北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第七章 线性变换（7.3）线性变换和矩阵

§3线性变换和矩阵 、线性变换关于基的矩阵 设是数域P上n维线性空间E1E2…,EnV的一组基,现在建立线性变换与 矩阵关系 空间V中任意一个向量5可以被基E1E2,…En线性表出,即有关系式 5=xE1+x2E2+…+xnEn (1) 其中系数是唯一确定的,它们就是ξ在这组基下的坐标由于线性变换保持线性 关系不变,因而在的像A与基的像A51,1E2,…,用En之间也必然有相同的关 系 用5=(x1E1+x2E2+…+xnEn) =x1联(E)+x2联(E2)+…+xn(En) 上式表明,如果知道了基E,E2…,En的像,那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了,或者说 1.设1,E2…,En是线性空间V的一组基,如果线性变换A与在这组基上 的作用相同,即 E1=BE1,i=1,2,…,n, 那么A=9. 结论1的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是 2.设61,E2…,En是线性空间V的一组基,对于任意一组向量a1a2…an 定有一个线性变换A使 A8=a =1,2,…,n 定理1设E1,E2,…,En是线性空间V的一组基,a1,a2…,∝n是V中任意n个 向量存在唯一的线性变换A使

§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n  , , , 1 2  V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间 V 中任意一个向量  可以被基 n  , , , 1 2  线性表出，即有关系式 n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是  在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性 关系不变，因而在  的像 A  与基的像 A 1  ,A 2  ,…，A n  之间也必然有相同的关 系： A  =A（ n n x  + x  ++ x  1 1 2 2 ） = 1 x A( 1  )+ 2 x A( 2  )+…+ n x A ( n  ) (2) 上式表明，如果知道了基 n  , , , 1 2  的像，那么线性空间中任意一个向量  的像也就知道了，或者说 1. 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 Å 与 ℬ 在这组基上 的作用相同，即 A i  =B i  ， i = 1, 2 ,  ,n , 那么 A= B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量    n , , , 1 2  一 定有一个线性变换 Å 使 A i  = i i = 1, 2 ,  ,n . 定理 1 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，    n , , , 1 2  是 V 中任意 n 个 向量.存在唯一的线性变换 Å 使

E 定义2设61,E2,…,En是数域P上n维线性空间V的一组基,是V中的一个 线性变换基向量的像可以被基线性表出 AE1=a1E1+a21E2+ E2=412 82 E+a2n&2 用矩阵表示就是 用( ,En)=(联(E1),A(E2),…,(En)) (E1,E2,…En)A 其中 矩阵A称为线性变换A在基E1E2…En下的矩阵 例1设E1E2…En是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基,把它 扩充为V的一组基E1,E2,…,En指定线性变换A如下 ∫As=6,l=1,2 4s;=0,1=m+1 如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影.不难证明 A-=A 投影在基E1,E2…,En下的矩阵是

A i  = i i = 1, 2 ,  ,n . 定义 2 设 n  , , , 1 2  是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，A 是 V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出：        = + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n A a a a A a a a A a a a                 用矩阵表示就是 A（ n  , , , 1 2  ）=（A( 1  )，AÅ( 2  )，…， A( n  )） = ( 1 , 2 ,  , n )A (5) 其中               = n n nn n n a a a a a a a a a A     1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵 A 称为线性变换 A 在基 n  , , , 1 2  下的矩阵. 例 1 设 m  , , , 1 2  是 n (n  m) 维线性空间 V 的子空间 W 的一组基，把它 扩充为 V 的一组基 n  , , , 1 2  .指定线性变换 A 如下    = = + = = 0 , 1, , . , 1 ,2 , , , A i m n A i m i i i      如此确定的线性变换 A 称为子空间 W 的一个投影.不难证明 A 2 =A 投影 A 在基 n  , , , 1 2  下的矩阵是

0 这样,在取定一组基之后,就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到 数域P上的n×n矩阵的一个映射前面结论1说明这个映射是单射,结论2说明 这个映射是满射换句话说,在这二者之间建立了一个双射这个对应的重要性表 现在它保持运算,即有 定理2设s1,E2…,E是数域P上n维线性空间V的一组基,在这组基下,每 个线性变换按公式(5)对应一个n×n矩阵,这个对应具有以下性质: 1)线性变换的和对应于矩阵的和 2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积; 3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积; 4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵. 定理2说明数域P上n维线性空间V的全体线性变换组成的集合L()对于 线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间,与数域P上n级方阵构成的 线性空间Pm同构 定理3设线性变换A在基E1,E2,…En下的矩阵是A,向量在基E1E2…,En 下的坐标是(x,x2…xn),则A在基61:E2…,En下的坐标(1,y2,…yn)可以按 公式 计算. 、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系

                      0 0 1 1 1   这样，在取定一组基之后，就建立了由数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换到 数域 P 上的 nn 矩阵的一个映射.前面结论 1 说明这个映射是单射，结论 2 说明 这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表 现在它保持运算，即有 定理 2 设 n  , , , 1 2  是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，在这组基下，每 个线性变换按公式（5）对应一个 nn 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 定理 2 说明数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换组成的集合 L(V) 对于 线性变换的加法与数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域 P 上 n 级方阵构成的 线性空间 n n P  同构. 定理 3 设线性变换 A 在基 n  , , , 1 2  下的矩阵是 A ，向量  在基 n  , , , 1 2  下的坐标是 ( , , , ) 1 2 n x x  x ,则 A  在基 n  , , , 1 2  下的坐标 ( , , , ) 1 2 n y y  y 可以按 公式               =               n n x x x A y y y   2 1 2 1 计算. 二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系

线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来,随着基的改变, 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换,有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的 定理4设线性空间V中线性变换团在两组基 (6) n1,n2…,n 下的矩阵分别为A和B从基(6)到(7)的过渡矩阵是X,于是B=X-1AX 定理4告诉我们,同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系 定义3设A,B为数域P上两个n级方阵,如果可以找到数域P上的n级可 逆方阵X,使得B=X-AX,就说A相似于B,记作A~B 相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面三个性质 1.反身性:A~A 2.对称性:如果A~B,那么B~A 3.传递性:如果A~B,B~C,那么A~C 定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩 阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵 矩阵的相似对于运算有下面的性质 如果B1=XA1X,B2=X-1A2X,那么 B+B2=X-(41+A2)X B,B2=X(AA)X 由此可知,如果B=X-AX,且f(x)是数域P上一多项式,那么 f(B)=X f(a)X 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例2设是数域P上一个二维线性空间,E1,E2是一组基,线性变换在 E1,E2下的矩阵是

线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变， 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的. 定理 4 设线性空间 V 中线性变换 A 在两组基 n  , , , 1 2  , (6)   n , , , 1 2  (7) 下的矩阵分别为 A 和 B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是 X ，于是 B X AX −1 = . 定理 4 告诉我们，同一个线性变换 A 在不同基下的矩阵之间的关系. 定义 3 设 A ，B 为数域 P 上两个 n 级方阵，如果可以找到数域 P 上的 n 级可 逆方阵 X ，使得 B X AX −1 = ，就说 A 相似于 B ，记作 A ~ B . 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： 1. 反身性： A ~ A 2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A . 3. 传递性：如果 A ~ B , B ~ C,那么 A ~ C. 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩 阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果 B X A1X 1 1 − = , B X A2X 1 2 − = ，那么 B B X (A1 A2 )X 1 1 + 2 = + − , B B X (A1A2 )X 1 1 2 − = 由此可知，如果 B X AX −1 = ，且 f (x) 是数域 P 上一多项式，那么 f (B) X f (A)X −1 = 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例 2 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间， 1 2  , 是一组基，线性变换 A 在 1 2  , 下的矩阵是

计算在V的另一组基n,n2下的矩阵,这里 (71n2)=(E1,E2

        −1 0 2 1 计算 A 在 V 的另一组基 1 2  , 下的矩阵，这里         − − = 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 1 2 1 2    