,a)表示内积

第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任意的元 素 ,  和数域 P 中任意数 k ，都有 A (  +  )=A (  )+A (  ); A( k )=A k (  ). （1） 一般用花体拉丁字母 A，B，…表示 V 的线性变换，A (  )或 A  代表元素  在变 换 A 下的像. 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法. 例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反 时钟方向旋转  角，就是一个线性变换，用 ℐ  表示.如果平面上一个向量  在直 角坐标系下的坐标是 (x, y) ，那么像 ℐ  (  )的坐标，即  旋转  角之后的坐标 (x  , y ) 是按照公式                 − =          y x y x     sin cos cos sin . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设  是几何空间中一固定非零向量，把每个向量  变到它在  上的内射 影的变换也是一个线性变换，以  表示它.用公式表示就是        ( , ) ( , )  ( ) = . 这里 (, ),(,) 表示内积

例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换,即 E(a)=a(a∈) 以及零变换O,即 0(a)=0(a∈) 都是线性变换 例4设V是数域P上的线性空间,k是P中的某个数,定义V的变换如下: a→ka,a∈ 这是一个线性变换,称为由数k决定的数乘变换,可用K表示显然当k=1时, 便得恒等变换,当k=0时,便得零变换 例5在线性空间Px或者Pxn中,求微商是一个线性变换这个变换通常用 D代表,即 D(f(x))=f'(x) 例6定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间,以 C(a,b)代表在这个空间中变换 y(f(x))= f(r)dt 是一线性变换 二、线性变换的简单性质: 1.设星是V的线性变换,则星(0)=0,A(-a)=-星(a). 2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变换句话说,如果β是 a1,a2,…;a,的线性组合 B=ka1+k2a2+…+kan 那么经过线性变换履之后,A(B)是A(a1)(ax2)…A(a,)同样的线性组合: A(B)=kA(a1)+k2(a2)+…+k,月(a,)

例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E，即 E () =  ( V ) 以及零变换 ℴ，即 ℴ () = 0 ( V) 都是线性变换. 例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中的某个数，定义 V 的变换如下：  → k ,  V . 这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用 K 表示.显然当 k =1 时， 便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换. 例 5 在线性空间 P[x] 或者 n P[x] 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用 D 代表，即 D（ f (x) ）= f (x) . 例 6 定义在闭区间 a,b 上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以 C(a,b) 代表.在这个空间中变换 ℐ（ f (x) ）=  x a f (t)dt 是一线性变换. 二、线性变换的简单性质： 1. 设 A 是 V 的线性变换，则 A (0)=0, A (− )=-A (  ). 2. 线性变 换保持线 性组合 与线性 关系式 不变.换 句话说 ，如果  是   r , , , 1 2  的线性组合： r r  = k11 + k22 ++ k  , 那么经过线性变换 A 之后，A (  )是 A ( 1 ),A (  2 ),…, A (  r )同样的线性组合： A (  )= 1 k A ( 1 )+ 2 k A (  2 )+…+ r k A (  r )

又如果a,a2…a之间有一线性关系式 ka1+k2a2+…+k,a1=0 那么它们的像之间也有同样的关系式 k1(a1)+k2A(a2)+…+k,(a,)=0 3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组

又如果   r , , , 1 2  之间有一线性关系式 k11 + k22 ++ krr = 0 那么它们的像之间也有同样的关系式 1 k A ( 1 )+ 2 k A (  2 )+…+ r k A (  r )=0. 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组